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在[[测度论]]中，'''法图引理'''说明了一个[[函数]]列的[[下极限]]的[[勒贝格积分|积分]]（在[[勒贝格]]意义上）和其积分的下极限的[[不等]]关系。法图引理的名称来源于[[法国]][[数学家]][[皮埃尔·法图]]（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的[[法图-勒贝格定理]]和[[勒贝格控制收敛定理]]。

==叙述==

设<math>(S,\Sigma,\mu)</math>为一个[[测度空间]]， <math>(f_n)_{n \ge 0}</math>是一个实值的可测'''正值'''函数列。那么：
:<math>
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
 \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.
</math>

其中的函数极限是在[[逐点收敛]]的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

==证明==

定理的证明基于[[单调收敛定理]]（非常容易证明）。设<math>f</math>为函数列<math>(f_n)_{n \ge 0}</math> 的[[下极限]]。对每个正整数<math>k</math>，逐点定义下极限函数：
:<math>g_k=\inf_{n\ge k}f_n.</math>

于是函数列<math>g_1,g_2,\ldots</math>[[单调递增]]并趋于<math>f</math> 。 

任意<math>k\leq n</math>，我们有<math>g_k\leq f_n</math>，因此 
:<math>\int_S g_k\,d\mu\le \int_S f_n\,d\mu,</math>

于是
:<math>
\int_S g_k\,d\mu
\le\inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu.
</math>

据此，由[[单调收敛定理]]以及下极限的定义，就有：
:<math>
\int_S \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu
=\lim_{k\to\infty}\int_S g_k\,d\mu
\le\lim_{k\to\infty} \inf_{n\ge k}\int_S f_n\,d\mu
=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.
</math>

==反向法图引理==
令<math>(f_n)</math>为[[测度空间]]<math>(S,\Sigma,\mu)</math>中的一列可测函数，函数的值域为[[扩展的实数轴|扩展实数]]（包括[[无穷大]]）。如果存在一个在 <math>S</math>上可积的正值函数<math>g</math>，使得对所有的<math>n</math>都有<math>f_n \le g</math>，那么
:<math>
\int_S\limsup_{n\to\infty}f_n\,d\mu
\ge\limsup_{n\to\infty}\int_Sf_n\,d\mu.
</math>

这里<math>g</math>只需弱可积，即<math>\textstyle\int_S g\,d\mu<\infty</math>。

证明：对函数列<math>(g - f_n)</math>应用法图引理即可。

==推广==
===推广到任意实值函数===

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令<math>(f_n)_{n \ge 0}</math>为[[测度空间]]<math>(S,\Sigma,\mu)</math>中的一列可测函数，函数的值域为[[扩展的实数轴|扩展实数]]（包括[[无穷大]]）。如果存在一个在<math>S</math>上可积的正值函数<math>g</math>，使得对所有的<math>n</math>都有<math>f_n \ge  g</math>，那么

证明：对函数列<math>\scriptstyle ( f_n - g )</math>应用法图引理即可。

===逐点收敛===

在以上的条件下，如果函数列在''<math>S</math>''上''μ''-[[几乎处处]][[逐点收敛]]到一个函数<math>\scriptstyle f</math>，那么
:<math>\int_S f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.</math> 

证明：<math>\scriptstyle f</math>是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，[[零测集]]上的差异对于积分值没有影响。

===依测度收敛===

如果函数列在''<math>S</math>''上[[依测度收敛]]到<math>f</math>，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在<math>\scriptstyle (f_n)</math>的一个子列使得
:<math>\lim_{k\to\infty} \int_S f_{n_k}\,d\mu=\liminf_{n\to\infty} \int_S f_n\,d\mu\,.</math>
这个子列仍然依测度收敛到<math>\scriptstyle f</math>，于是又存在这个子列的一个子列在''<math>S</math>''上''μ''-[[几乎处处]][[逐点收敛]]到<math>f</math>，于是命题成立。

==外部链接==
*{{planetmath reference|id=3678|title=法图引理|urlname=fatouslemma}}

==参考来源==

* H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.


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[[Category:实分析|F]]
[[Category:引理]]