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[[File:Poiseuille.jpg|thumb|200px|让·泊肃叶]]
'''泊肃叶定律'''（{{lang-en|Poiseuille's law}}）<ref>{{Cite journal|title=The History of Poiseuille's Law|url=http://dx.doi.org/10.1146/annurev.fl.25.010193.000245|last=Sutera|first=S P|last2=Skalak|first2=R|date=1993-01|journal=Annual Review of Fluid Mechanics|issue=1|doi=10.1146/annurev.fl.25.010193.000245|volume=25|pages=1–20|issn=0066-4189}}</ref>也稱為'''泊谡叶方程'''、'''帕醉定律'''、'''哈根-泊肃叶定律'''（{{lang|en|Hagen-Poiseuille's law}}）、'''哈根-帕醉方程'''（{{lang|en|Hagen-Poiseuille's equation}}），是描述[[流體]]流经细管（如[[血管]]和导尿管等）所產生的壓力損失，壓力損失和體積流率、動黏度和管長的乘積成正比，和管径的四次方成反比例。此定律適用於不可壓縮、不具有[[加速度]]、[[層流]]穩定且長於管徑的[[牛頓流體]]。泊肃叶定律是{{link-en|让·泊肃叶|Jean Léonard Marie Poiseuille}}于1838年和{{link-en|戈特希尔夫·哈根|Gotthilf Hagen}}于1838和1839年分别实验独立发现的，並于1840年和1846年发表。

泊肃叶定律的应用前提有七：
#假设液体是[[不可压缩流體]]；
#假设液体是[[牛顿流体]]，即它的粘滞系数不随流速而改变；
#假设液体的流动是[[层流]]，而不是[[湍流]]，即管的直径不能太大。
# Fully Develop，液體在管內速度場為全展開
# Steady state, 穩定流態
# Circular pipe, 流體在圓形管內流動
# 忽略End effect 終端效應

==公式==
===標準流體力學的表示法===
以下是用標準流體力學表示法下的泊肃叶定律：<ref>{{Cite book|chapter=Preface|title=Micro- and Nanoscale Fluid Mechanics|url=http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511760723.001|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=978-0-511-76072-3|pages=xv–xvi|first=Brian|last=Kirby}}</ref><ref>{{Cite book|url=http://worldcat.org/oclc/753178868|publisher=Oxford Univ. Press|date=2011|isbn=978-0-19-923509-4|oclc=753178868|last=Bruus, Henrik.|title=Theoretical microfluidics}}</ref>
:<math> \Delta P = \frac{8 \mu L Q}{ \pi r^4} </math>
或
:<math> \Delta P = \frac{128 \mu L Q}{ \pi d^4}</math>

其中
:<math>\Delta P </math>是壓力損失
:<math>L</math>是細管長度
:<math> \mu </math>是[[黏度]]
:<math>Q</math>是[[體積流率]]
:<math>r</math>是[[半徑]]
:<math>d</math>是[[直徑]]

===物理表示法===
:<math> \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \left( \frac{- \Delta P}{\Delta x}\right) = \frac{\pi R^{4}}{8 \eta} \frac{ |\Delta P|}{L} </math>

其中的單位如下，單位則是以相容的單位為主（例如[[國際單位制]]）
:<math> \Phi </math>是體積流率（標準流體力學表示法中的<math>Q</math>）
:<math>V(t)</math>是流過的液體體積函數，參數為時間<math>t</math>
:<math>v</math>是沿著細管的平均流體[[速度]]
:<math>x</math>是沿著流體流動方向的距離
:<math>R</math>是細管的內半徑
:<math>\Delta P </math>是細管兩端的壓力損失
:<math>\eta </math>是[[動黏度]]，SI制單位為[[帕斯卡|Pa]]·[[秒|s]]
:<math>L</math>是細管的長度

此公式在細管进口段的誤差較大<ref>{{Cite book|url=http://worldcat.org/oclc/1158109140|isbn=0-691-21297-X|oclc=1158109140|last=Vogel, Steven, author.|title=Life in Moving Fluids : The Physical Biology of Flow - Revised and Expanded Second Edition}}</ref>{{rp|3}}。

此公式不適用在低黏度、短管、寬管或流體流速高的條件下。低黏度、高流速或寬管的條件會產生[[紊流]]，導致該流體的壓力差較此定律所預測的值為大。因此需要用到像是[[达西-韦史巴赫方程]]之類較複雜的模型。若管子太短，泊肃叶定律會計算出不實際的高體積流率。此公式所計算出的流體流率，被限制在較寬鬆條件的[[伯努利定律]]結果之內：

<math>\Phi_{max} = \pi R^2 \sqrt{2 \Delta P / \rho}</math>

==推導==
[[File:Poiseuille profile.png|thumb|管子中的層流，其速度分布呈拋物線]]
泊肃叶定律可以由[[纳维－斯托克斯方程]]推導而來，但若已知管子中的層流，其速度分布呈拋物線<ref name="層流與擾流">{{Cite web|title=層流與擾流|url=http://content.edu.tw/vocation/chemical_engineering/tp_ss/content-wa/wchm1/wpage1-3.htm|accessdate=2014-01-07|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140107155703/http://content.edu.tw/vocation/chemical_engineering/tp_ss/content-wa/wchm1/wpage1-3.htm|archivedate=2014-01-07|dead-url=yes}}</ref>：

:<math> v = - \frac{1}{4 \eta} \frac{\Delta P}{\Delta x} (R^2 - r^2) </math>

在相同直徑處的速度也會相同，因此將相同直徑處的流體視為一薄層，流過薄層流體的體積流量等於速度乘以薄層的截面積：

:<math> \Phi (r)dr =  \frac{1}{4 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (R^2 - r^2) 2 \pi rdr = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} (rR^2 - r^3)dr </math>

再將上述的量對半徑''r''[[積分]]，即可得到總流量。
:<math> \Phi = \frac{\pi}{2 \eta} \frac{|\Delta P|}{\Delta x} \int_{0}^{R} (rR^2 - r^3)\, dr = \frac{|\Delta P| \pi R^4}{8 \eta \Delta x} </math>

==和达西-韦史巴赫方程的關係==
泊肃叶定律不只是有關壓力損失和流速的公式，也和管子中的層流，其速度分布呈拋物線有關<ref name="層流與擾流" />。不過只要推定紊流下的有效紊流黏度，也可以將上述壓力損失的公式延伸到紊流的情形，即使紊流速度分布已不呈拋物線也沒關係。在層流和紊流的情形下，壓力損失都和管壁的應力有關，由管壁應力可以定義所謂的摩擦因數。在[[水力学]]的領域中，管壁應力可以用[[达西-韦史巴赫方程]]求得，其中摩擦因數表示為和[[雷諾數]]和其他物理量的函數。若在層流的情形下：

:<math> \Lambda = {64\over {\it \mathrm{Re}}} \; , \quad\quad \mathrm{Re} = {2\rho v r\over \eta} \; , </math>

其中
:<math> \Lambda</math>為摩擦因數
:<math>Re</math>為[[雷諾數]]
:<math>\rho</math>為流體密度
:<math>v</math>為平均流體速度，在層流的情形下會是最大流體速度的一半

上述式子用平均流體速度來定義雷諾數，因此其實用性提高。因為在紊流其最大流體速度很難計算。此公式可以近似达西摩擦因数。<math> \Lambda</math>是圓型管子下流速很低的層流下的摩擦因數。韦德曼（Wiedman）曾在1856年獨立的進行和此定律型式稍微不同的定律的推導，諾伊曼和哈根巴赫（E. Hagenbach）也曾在1858年推導過型式不完全一様的定律。哈根巴赫是第一個稱此定律為泊肃叶定律的人。

泊肃叶定律在[[生理学]]中的[[血液流变学]]和[[血液動力学]]中非常的重要<ref>{{Cite web|title=Determinants of Resistance to Flow (Poiseuille's Equation)|url=https://www.cvphysiology.com/Hemodynamics/H003|accessdate=2020-09-29|publisher=CV Physiology|archive-date=2021-01-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20210118211703/https://www.cvphysiology.com/Hemodynamics/H003|dead-url=no}}</ref>。

1891年時L. R. Wilberforce以哈根巴赫的研究為基礎，將泊肃叶定律擴展到紊流的領域中。

==可壓縮流體下的泊肃叶定律==
若管中的是[[可壓縮流|可壓縮流體]]，其[[體積流率]]及線速度會延著管子變化。流體一般會以出口處的壓力來表示，當流體壓縮或是膨脹時，流體會作功，溫度可能上昇或是下降，因此流體流率和流體與外界的熱交換有關。若是在[[等温过程]]下的[[理想氣體]]，也就是氣體溫度和外界平衡時，而且管子兩端的壓力差很小時，其出口處的體積流率可以表示如下式：

:<math> \Phi = \frac{dV}{dt} = v \pi R^{2} = \frac{\pi R^{4} \left( P_{i}-P_{o} \right)}{8 \eta L} \times \frac{ P_{i}+P_{o}}{2 P_{o}} = \frac{\pi R^{4}}{16 \eta L} \left( \frac{ P_{i}^{2}-P_{o}^{2}}{P_{o}} \right) </math>

其中
:<math> P_{i} </math>為入口壓力
:<math> P_{o} </math>為出口壓力
:<math> L </math>為管長
:<math> \eta </math>為[[動黏度]]
:<math> R </math>為[[半徑]]
:<math> V </math>為出口處的流體體積
:<math> v </math>為出口處的流體速度

當流體的馬赫數小於0.3時，可以用上式近似實際的體積流率。

上式可以視為是增加一修正係數<math> \frac{P_{i}+P_{o}}{2} \times \frac{1}{P_{o}} </math>的泊肃叶定律，修正係數是考慮平均壓力相對於出口壓力的比例。

==和電路的類比==
電子一開始也是當作一種流體來了解，{{link-en|水力類比|hydraulic analogy}}的概念在了解電子電路上仍十分有用。這種類比方式也用來研究流體機械網路的頻率響應，其中流體機械網路會以{{link-en|液压回路|hydraulic circuit}}來表示。

泊肃叶定律對應電路中的[[歐姆定律]]（<math>V=IR</math>），其中壓力差<math>\Delta P</math>對應[[電壓]]<math>V</math>，而體積流率<math>\Phi</math>對應[[電流]]，則以下的物理量對應[[電阻]]
:<math>R = \frac{ 8 \eta \Delta x}{\pi r^4}.</math>

一個管子的有效阻力和半徑倒數的四次方成正比，因此管子的半俓減半會使管子的阻力變為原來的16倍。

歐姆定律和泊肃叶定律都是對於[[輸運現象]]的描述。

==相關條目==
*[[达西定律]]
*[[脉搏]]
*[[波]]
*[[液压回路]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{DEFAULTSORT:P}}
[[Category:流体动力学]]