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在[[数学]]中，'''泊松流形'''（{{lang|en|Poisson manifold}}）是一个[[微分流形]] ''M'' 使得 ''M'' 上[[光滑函数]][[代数]] ''C''<sup>&infin;</sup>(''M'') 上装备有一个[[双线性映射]]称为[[泊松括号]]，将其变成[[泊松代数]]。

每个[[辛流形]]是[[泊松]]流形，反之则不然。

==定义==
''M'' 上一个'''泊松结构'''（{{lang|en|Poisson structure}}）是一个双线性映射

:<math>\{,\}:C^\infty(M) \times C^\infty(M) \to C^\infty(M),\,</math>

使得这个括号[[反对称]]：

:<math>\{f,g\}=-\{g,f\},\,</math>

服从[[雅可比恒等式]]：

:<math>\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0,\,</math>

是 ''C''<sup>&infin;</sup>(''M'') 关于第一个变量的[[导子]]：

:<math>\{fg,h\}=f\{g,h\} + g\{f,h\}</math> 对所有 <math> f,g,h \in C^\infty(M).\,</math>

上一个性质有多种等价的表述。取定一个光滑函数 ''g''&nbsp;&isin;&nbsp;''C''<sup>&infin;</sup>(''M'')，我们有映射 <math>f \mapsto  \{ g, f\}</math> 是 ''C''<sup>&infin;</sup>(''M'') 上一个导子。这意味着存在 ''M'' 上[[哈密顿向量场]] ''X''<sub>''g''</sub> 使得

:<math>X_g(f) = \{f,g\}\,</math>

对所有 ''f'' &isin; ''C''<sup>&infin;</sup>(''M'')。这说明这个括号只取决于 ''f'' 的微分。从而，任何泊松结构有一个相伴的从 ''M'' 的余切丛 T<sup>&lowast;</sup>''M'' 到[[切丛]] T''M'' 的映射

:<math>B_M : \mathrm{T}^* M \to \mathrm{T} M,\,</math>

将 d''f'' 映为 ''X''<sub>''f''</sub>。

==泊松双向量==
余切丛与切丛之间的映射意味着 ''M'' 上存在一个[[双向量]]场 ''&eta;''，'''泊松双向量'''（{{lang|en|Poisson bivector}}），一个反对称 2 张量 <math>\eta\in \bigwedge^2 TM</math>，使得

:<math>\{f,g\} = \langle \mathrm{d} f \otimes \mathrm{d} g, \eta\rangle ,\,</math> 

这里 <math>\langle , \rangle</math> 是切丛与其对偶之间的配对。反之，给定 ''M'' 上一个双向量场 ''η''，这个公式可用来定义一个关于第一个变量为导子的反对称括号。这个括号服从雅可比恒等式，从而定义了一个泊松结构当且仅当[[斯豪滕–尼延黑斯括号]] [''η'',''η''] 等于 0。

在局部坐标中，双向量在一点 ''x''&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''x''<sub>''m''</sub>) 有表达式

:<math>\eta_x=\sum_{i,j=1}^m \eta_{ij}(x) 
\frac {\partial}{\partial x_i} \otimes 
\frac {\partial}{\partial x_j}\,</math>

从而

:<math>\{f,g\}(x)=\sum_{i,j=1}^m \eta_{ij}(x) 
\frac {\partial f}{\partial x_i} \otimes 
\frac {\partial g}{\partial x_j}.\,</math>

对一个辛流形，''η'' 不过是由[[辛形式]] ''ω'' 诱导的余切丛与切丛之间的配对，存在性是其[[非退化]]保证。辛流形与泊松流形的差别在于辛形式必须无处奇异，而泊松双向量不必处处都满秩。当泊松双向量处处为零时，称流形有'''平凡泊松结构'''。

==泊松映射==
'''泊松映射'''（{{lang|en|Poisson map}}）定义为光滑映射 <math>\phi:M\to N</math>，从一个泊松流形 ''M'' 映到泊松流形 ''N''，保持括号积：

:<math>\{f_1,f_2\}_N \circ \phi = \{f_1\circ \phi, f_2 \circ \phi\}_M\,</math>

这里 {&nbsp;,&nbsp;}<sub>''M''</sub> 与 {&nbsp;,&nbsp;}<sub>''N''</sub> 分别是 ''M'' 与 ''N'' 上的泊松括号。

==乘积流形==
给定两个泊松流形 ''M'' 与 ''N''，可以在乘积流形上定义一个[[泊松括号]]。设 ''f''<sub>1</sub> 与 ''f''<sub>2</sub> 是定义在乘积流形 ''M''&nbsp;&times;&nbsp;''N'' 上两个光滑函数，利用在因子流形上的括号 {&nbsp;,&nbsp;}<sub>''M''</sub> 与 {&nbsp;,&nbsp;}<sub>''N''</sub> 定义乘积流形上的括号{&nbsp;,&nbsp;}<sub>''M''&times;''N''</sub>：

:<math>\{f_1,f_2\}_{M\times N}(x,y) 
= \{f_1 (x, \cdot), f_2(x, \cdot)\}_N (y) 
+ \{f_1 (\cdot, y), f_2(\cdot, y)\}_M (x)\,</math> 

这里 ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''M'' 与 ''y''&nbsp;&isin;&nbsp;''N'' 都是常数；这就有，当

:<math>f(\cdot,\cdot):M\times N\to\mathbb{R},\,</math> 

则蕴含着

:<math>f(x,\cdot):N\to\mathbb{R}\,</math>

与

:<math>f(\cdot, y):M\to\mathbb{R}.\,</math>

==辛叶子==
一个泊松流形可以分成一族'''辛叶子'''（{{lang|en|symplectic leaves}}）。每一片叶子是泊松流形的一个子流形，每片叶子自身是一个辛流形。两个点在同一片叶子上如果他们由一个哈密顿向量场的[[积分曲线]]连接。即，哈密顿向量场的积分曲线在这个流形上定义了一个[[等价关系]]。这个等价关系的等价类就是辛叶子。

==例子==
如果 <math>\mathfrak{g}</math> 是一个有限维[[李代数]]，<math>\mathfrak{g}^*</math> 是其对偶空间，则李括号在 <math>\mathfrak{g}^*</math> 上诱导了一个泊松结构。令 ''f''<sub>1</sub> 与 ''f''<sub>2</sub> 是 <math>\mathfrak{g}^*</math> 上两个函数，<math>x\in \mathfrak{g}^*</math> 是一点，可定义

:<math>\{f_1,f_2\}(x) = 
\langle \;\left[(df_1)_x, (df_2)_x \right] \,, x \rangle</math>

这里 <math>\mathrm{d} f \in (\mathfrak{g}^*)^* \simeq \mathfrak{g}</math>，而 [&nbsp;,&nbsp;] 是李括号。如果 ''e''<sub>''k''</sub> 是李代数 <math>\mathfrak{g}</math> 上的局部坐标，则泊松双向量由

:<math>\eta_{ij}(x) = \sum_k c_{ij}^k \langle x, e_k\rangle\,</math> 

给出，这里 <math> c_{ij}^k</math> 是李代数的[[结构常数]]（{{lang|en|structure constant}}）。

==复结构==
一个'''复泊松流形'''（{{lang|en|complex Poisson manifold}}）是一个具有复结构或[[殆复结构]] ''J'' 的泊松流形使得复结构保持双向量：

:<math>\left(J \otimes J\right)(\eta) = \eta.\,</math>

复泊松流形的辛叶子是[[伪凯勒流形]]（{{lang|en|pseudo-Kähler manifold}}）。

==另见==
* [[泊松李群]]
* [[泊松超流形]]
* [[南部力学]]

==参考文献==
* A. Lichnerowicz, "Les variétès de Poisson et leurs algèbres de Lie associées", ''J. Diff. Geom.'' '''12''' (1977), 253-300.
* A. A. Kirillov, "Local Lie algebras", ''Russ. Math. Surv.'' '''31''' (1976), 55-75.
* V. Guillemin, S. Sternberg, ''Symplectic Techniques in Physics'', Cambridge Univ. Press 1984.
* P. Liberman, C.-M. Marle, ''Symplectic geometry and analytical mechanics'', Reidel 1987.
* K. H. Bhaskara, K. Viswanath, ''Poisson algebras and Poisson manifolds'', Longman 1988, ISBN 0-582-01989-3.
* I. Vaisman, ''Lectures on the Geometry of Poisson Manifolds'', Birkhäuser, 1994.  See also the [http://www.ams.org/bull/1996-33-02/S0273-0979-96-00644-1/S0273-0979-96-00644-1.pdf review] {{Wayback|url=http://www.ams.org/bull/1996-33-02/S0273-0979-96-00644-1/S0273-0979-96-00644-1.pdf |date=20080512071331 }} by Ping Xu in the Bulletin of the AMS.

[[Category:微分几何|P]]
[[Category:辛几何|P]]
[[Category:流形上的结构|P]]