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{{noteTA|G1=物理學}}
在[[物理学]]中，'''法捷耶夫-波波夫鬼粒子'''（Faddeev–Popov ghost），是一种为了保持[[路径积分表述]]的一致性而引入[[量子场论|规范量子场论]]的附加[[场 (物理)|场]]，以[[路德维希·法捷耶夫]]和{{link-en|维克多·波波夫|}}的名字命名。<ref>W. F. Chen. [http://arxiv.org/abs/0803.1340v2 Quantum Field Theory and Differential Geometry] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/0803.1340v2 |date=20161118223828 }}</ref>

== 歷史和路径积分 ==
法捷耶夫-波波夫鬼粒子之所以是必须要引入的，是因为在路径积分表述中，[[量子场论]]必须给出明确、非奇异的解，而由于[[规范对称性]]的存在，我们无法从大量的因[[规范变换]]而相关的物理上等价的不同解挑选出唯一的解。这个问题起源于路径积分重复考虑的规范对称相关的场组态，这些其实对应于相同的物理态；路径积分的[[测度]]包含一个系数，其不允许我们直接用一般的方法（例如[[费恩曼图]]方法）从原始的[[作用量]]得到各种结果。但是，如果我们修改原始作用量，添加进去一个额外的场，打破规范对称性，那么一般方法就可以使用了。这种场就叫做''鬼场''。这一方法被称作“法捷耶夫-波波夫方法”（见[[BRST量子化]]）。这种鬼场只是一种计算工具，对外部来说并不对应于任何一种实际粒子：鬼粒子在[[费恩曼图]]中只作为[[虚粒子]]出现——或者说，只对应于某些规范组态的缺失。但是它对于维持[[么正性]]是至关重要的。

描述鬼粒子的公式和其具体形式与所选择的具体规范有关，但对于所有规范得到的实际结果是相同的。[[费恩曼-胡夫特规范]]（Feynman-t'Hooft gauge，[[庫侖規範]]）是用于这个目的时最简单的规范，所以在这篇文章中我们都采用这种规范。

== 法捷耶夫-波波夫方法 ==
設A是規範[[聯絡形式]]，<math>F = dA + A^2</math>是[[曲率形式]]。[[杨-米尔斯场论]]的作用量是

<math>S = \int YM = \int tr(F\wedge *F) = \int F^a_{\mu\nu}F^{a\mu\nu}</math>

[[泛函积分]]是

<math>Z = \int DA \exp(iS(A))</math>

设

<math>\alpha = \sum_a \alpha^a t^a \in TG</math> 

屬於規範群G的[[李代數]]TG。則<math>g = e^{i\alpha} \in G</math>以及

<math>A \to A_{\alpha} = g(d+A)g^{-1} \approx A + d_D \alpha</math>

<math>d_D</math>是[[外共变导数]]。若<math>f(A)</math>是[[规范固定]]函数，则

<math>\int D\alpha \ \delta(f(A_{\alpha})) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) = 1</math>

这是有限维公式的推广，也参看[[狄拉克δ函数]]和[[雅可比行列式]]。然后

<math>Z = \int DA \ D\alpha \ \delta(f(A_{\alpha})) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) e^{iS(A)} </math>

通过变量的变化<math>A \to A_{\alpha} </math>，[[拉氏量]]YM和作用量是[[规范不变]]：<math>S(A) = S(A_{\alpha}) </math>。而且[[测度]]不变<math>DA_{\alpha} = DA  </math>。所以因为[[泛函]]的[[富比尼定理]]：

<math>Z = (\int D\alpha) \ \int DA \ \delta(f(A)) \det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) e^{iS(A)} </math>

=== 电磁理论 ===
若<math>G=U(1) </math>，这是[[电磁理论]]，[[规范变换]]成为<math>A_{\alpha} = A + d\alpha  </math>，可以选择

<math>f(A) = \partial A - \omega  </math>

<math>\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha} = \partial^2</math>

上面不依赖<math>\alpha</math>或A。则泛函积分等于

<math>Z = \det(\partial^2) (\int D\alpha) \int DA \ \delta(\partial A - \omega)  e^{iS(A)}
= C \int DA \ \delta(\partial A - \omega)  e^{iS(A)} = Z_{\omega} </math>

注意[[配分函数]] Z 不依赖 <math>\omega </math>，所以可以使用[[线性组合]]表述Z。通过[[泛函]]的[[富比尼定理]]：

<math>Z = N(\xi)\int D\omega \ \exp(-i\int \omega^2 / 2\xi) \ Z_{\omega}   </math>

<math> = C' \int DA \ e^{iS(A)} \int D\omega \ \exp(-i\int \omega^2 / 2\xi) \ \delta(\partial A - \omega)   </math>

<math> = C' \int DA \ \exp(iS(A)-i\int (\partial A)^2 / 2\xi)   </math>

在电磁理论中，杨米作用量成为

<math>S(A) = -\int (dA)^2 = -\int (\partial A)^2 / 4 = \int A\partial^2 A / 4  </math>

所以[[传播子]]是

<math>D_{\mu \nu}(k) = \frac{-i}{k^2 + i\epsilon} (g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})  </math>

* <math>\xi = 0  </math>是朗道规范
* <math>\xi = 1  </math>是费恩曼规范

上文是[[法捷耶夫-波波夫方法]]（Faddeev-Popov method，FP办法），这个办法在其他数学和物理分支有应用。量子电动力学没有[[FP鬼子]]。

=== 杨-米尔斯场论 ===
但是[[非阿贝尔群]]的杨米尔斯场论有[[FP鬼子]]。选择

<math>f(A^a) = \partial^{\mu} A_{\mu}^a - \omega^a </math>

像上文的冒险一样，[[格林函數]]（correlation函数）是

<math>\langle A_{\mu}^a(x)A_{\nu}^b(y)\rangle =D_{\mu \nu}(x-y)^{ab} = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4}  \frac{-ie^{-ik(x-y)}}{k^2 + i\epsilon} \delta^{ab}(g_{\mu \nu} - (1-\xi)\frac{k_{\mu}k_{\nu}}{k^2})  </math>

<math>\xi = 1  </math>是[[费恩曼]]-[[杰拉德·特·胡夫特|特·胡夫特]]规范（Feynman-t' Hooft gauge）。但是这一次[[雅可比行列式]]是

<math>\det(\frac{\delta f(A_{\alpha})}{\delta \alpha}) = \det(\partial^{\mu} D_{\mu})</math>

依赖[[规范场]]A。其中规范导数是

<math>d_D = D_{\mu} dx^{\mu}</math>

可以使用{{Internal link helper/en|费米积分|Berezin integral}}（[[高斯积分]]）表述

<math>\det(\partial^{\mu} D_{\mu}) = \int Dc D\bar{c} \exp(i\int \bar{c}(-\partial^{\mu} D_{\mu})c) = \int Dc D\bar{c} \exp(iS(c, \bar{c}))</math>

设李代数TG是n维的，则其中<math>c(x) = (c_a(x), c_b(x), \ldots) \in \Complex^n</math>是n维[[旋量]]，描述鬼粒子。<math>D_{\mu}^{ab} </math>是矩阵[[算子]]。则鬼子作用量是

<math>S(c, \bar{c}) = \int \bar{c}_a(-\partial^{\mu} D^{ab}_{\mu})c_b = \int \bar{c}_a(-\delta^{ac}\partial^{\mu} \partial_{\mu} - g\partial^{\mu} f^{abc}A^b_{\mu})c_c</math>

鬼子传播子是

<math>\langle c_a(x) \bar{c}_b(y) \rangle = \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{i}{k^2} \delta_{ab} e^{-ik(x-y)}</math>

也有高价相互作用[[费恩曼图]]（若[[耦合常數]]g很小）<ref>{{Cite journal|title=An Introduction to Quantum Field Theory|url=http://dx.doi.org/10.1063/1.2807734|last=Peskin|first=Michael E.|last2=Schroeder|first2=Daniel V.|date=1996-08|journal=Physics Today|issue=8|doi=10.1063/1.2807734|volume=49|pages=69–72|issn=0031-9228|last3=Martinec|first3=Emil}}</ref>。终于的[[拉氏量]]是

<math>\mathcal{L} = 
-\frac{1}{4}(F^a_{\mu\nu})^2 
+ \frac{1}{2\xi} (\partial A)^2 
+ \bar{\psi}(iD\!\!\!\!\big / - m)\psi
+ \bar{c}(-\partial^{\mu} D_{\mu})c</math>

==相關==
{{portal box|物理學}}
* [[BRST量子化]]
* [[量子場論]]
*[[巴塔林-維爾可維斯基代數]]

== 参考 ==
{{reflist}}

== 阅读 ==

* L. D. Faddeev and V. N. Popov, "Feynman Diagrams for the Yang-Mills Field", ''Phys. Lett.'' B25 (1967) 29.
*Peskin Schroeder. Intro to QFT. Ch 9, 16.
*Anthony Zee. QFT in Nutshell.

==外部链接==
* [http://www.scholarpedia.org/article/Faddeev-Popov_ghosts Scholarpedia] {{Wayback|url=http://www.scholarpedia.org/article/Faddeev-Popov_ghosts |date=20210117035537 }}
* {{cite web|last=Copeland|first=Ed|title=Ghost Particles|url=http://www.sixtysymbols.com/videos/ghost_particles.htm|work=Sixty Symbols|publisher=[[布雷迪·哈蘭|Brady Haran]] for the [[諾丁漢大學|University of Nottingham]]|coauthors=Padilla, Antonio (Tony)|access-date=2015-01-29|archive-date=2020-07-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20200705063157/http://www.sixtysymbols.com/videos/ghost_particles.htm|dead-url=no}}

{{量子场论}}
{{粒子}}

[[Category:假想粒子]]
[[Category:规范理论]]
[[Category:量子色動力學]]