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{{unreferenced|time=2009-6-18}}

在[[数学]]领域之[[微分几何]]中，'''法丛'''（{{lang|en|normal bundle}}）是一个特殊的[[向量丛]]，得自一个[[嵌入_(数学)|嵌入]]或[[浸入]]，是[[切丛]]的补。

==定义==
===黎曼流形===
设<math>(M,g)</math>是一个[[黎曼流形]]，<math>S \subset M</math>是一个[[黎曼子流形]]。对给定的<math>p \in S</math>，一个向量<math>n \in \mathrm{T}_p M</math>定义为<math>S</math>的法向量，如果<math>g(n,v)=0</math>对所有<math>v\in \mathrm{T}_p S</math>（从而<math>n</math> [[正交补|正交]]于<math>\mathrm{T}_p S</math>）。这样的<math>n</math>的集合<math>\mathrm{N}_p S</math>称之为<math>S</math>在<math>p</math>的'''法空间'''。

就像一个流形的'''切丛'''是由流形的所有[[切空间]]构造的，<math>S</math>的法丛的全空间<math>\mathrm{N} S</math>定义为
:<math>\mathrm{N}S := \coprod_{p \in S} \mathrm{N}_p S.\,</math>

'''余法丛'''定义为法丛的[[对偶丛]]。它可以自然实现为[[余切丛]]的子丛。

===一般定义===
更抽象地，给定一个[[浸入]]<math>i\colon N \to M</math>（比如嵌入），我们可以定义''N''在''M''中的法丛，在每一点取''M''上的切丛对''N''的切丛的[[商空间]]。对黎曼流形我们可将商与正交补等同，但一般不可行（这样一种选取等价于投影<math>V \to V/W</math>的一个[[截面 (范畴论)|截面]]）。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地，''N''在''M''中的法丛是''M''的切丛的一个商丛： 
我们有''N''上向量丛的[[短正合序列]]：
:<math>0 \to TN \to TM\vert_{i(N)} \to T_{M/N} := TM\vert_{i(N)} / TN \to 0</math>
这里<math>TM\vert_{i(N)}</math>是''M''的切丛限制在''N''上（准确地说，''M''的切丛<math>i^*TM</math>通过映射<math>i</math> [[拉回]]到''N''上）。

==稳定法丛==
抽象流形由一个典范切丛，但没有法丛：只有当一个流形嵌入（或浸入）另一个流形时诱导了一个法丛。但是，由[[惠特尼嵌入定理]]，每个[[紧空间|紧]]流形可以嵌入在<math>\mathbf{R}^N</math>中，给了这样一个嵌入，每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式，但对给定的''M''，任何两个嵌入在<math>\mathbf{R}^N</math>中，对足够大''N''是[[正则同伦]]的，从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类（这是一个丛的类而不是一个特定的丛，因为''N''可以变）称为{{tsl|en|stable normal bundle|稳定法丛}}。

==对偶于切丛==
法丛在[[K-理论]]的意义下对偶于切丛：
由上一个短正合序列，在[[格罗滕迪克群]]中
:<math>[TN] + [T_{M/N}] = [TM].\,</math>

浸入在<math>\mathbf{R}^N</math>中的情形，周围空间的法丛是平凡的（由于<math>\mathbf{R}^N</math>可缩，从而[[可平行化]]），故<math>[TN] + [T_{M/N}] = 0</math>，从而<math>[T_{M/N}] = -[TN]</math>。

这在计算[[示性类]]时有用，可用于证明一个流形可浸入和可嵌入[[欧几里得空间]]中的[[下界]]。

[[Category:向量丛|F]]
[[Category:微分拓扑学|F]]