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{{noteTA|G1=物理學}}
[[File:M Faraday Th Phillips oil 1842.jpg|thumb|150px|right|[[迈克尔·法拉第]]肖像画]]

'''法拉第電磁感應定律'''（{{lang-en|Faraday's law of electromagnetic induction}}）簡稱“法拉第定律”，是電磁學的一條基本定律，也是[[變壓器]]、[[電感元件]]及多種[[電動機]]、[[發電機]]、[[螺線管]]的根本運作原理。定律指出：<ref>
{{cite book|author=M N O Sadiku|title=Elements of Electromagnetics|year= 2007|page =§9.2 pp. 386 ff|publisher=Oxford University Press
|edition=Fourth Edition|location=NY/Oxford UK|url=http://books.google.com/books?id=w2ITHQAACAAJ&dq=isbn:0-19-530048-3&lr=&as_brr=0
|isbn=0-19-530048-3}}</ref>

{{Cquote|任何封閉电路中感应[[电动势]]大小，等於穿过这一电路[[磁通量]]的变化率。}}

此定律预测[[磁场]]如何与[[电路]]相互作用以产生[[电动势]]，这种现象称为[[电磁感应]]。

虽然[[約瑟·亨利]]在1830年的獨立研究中比法拉第早發現這一定律，但其並未發表；[[迈克尔·法拉第]]则于1831年發現此定律，命名為法拉第定律。

本定律可用以下的公式表达：<ref name=Chow>{{cite book|author=Tai L. Chow|title=Electromagnetic theory|year=2006|page=Chapter 5; p. 171 ff
 |publisher= Jones and Bartlett|location= Sudbury MA |isbn= 0-7637-3827-1|url= http://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153&dq=isbn=0763738271&sig=PgEEBA6TQEZ5fD_AhJQ8dd7MGHo#PPA176,M1|nopp= true|access-date= 2008-12-25|archive-date = 2011-07-22|archive-url= https://web.archive.org/web/20110722011356/http://books.google.com/books?id=dpnpMhw1zo8C&pg=PA153&dq=isbn=0763738271&sig=PgEEBA6TQEZ5fD_AhJQ8dd7MGHo#PPA176,M1|dead-url = no}}</ref>

:<math> \mathcal{E}=-\frac{d\Phi_B }{dt}</math>

其中：

:<math>\mathcal{E}</math> 是[[电动势]]，单位為[[伏特]]。
:<span style="font-family:Times New Roman;font-size:16px;">Φ<sub>B</sub></span>是通過電路的[[磁通量]]，单位為[[韋伯 (單位)|韋伯]]。

電動勢的方向（公式中的負號）由[[楞次定律]]提供。“通過電路的磁通量”的意義會由下面的例子闡述。

傳統上有兩種改變通過電路的磁通量的方式。至於'''感應電動勢'''時，改變的是自身的電場，例如改變生成場的電流（就像變壓器那樣）。而至於'''動生電動勢'''時，改變的是磁場中的整個或部份電路的運動，例如像在[[同極發電機]]中那樣。

[[File:Induktionsapparat_hg.jpg|thumb|在物理課堂中常展示電磁感應現象的[[感應線圈]]。]]

==用詞==
'''電磁感應'''現象不應與'''[[靜電感應]]'''混淆。電磁感應將電動勢與通過電路的磁通量聯繫起來，而靜電感應則是使用另一帶電荷的物體使物體產生電荷的方法。

==馬克士威-法拉第方程==
本節是一段題外話，作用是區分本條目中的“法拉第定律”及麥克斯韋方程組中用同一個名字的∇×E方程。於本條目中∇×E方程會被稱為'''馬克士威-法拉第方程'''。 

[[詹姆斯·克拉克·麦克斯韦|馬克士威]]於1855年總結出法拉第定律的[[旋度]]版本，而[[奧利弗·黑維塞|黑維塞]]則於1884年將定律重寫成'''旋度'''方程：
:<math>\nabla\times \mathbf{E}(\mathbf{r},\ t) = -\frac{\partial \mathbf{B}(\mathbf{r},\ t)}{\partial t}</math>
其中

:<math>\nabla\times</math> 代表 [[旋度]]
:<math>\mathbf{E}</math>  代表 [[電場強度]]（V/m）
:<math>\mathbf{B}</math>  代表 [[磁通量密度]]（Wb/m<sup>2</sup>）
:<math>\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial t}\end{matrix}</math> 代表 當方位向量 '''r''' 不變下的[[偏導數|時間偏導數]]。

方程的意義是，如果電場的空間依賴在紙面上成逆時針方向（經右手定則，得旋度向量方向為出紙面），那麼磁場會因時間而更少指出紙面，更多地指入頁面（跟旋度向量異號）。方程跟磁場的'''變量'''有關係。故磁場不一定要指向紙面，只需向該方向轉動即可。

本方程（在本條目中被稱為馬克士威-法拉第方程）是[[麥克斯韋方程組|馬克士威方程組]]的四條方程之一。

在麥克斯韋-法拉第方程中，黑維塞用的是'''時間偏導數'''。不使用馬克士威用過的時間全導數，而使用時間偏導數，這樣做使得馬克士威-法拉第方程不能說明動生電動勢。<ref group="註">為何這條方式不能解釋動生電動勢的解釋可見於Griffiths ''Introduction to Electrodynamics'', pp.301-3, or Feynman ''Lectures on Physics'', Ch. II-17</ref>。然而，馬克士威-法拉第方程很多時候會被直接稱為“法拉第定律”。<ref>見Griffiths ''Introduction to Electrodynamics'' pp. 301-3 或 Feynman ''Lectures on Physics'' Ch. II-17。 這兩位作者都用“通量定則”這個詞來聯繫通量及電動勢，而把旋量版本叫做“法拉第定律”。還有其他叫法，在Jackson的''Classical Electrodynamics''中，兩條定律分別被稱為“法拉第定律的積分形式”及“法拉第定律的微分形式”。</ref> 

在本條目中“法拉第定律”一詞指的是通量方程，而“馬克士威-法拉第方程”指的則是黑維塞的'''旋度'''方程，也就是現在的馬克士威方程組中的那一條。

==通過表面的磁通量及圈中的電動勢==
[[file:Surface integral illustration.svg|right|thumb|圖一：面積分的定義需要把面分成小的面積元。每個元素跟一個向量d'''A'''聯繫，該向量的大小等於面積元的面積，而方向則是跟面積元垂直並向外。]]
[[file:Vector field on a surface.svg|right|thumb|250px|圖二：於空間內有定義的一向量場'''F'''（'''r'''，''t''），及以曲線∂Σ為邊界的一表面Σ，在場的積分範圍內以速度'''v'''移動。]]
法拉第電磁感應定律用到通過一表面'''Σ'''的磁通量Φ<sub>B</sub>，其積分形式定義如下：

::<math> \Phi_B = \iint_{\Sigma (t)} \mathbf{B}(\mathbf{r},\  t) \cdot d \mathbf{A}\ </math>

其中d'''A'''為移動面'''Σ'''(''t'')的面積元，'''B'''為磁場，'''B'''·d'''A'''為向量[[點積]]。見圖一。更多細節見[[面積分]]及[[磁通量]]條目。設該表面有一個開口，邊界為閉合曲線'''∂Σ'''(''t'')。見圖二。

當通量改變時，把一電荷在閉合曲線中'''∂Σ'''(''t'')移一圈（每單位電荷）所作的功<math>{\mathcal{E}}</math>，也就是[[電動勢]]，可由法拉第電磁感應定律求得：

:<math> \mathcal{E} = - {{d\Phi_B} \over dt}\ </math>
其中：
:<math>\mathcal{E}</math>為[[電動勢]]，單位為[[伏特]]；
:<span style="font-family:Times New Roman;font-size:16px;">Φ<sub>B</sub></span>為[[磁通量]]，單位為[[韋伯 (單位)|韋伯]]。電動勢的方向（公式中的負號）由[[楞次定律|冷次定律]]提供。

設有一緊纏[[電感元件|線圈]]，法拉第電磁感應定律指出：

:<math> \mathcal{E} = - N{{d\Phi_B} \over dt}</math> 

:其中''N''為線圈圈數；
:<span style="font-family:Times New Roman;font-size:16px;">Φ<sub>B</sub></span>為通過'''一'''圈的磁通量，單位為韋伯。

在選擇路徑'''∂Σ'''(''t'')求電動勢時，路徑須滿足兩個基本條件：（一）路徑閉合；（二）路徑必需能描述到電路各部分的相對運動（這就是'''∂Σ'''(''t'')中變量為時間的原因）。路徑並'''不'''一定要跟隨電流的流動路線，但用通量定律求出的電動勢，理所當然地會是通過所選路徑的電動勢。假若路徑並不跟隨電流的話，那麼那電動勢可能不是驅動着電流的那一電動勢。

==例一：空間變強磁場==
[[file:Right-hand rule.PNG|thumb|250px|圖三：閉合的長方形線圈，以速率'''v'''沿''x''軸移動，其所處的磁場'''B'''隨''x''的位置而變。]]
考慮圖三的長方形線圈，它在''xy''平面上向''x''方向以速率''v''移動。因此，線圈中心''x''<sub>C</sub>滿足''v = dx<sub>C</sub>/dt''。線圈在''y''方向的長度為ℓ，''x''方向的寬度為''w''。一不隨時間改變，而隨''x''方向改變的磁場''B(x)''指向''z''方向。左邊的磁場為''B''(''x<sub>C</sub> − w/2'')，右邊的磁場為''B''(''x<sub>C</sub> + w/2'')。電動勢可直接求得，或由上述的法拉第電磁感應定律求得。

===洛倫茲力法===
在線圈左邊的一電荷''q''，所受的[[洛倫茲力]]為''q'''''v×'''''B'''''k''' = −''qvB(x<sub>C</sub> − w/2)'''''j'''（'''j'''、'''k'''分別為y方向及z方向的單位向量，見[[向量積]]），因此左邊整段電線的電動勢（單位電荷所作的功）為''vℓB(x<sub>C</sub> − w/2)''。可用相同的論述，求出右邊電線的電動勢為''vℓB(x<sub>C</sub> + w/2)''。兩股電動勢互相抵抗，將正電荷推向線圈底部。由於這時磁場的強度會向x方向增強，所以右邊的力最強，電流會順時針流動：使用[[右手定則]]，電流所產生的磁場會抵抗外加的磁場。<ref group="註" name=note2>感應電流產生的磁場有減低磁通量的傾向，而線圈的運動則有增加它的傾向（因為''B''(''x'')會隨線圈移動而增加）。抵抗運動是[[勒沙特列原理]]一個例子，以[[楞次定律]]這個形式進行的。</ref>驅動電流的電動勢必須向逆時針方向增加（抵抗電流）。把電動勢向逆時針方向加起來得：
::<math> \mathcal{E} = v\ell  [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ </math>

===法拉第定律法===
線圈上任何位置通過線圈的磁通量為
::<math>\Phi_B = \pm \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx </math> 
:::<math>= \pm \ell \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x) dx \ </math>
其正負取決於表面的垂直線與'''B'''的方向之異同。如果表面垂直線跟感應電流的'''B'''同一方向，式子為負。此時通量的時間導數（使用微分的[[鏈式法則]]或[[萊布尼茨定則]]的通用形式求出）為：

::<math>\frac {d \Phi_B} {dt} =  (-) \frac {d}{dx_C} \left[ \int_0^{\ell}dy \ \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} dx B(x)\right] \frac {dx_C}{dt} \ </math>
:::<math>  = (-)  v\ell  [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ , </math>
（其中''v'' = d''x''<sub>C</sub>/d''t''為線圈於''x''方向的運動速率），所以
::<math> \mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} = v\ell  [ B(x_C+w/2) - B(x_C-w/2)] \ </math>
跟之前一樣。

這兩種方法一般來說都一樣，但視乎例子而定，其中一種有時可能會比較實用。

==例二：均勻磁場中的運動環路==
[[Image:Spindle.PNG|thumb|300px|圖四：矩形線圈以角速率ω轉動，其所處的磁場'''B'''大小固定，並向外呈放射狀指出。上下兩塊碟片的邊沿會導電，而電流則由旁邊的電刷收集。]]
圖四為由上下兩塊帶導電邊沿的碟片所組成的轉軸，上面的電線環路垂直地連接着兩塊碟片。整組裝置在磁場中旋轉，該磁場向外呈放射狀指出，但其大小不隨方向變化。一向外的回路從邊沿上把電流收集起來。在收集迴路的位置上，向外的磁場與回路位於同一個平面上，因此收電回路並不對電路的磁通量造成影響。電動勢可直接求出，或使用上文的法拉第定律求出。

===洛倫茲力法===
這個案中，在移動環路中那兩根垂直的電線裏，洛倫茲力向下驅動着電流，因此電流從上碟片流向下碟片。在碟片的導電邊沿內，洛倫茲力與邊沿垂直，所以邊沿上並沒有電動勢，環路中的水平部分也沒有。電流通過外加的回路從下邊沿傳到上邊沿，而該回路位於磁場的平面上。因此，回路中的洛倫茲力與回路平行，在這回路中並沒有生成電動勢。穿過電流通道，到達電流反方向流動的地方，功只在移動環路垂直電線中抵抗洛倫茲力，其中

::<math>F = q\ B \ v\ </math>

因此電動勢為

::<math> \mathcal {E} = B v \ell \ = B r \ell \omega \ </math>

其中ℓ為環路中的垂直長度，與角轉動率相關的速度可由''v = r ''ω求出，而''r'' = 碟片半徑。注意，在'''任何'''跟環路轉動並連接上下邊沿的路徑中，所作的功都'''一樣'''。

===法拉第定律法===
一個直覺上很吸引但錯誤的通量定則使用法是，將通過電流的通量當成只是Φ<sub>B</sub> = ''Bw''ℓ，其中''w''為移動環路的寬度。這數目與時間沒有關係，所以這方法會不正確地預測出無生成電動勢。這套論述的缺陷在於它並沒有考慮到整個電路，而整個電路是閉合的環路。

使用通量定則時，我們必須顧及整個電路，其中包括通過上下碟片邊沿的路徑。我們可以選擇一通過兩道邊沿及移動環路的任意閉合路徑，而通量定則會找出該路徑的電動勢。任何有一部分連接移動環路的路徑，都會表達到電路移動部分的相對運動。

作為一個路徑例子，選擇在上碟片按照轉動方向，並下碟片按照轉動反方向穿過電路（由圖四的箭號表示）。在這情況下，對與回路成角θ的移動環路而言，圓柱體的一部分面積''A'' = ''r''ℓθ為電路的一部分。這面積與磁場垂直，所以造成了這個大小的通量：

::<math> \Phi_B =  -B r \theta \ell \ </math>

其中式子為''負''，這是因為右手定則指出，電流環路所產生的磁場，與外加的磁場方向相反的緣故。由於這是通量中唯一一個跟隨時間轉變的部分，所以通量定則預測的電動勢為

::<math> \mathcal{E} = -\frac {d \Phi_B} {dt} = B r  \ell \frac {d \theta} {dt} </math>
:::<math> = B r \ell \omega \ </math>

與使用洛倫茲力法的計算答案一致。

現在嘗試不同的路徑。跟隨一條選擇餘下部分通過邊沿的路徑。那麼耦合磁通量會隨θ增加而'''減少'''，但右手定則會指出把電流環路'''加'''到外加磁場上去，因此這條路徑跟第一條路徑的電動勢相同。任何回路的組合都會對電動勢產生相同的結果，因此跟隨哪一條路徑實際上並不重要。

===直接從通量變量中推導===
[[Image:Sliding loop.PNG|thumbnail|250px|圖五：圖四的簡化版本。環路在靜止且均勻的磁場中，以速率'''v'''滑動。]]
以上使用閉合路徑求電動勢的方法，看起來是取決於路徑幾何的細節。相反地，使用[[勞侖茲力]]則沒有這樣的限制。所以有需要加深對通量定則的理解，有關路徑等同及路徑選取時的會漏掉的細節。

圖五是[[#例二：均勻磁場中的運動環路|圖四]]的理想化版本，當中圓柱體被展開成了平面。同樣的路徑分析依然有效，但是還有一個可以簡化的地方。電路中與時間無關的方面，並不能夠影響通量隨時間的變化率。例如，環路以均速滑動時，電流通過環路流動的細節，並不取決於時間。與其考慮求電動勢時環路選取的細節，不如考慮環路移動時所掃過的'''磁場面積'''。這相當於找出電路通量的切斷率。<ref group="註">這個說法指的是法拉第力的線。</ref>這個說法提供了一個方法，可直接求出通量變化率，而不需要考慮電路上各種路徑選取，隨時間而變化的細節。跟使用洛倫茲力一樣，很明顯地，任何兩條連接移動環路的路徑，都會產生相同的通量變化率，不同之處只在於它們如何與環路相交。

圖五中，單位時間內掃過的面積為''dA/dt'' = ''v''ℓ，跟選取的環路細節無關，所以可經法拉第電磁感應定律求出電動勢：<ref group="註">當移動環路通過收集環路時，掃出的通量由'''減少'''變成'''增加'''。同一時間，電流的轉向由逆時針變成順時針，因此磁場生成的電流會抵抗通量的變化。相應地，法拉第定律''dΦB/dt''的正負也會由原本的負，轉成了正，跟通量轉變的正負剛好相反，所以不論收集點在移動環路的哪一邊，電動勢都是正的。</ref>

:<math> \mathcal{E} = - {{d\Phi_B} \over dt} = B v \ell \ </math>

電路勢的路徑的不依賴性表明，如果滑動環路被實心導電板所取代，又或是更複雜的某種變形表面，分析都是一樣的：找出電路移動部分掃過面積的通量。相近地，如果圖四的移動環路被一360°的實心導電圓柱體所取代，掃過面積的計算就跟只有一個環路時是完全一樣的。故此，對圓柱體及實心導電板的個案而言，法拉第定律所預測的電動勢完全一樣，更甚者，以有孔板為壁的圓柱體的個案也一樣。但是注意，這個電動勢所導致的流動電流是'''不'''一樣的，因為電阻決定電流。

==麥克斯韋-法拉第方程==
[[Image:Stokes' Theorem.svg|thumb|right|圖六：開爾文-斯托克斯定理用圖，其中曲面'''Σ'''的邊界 '''∂Σ'''，其方向由向外的向量'''''n'''''及[[右手定則]]規定。]]
變化中的磁場會生成電場；這個現象由麥克斯韋-法拉第方程描述：<ref group="註">“麥克斯韋-法拉第方程”一詞很多時候會由“法拉第電磁感應定律”或甚至“法拉第定律”所取代。後面兩個詞有多重意思，所以這裏用“麥克斯韋-法拉第方程”來防止混淆。</ref>

:<math>\nabla \times \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) = -\frac{\partial \mathbf{B}( \mathbf{r},\ t)} {\partial t}</math>

其中：
:<math>\nabla\times</math>代表[[旋度]]；
:'''E'''為[[電場強度]]；
:'''B'''為[[磁通量密度]]。

這條方程是現代[[麥克斯韋方程組]]內的其中一條，很多時候被稱為法拉第定律。然而，由於它只含有一個時間偏導數，它的應用只限於在隨時間變化的磁場中靜止電荷的情況。它並不能說明帶電粒子在磁場中移動的電磁感應狀況。

它可以用[[斯托克斯公式|開爾文-斯托克斯定理]]寫成積分形式：<ref name=Harrington>
{{cite book 
|author=Roger F Harrington
|title=Introduction to electromagnetic engineering
|year= 2003
|page =56
|publisher=Dover Publications
|location=Mineola, NY
|isbn=0486432416
|url=http://books.google.com/books?id=ZlC2EV8zvX8C&pg=PA57&dq=%22faraday%27s+law+of+induction%22&lr=&as_brr=0&sig=P83DCljMC-sA7Pk2gBJfJ0Fp1yQ#PPA56,M1}}
</ref>

:<math> \oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot d\boldsymbol{\ell} = - \    \iint_{\Sigma}  { \partial \over {\partial t} } \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}  </math>

::::<math>=- \ { \partial \over {\partial t} }   \iint_{\Sigma}   \mathbf{B} \cdot d\mathbf{A}  </math>

其中把導數移至積分前這個動作，需要一與時無關的曲面'''Σ'''（在這裏被視為偏導數解釋的一部分），見圖六：
:'''Σ'''為一被閉合圍道'''∂Σ'''包圍的曲面；'''Σ'''與'''∂Σ'''皆為固定的，不隨時間變動；
:'''E'''為電場強度；
:d'''ℓ'''為圍道'''∂Σ'''的一[[無限小]]向量元； 
:'''B'''為[[磁通量密度]]；
:d'''A'''為曲面'''Σ'''的一無限小向量元，其大小相等於一塊無限小曲面，而其方向與該塊曲面成[[正交]]。

dℓ和d'''A'''都具有正負模糊性；要得到正確的正負號，需要使用[[右手定則]]，解釋詳見[[斯托克斯公式|開爾文-斯托克斯定理]]條目。對一平面Σ而言，曲線∂Σ的正路徑元dℓ，其定義由右手定則所規定，就是當右手姆指跟表面Σ的垂直線'''n'''同一方向時，其他手指所指的那一個方向。

圍繞着'''∂Σ'''的積分叫曲線積分或[[路徑積分]]。麥克斯韋-法拉第方程右邊的[[曲面積分]]，是通過Σ的[[磁通量]]Φ<sub>B</sub>的明確表達式。注意'''E'''的非零路徑積分，跟電荷產生電場的表現不一樣。由電荷生成的電場能以[[標量場]]的梯度表達，為[[泊松方程]]的解，並且路徑積分為零。見[[梯度定理]]。

積分方程對通過空間的'''任何'''路徑'''∂Σ'''成立，也對任何以該路徑為邊界的的表面'''Σ'''成立。注意，但是已知在這方程裏，'''∂Σ'''及'''Σ'''都'''不'''隨時間而改變。這個積分形式不能用於'''運動'''電動勢，因為'''Σ'''跟時間無關。注意這方程內並沒有電動勢<math>^{ \mathcal{E}}</math> ，所以確實不能夠在不引入洛倫茲力的情況下計算出功。

[[Image:Faraday Area.PNG|thumbnail|300px|圖七：由曲線'''∂Σ'''的向量元''d'''''ℓ'''在時間''dt''以速率'''v'''移動時掃過的面積。]]

使用完整的洛倫茲力計算電動勢：

:<math>\mathcal{E} = \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(  \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ </math>

法拉第電磁感應定律的一個描述，比麥克斯韋-法拉第方程的積分形式更通用（見[[洛倫茲力]]），如下：

:<math> \oint_{\partial \Sigma (t)}\left(  \mathbf{E}( \mathbf{r},\ t) +\mathbf{ v \times B}(\mathbf{r},\ t)\right) \cdot d\boldsymbol{\ell}\ </math>  <math> \ =-\frac {d} {dt}  \iint_{\Sigma (t)} d \boldsymbol {A} \cdot \mathbf {B}(\mathbf{r},\ t) \ </math>

其中'''∂Σ'''(''t'')為圍着運動表面'''Σ'''(''t'')的閉合路徑，而'''v'''為運動速率。見[[#通過表面的磁通量及圈中的電動勢|圖二]]。注意上面用的是時間'''常'''導數，而不是時間'''偏'''導數，意指'''Σ'''(''t'')的時間差異必須被微分所包括。被積函數中，曲線''d'''''ℓ'''的元以速率'''v'''移動。

圖七為磁力是如何促成電動勢作出了詮釋，而電動勢就在上面方程的左邊。曲線'''∂Σ'''部分''d'''''ℓ'''，在時間''dt''以速率'''v'''移動時掃過的面積為（見[[向量積#幾何意義|向量積的幾何意義]]）：

:<math> d\mathbf{A} = d \boldsymbol{\ell \times v } dt \  </math>

所以在時間''dt''間通過'''∂Σ'''為邊的表面中這一部分的磁通量變量ΔΦ<sub>B</sub>為：

:<math>\frac {d \Delta \Phi_B} {dt} = \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell \times v } \ = \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot \ d \boldsymbol{\ell} \  </math>

如果我們把這些通過所有部分''d'''''ℓ'''的ΔΦ<sub>B</sub>的作用加在一起，就可以得到法拉第定律對磁力的促成作用。也就是，這個項跟'''運動'''電動勢有關係。

===例三：移動觀測者的視點===
{{See also|移動中的磁鐵與導體問題}}
再次討論[[#例一：空間變強磁場|圖三]]的例子，但這次以移動觀測者的參考系，帶出電場與磁場間以及'''運動'''與'''感應'''電動勢的密切關係。<ref group="註">在這一例子中，假定速率遠低於光速，因此場變換時由[[洛倫茲變換]]所造成的修正值可以被忽略。</ref>假設一環路觀測者與環路一起移動。觀測者以洛倫茲力及法拉第電磁感應定律計算環路的電動勢。由於這觀測者與環路一起移動，觀測者看不到環路的運動，以及零'''v×B'''。然而，由於磁場隨''x''位置變化，所以觀測者看到時間變強的磁場，也就是：

:<math> \mathbf{B} = \mathbf{k}{B}(x+vt) \ </math>

其中'''''k'''''為指向''z''方向的單位向量。<ref group="註" name=note3>其中一個可得到這結果的方法是，在移動參考系中從''x''<sub>C</sub>量度''x''，假設ξ = ''x'' - ''x''<sub>C</sub> ( ''t'' )。然後於時間''t''，移動觀測者看到場''B''( ξ, ''t'' )，而靜止觀測者在同一個地方看到場，''B'' [ ξ +  ''x''<sub>C</sub> ( ''t'' ) ] = ''B'' ( ξ +  ''x''<sub>C0</sub> + ''v t'' )，其中''x''<sub>C0</sub> = ''x''<sub>C</sub> ( ''t'' = 0 )。</ref> 

====洛倫茲力定律版本====
麥克斯韋-法拉第方程指出移動觀測者在''y''方向所見的電場''E''<sub>y</sub>可由下式表示（見[[旋度]]）：

:<math> \nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{k}\ \frac {dE_y}{dx}  </math>

::::<math>=- \frac { \partial \mathbf{B}}{\partial t}=-\mathbf{k}\frac {d B(x+vt)} {dt} = -\mathbf{k}\frac {dB}{dx} v \  \  </math>

下式使用了[[鏈式法則|鏈鎖律]]：

:::<math> \frac {dB}{dt} = \frac {dB}{d(x+vt)} \frac {d(x+vt)}{dt} =\frac {dB} {dx} v \  </math>

求解''E''<sub>y</sub>，準確到一個對環路積分沒有作用的常數，得：

::<math> E_y (x,\ t) = -B(x+vt) \ v \ </math>

使用洛倫茲力定律，得一個電場分量，觀測者於時間t得環路的電動勢為：

::<math> \mathcal{E} = -\ell  [ E_y (x_C+w/2,\ t) - E_y(x_C-w/2,\ t)] </math>
:::<math>  = v\ell  [ B(x_C+w/2+v t) - B(x_C-w/2+vt)] \  </math>

這個結果跟靜止觀測者的個案一致，他看到的是中點''x''<sub>C</sub>移到''x''<sub>C</sub> + ''vt''。然而，移動觀測者的結果中，洛倫茲力看起來只有'''電'''分量，而靜止觀測者的則只有'''磁'''分量。

====法拉第電磁感應定律====
使用法拉第電磁感應定律，與''x''<sub>C</sub>一起移動的觀測者看到磁通量的變化，但環路看起來並沒有移動：環路的中心''x''<sub>C</sub>被固定了，這是因為觀測者與環路一起移動着。通量則是：

::<math>\Phi_B =-\int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} B(x+vt) dx \ </math>

其中右式為負，這是因為表面的垂直線與外加磁場各自指向相反的方向。現在從法拉第電磁感應定律得出的電動勢是：

::<math> \mathcal{E} = -\frac {d\Phi_B} {dt} =  \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dt}B(x+vt) dx</math>
:::<math> =  \int_0^{\ell} dy \int_{x_C-w/2}^{x_C+w/2} \frac{d}{dx}B(x+vt)\ v\  dx</math>
:::<math>=v\ell \  [ B(x_C+w/2+vt) - B(x_C-w/2+vt)] \ </math>

答案是一樣的。時間導數走進了積分裏面，這是因為積分的上下限並不取決於時間。又一次，鏈式定律被用於把時間導數轉化成''x''導數。

靜止觀測者認為該電動勢是'''運動'''電動勢，而移動觀測者則認為是'''感應'''電動勢。<ref name=Davidson>
{{cite book 
|author=Peter Alan Davidson
|title=An Introduction to Magnetohydrodynamics
|year= 2001
|page =44
|publisher=Cambridge University Press 
|location=Cambridge UK
|isbn=0521794870
|url=http://books.google.com/books?id=t4dg3scoE5AC&pg=PA44&dq=relativity+%22Faraday%27s+law%22&lr=&as_brr=0&sig=FrCKqUHzPIfWdtEcSZnVqYGhfO8}}
</ref>

==作為兩種不同現象的法拉第定律==
有些物理學家注意到法拉第定律是一條描述兩種現象的方程式：由磁力在移動中的電線中產生的'''動生電動勢'''，及由磁場轉變而成的電力所產生的'''感應電動勢'''。就像[[理查德·費曼]]指出的那樣：<ref>費曼把聯繫磁通量及電動勢的定律叫“通量定則”。{{cite book
 |author    = Richard Phillips Feynman, Leighton R B & Sands M L
 |title     = The Feynman Lectures on Physics
 |year      = 2006
 |page      = Vol. II, pp. 17-2
 |publisher = Pearson/Addison-Wesley
 |location  = San Francisco
 |url       = http://books.google.com/books?id=zUt7AAAACAAJ&dq=intitle:Feynman+intitle:Lectures+intitle:on+intitle:Physics&lr=&as_brr=0
 |isbn      = 0805390499
 |nopp      = true
}}{{Dead link}}</ref>
{{Quotation |所以“通量定則”，指出電路中電動勢等於通過電路的磁通量變化率的，同樣適用於通量不變化的時候，這是因為場有變化，或是因為電路移動（或兩者皆是）……但是在我們對定則的解釋裏，我們用了兩個屬於完全不同個案的定律：“電路運動”的<math>^{\mathbf{-v \times B}}</math>和“場變化”的<math>^{\mathbf{\nabla \ x \ E \  = \  -\partial_{\ t} B}}</math>。<br>
我們不知道在物理學上還有其他地方，可以用到一條如此簡單且準確的通用原理，來明白及分析'''兩個不同的現象'''。|理查德·P·費曼 《費曼物理學講義》}}
格里夫斯的書中也有類似陳述。<ref name=Griffiths1>{{cite book | author=Griffiths, David J. | title=Introduction to Electrodynamics | url=http://www.amazon.com/gp/reader/013805326X/ref=sib_dp_pt/104-2951702-6987112#reader-link | edition=Third Edition | page=301-3 | publisher=Prentice Hall | year=1999 | location=Upper Saddle River NJ | isbn=0-13-805326-X | access-date=2009-01-10 | archive-date=2019-10-29 | archive-url=https://web.archive.org/web/20191029025007/https://www.amazon.com/gp/reader/013805326X/ref=sib_dp_pt/104-2951702-6987112#reader-link | dead-url=no }}. 注意把通量及電動勢聯繫起來的定律，在本條目中被稱為“法拉第定律”，而格里夫斯則用上“通用通量定則”一詞。而格里夫斯則把本條目中的“麥克斯韋-法拉第定律”，叫做“法拉第定律”。所以實際上，在教科書中，格里夫斯的陳述是有關“通用通量定則”的。</ref>

==歷史==
法拉第定律最初是一條基於觀察的實驗定律。<ref name=Laud>
{{cite book 
|author=BB Laud
|title=Electromagnetics
|page=151
|year= 1987
|publisher=New Age International
|location=New Delhi
|isbn=0852264992
|url=http://books.google.com/books?id=XtgFvbd9F2UC&pg=PA151&dq=induction+%22Faraday%27s+law%22&lr=&as_brr=0&sig=wJOYLLLdlgJmAPIjxlzb_UjIXqg#PPA151,M1}}
</ref><ref name=Williams>{{cite book |url=http://books.google.com/books?id=Tn4KAAAAMAAJ&dq=intitle:the+intitle:origins+intitle:of+intitle:field+intitle:theory&lr=&as_brr=0&pgis=1 |title=The Origins of Field Theory |author= L. Pearce Williams |year= 1966 |publisher=Random House |page= 77-78, 133 (for electromagnetic induction) ; p. 85-89, 133 (for electrostatic induction)}}</ref>後來被正式化，其偏導數的限制版本，跟其他的[[電磁學]]定律一塊被列[[麥克斯韋方程組]]的現代黑維塞版本。

法拉第電磁感應定律是基於法拉第於1831年所作的實驗。這個效應被[[約瑟·亨利]]於大約同時發現，但法拉第的發表時間較早。<ref>{{cite book |last=Ulaby |first=Fawwaz |title=Fundamentals of applied electromagnetics |edition=5th Edition |date=2007 |url=http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0132413264/ref=ord_cart_shr?%5Fencoding=UTF8&m=ATVPDKIKX0DER&v=glance |publisher=Pearson:Prentice Hall |isbn=0-13-241326-4 |pages=255 |access-date=2008-12-26 |archive-date=2020-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201030043341/https://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/0132413264/ref=ord_cart_shr?_encoding=UTF8&m=ATVPDKIKX0DER&v=glance |dead-url=no }}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.nas.edu/history/members/henry.html |title=Joseph Henry |accessdate=2006-11-30 |work=Distinguished Members Gallery, National Academy of Sciences |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20061209134636/http://www.nas.edu/history/members/henry.html |archivedate=2006-12-09 }}</ref>

見麥克斯韋討論電動勢的原著。<ref name=Mawell>
{{cite book 
|author=James Clerk Maxwell
|title=A treatise on electricity and magnetism v. 2
|page=Chapter III, §530, p. 178
|year= 1881
|isbn=0486606376
|publisher=Clarendon Press
|location=Oxford UK
|url=http://books.google.com/books?id=vAsJAAAAIAAJ&printsec=frontcover&dq=intitle:a+intitle:treatise+intitle:on+intitle:electricity+intitle:an+intitle:magnetism&lr=&as_brr=0&source=gbs_book_other_versions_r&cad=0_1#PPA166,M1 
|nopp=true}}
</ref>

於1834年由波羅的海德國科學家[[海因里希·楞次]]發現的[[楞次定律]]，提供了感應電動勢的方向，及生成感應電動勢的電流方向。

==應用==
===發電機===
{{main|發電機}}
[[Image:Faraday's disc.PNG|thumb|200px|圖八：法拉第碟片發電機。碟片以角速率ω旋轉，在靜磁場'''B'''中環行地掃過導電的半徑。磁洛倫茲力'''v×B'''，沿着導電半徑到導電邊沿驅動着電流，並從那裏經由下電刷及支撐碟片的軸完成電路。因此，電流由機械運動所產生。]]
由法拉第電磁感應定律因電路及磁場的相對運動所造成的電動勢，是[[發電機]]背後的根本現象。當[[磁鐵|永久性磁鐵]]相對於一導電體運動時（反之亦然），就會產生電動勢。如果電線這時連着電[[負載]]的話，電流就會流動，並因此產生[[電能]]，把機械運動的能量轉變成電能。例如，基於[[#例二：均勻磁場中的運動環路|圖四]]的'''鼓輪發電機'''。另一種實現這種構想的發電機就是[[同極發電機|法拉第碟片]]，簡化版本見[[#發電機|圖八]]。注意使用[[#直接從通量變量中推導|圖五]]的分析，或直接用洛倫茲力定律，都能得出使用實心導電碟片運作不變的這一結果。

在法拉第碟片這一例子中，碟片在與碟片垂直的均勻磁場中運動，導致一電流因洛倫兹力流到向外的軸臂裏。明白機械運動是如何成為驅動電流的必需品，是很有趣的一件事。當生成的電流通過導電的邊沿時，這電流會經由[[安培環路定理]]生成出一磁場（圖八中標示為“Induced B”）。因此邊沿成了抵抗轉動的[[電磁鐵]]（[[楞次定律]]一例）。在圖的右邊，經轉動中軸臂返回的電流，通過右邊沿到達底部的電刷。此一返回電流所感應的磁場會抵抗外加的磁場，它有'''減少'''通過電路那邊通量的傾向，以此'''增加'''旋轉帶來的通量。因此在圖的左邊，經轉動中軸臂返回的電流，通過左邊沿到達底部的電刷。感應磁場會'''增加'''電路這邊的通量，'''減少'''旋轉帶來的通量。所以，電路兩邊都生成出抵抗轉動的電動勢。儘管有反作用力，需要保持碟片轉動的能量，正等於所產生的電能（加上由於[[摩擦]]、[[焦耳定律|焦耳熱]]及其他消耗所浪費的能量）。所有把[[機械能]]轉化成電能的發電機都會有這種特性。

雖然法拉第定律經常描述發電機的運作原理，但是運作的機理可以隨個案而變。當磁鐵繞着靜止的導電體旋轉時，變化中的磁場生成電場，就像麥克斯韋-法拉第方程描述的那樣，而電場就會通過電線推着電荷行進。這個案叫'''感應電動勢'''。另一方面，當磁鐵靜止，而導電體運動時，運動中的電荷的受到一股磁力（像洛倫茲力定律所描述的那樣），而這磁力會通過電線推着電荷行進。這個案叫'''動生電動勢'''。（更多有關感應電動勢、動生電動勢、法拉第定律及洛倫茲力的細節，可見[[#例三：移動觀測者的視點|上例]]或格里夫斯一書。<ref name=Griffiths2>{{cite book | author=Griffiths, David J. | title=Introduction to Electrodynamics | url=http://www.amazon.com/gp/reader/013805326X/ref=sib_dp_pt/104-2951702-6987112#reader-link | edition=Third Edition | page=301-303 | publisher=Prentice Hall | year=1999 | location=Upper Saddle River NJ | isbn=0-13-805326-X | access-date=2009-01-10 | archive-date=2019-10-29 | archive-url=https://web.archive.org/web/20191029025007/https://www.amazon.com/gp/reader/013805326X/ref=sib_dp_pt/104-2951702-6987112#reader-link | dead-url=no }}</ref>）

===電動機===
{{main|電動機}}
發電機可以“反過來”運作，成為電動機。例如，用法拉第碟片這例子，設一直流電流由電壓驅動，通過導電軸臂。然後由洛倫茲力定律可知，行進中的電荷受到磁場''B''的力，而這股力會按[[佛來明左手定則]]訂下的方向來轉動碟片。在沒有不可逆效應（如摩擦或[[焦耳定律|焦耳熱]]）的情況下，碟片的轉動速率必需使得''dΦ<sub>B</sub>/dt''等於驅動電流的電壓。

===變壓器===
{{main|變壓器}}
法拉第定律所預測的電動勢，同時也是變壓器的運作原理。當線圈中的電流轉變時，轉變中的電流生成一轉變中的磁場。在磁場作用範圍中的第二條電線，會感受到磁場的轉變，於是自身的耦合磁通量也會轉變（''d''Φ<sub>B</sub>/''dt''）。因此，第二個線圈內會有電動勢，這電動勢被稱為'''感應電動勢'''或'''變壓器電動勢'''。如果線圈的兩端是連接着一個電[[負載]]的話，電流就會流動。

===電磁流量計===
法拉第定律可被用於量度導電液體或漿狀物的流動。這樣一個儀器被稱為電磁流量計。在磁場B中因導電液以速率為v的速度移動，所生成的感應電壓ε可由以下公式求出：
:<math>\mathcal{E}= B \ell v</math>
其中ℓ為電磁流量計中電極間的距離。

==另見==
* [[法拉第弔詭]]
* [[向量分析]]
* [[斯托克斯定理]]
* [[串擾]]（由電感產生的電子干擾）

== 註解 ==
{{NoteFoot}}

==資料來源==
{{reflist}}

==延伸閱讀==
有關'''法拉第定律'''一詞各種用法的討論： [https://web.archive.org/web/20090226225302/http://www.nadn.navy.mil/Users/physics/tank/Public/FaradaysLaw.pdf Tankersley and Mosca: ''Introducing Faraday's law''] {{en}}

== 外部連結 == 
* [https://web.archive.org/web/20080725021957/http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/java/electromagneticinduction/index.html  電磁感应的簡易互動Java教學] 美國國家高能磁場實驗室 {{en}}
* [https://web.archive.org/web/20080530092914/http://www.physics.smu.edu/~vega/em1304/lectures/lect13/lect13_f03.ppt R. Vega 《電磁感應：法拉第定律與楞次定律》——高度動畫化課堂] {{en}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html 喬治亞州州立大學超物理筆記] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html |date=20170927192407 }}; 另見 [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html 主頁] {{Wayback|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/hframe.html |date=20170927192407 }} {{en}}

{{-}}
{{麥可·法拉第}}
{{电磁学}}

[[Category:电动力学|F]]
[[Category:物理定律|F]]

[[de:Elektromagnetische Induktion#Induktionsgesetz in Integralform]]