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在[[概率论]]中，'''泊松极限定理'''是指，在一定条件下，[[卜瓦松分布|泊松分布]]可以用于近似[[二項式分布|二项分布]]，可以用来解释为什么泊松分布适合描述单位时间内随机事件发生的次数。这个定理是以法国数学家[[西梅翁·德尼·泊松]]的名字命名。该定理的一个推广形式是[[勒康定理|Le Cam定理]]。

== 定理陈述 ==
设 <math>p_n </math>是一个<math>[0,1] </math>中的实数列，如果<math>n p_n </math>收敛到一个有限极限<math>\lambda </math> ，那么

: <math>\lim_{n\to \infty} {n \choose k} p_n^k (1-p_n)^{n-k} = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}</math>

== 证明 ==

: <math>
\begin{align}
\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{n \choose k} p_n^k (1-p_n)^{n-k}
&\simeq \lim_{n\to\infty}\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1- \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\
&= \lim_{n\to\infty}\frac{n^k+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}\frac{\lambda^k}{n^k} \left(1- \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} \\
&= \lim_{n\to\infty}\frac{\lambda^k}{k!} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}
\end{align}
</math> .

考虑到

: <math> \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n} = e^{-\lambda}</math>

以及

: <math> \lim_{n\to\infty} \left(1- \frac{\lambda}{n}\right)^{-k}=1</math>

这就推出所需结论

: <math>{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} \simeq \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}.</math>

=== 另一个证明 ===
由[[史特靈公式|斯特林公式]]，

: <math>
\begin{align}
{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}
&= \frac{n!}{(n-k)!k!} p^k (1-p)^{n-k}
\\ &\simeq \frac{ \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}{ \sqrt{2\pi \left(n-k\right)}\left(\frac{n-k}{e}\right)^{n-k}k!} p^k (1-p)^{n-k}
\\ &= \sqrt{\frac{n}{n-k}}\frac{n^n e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}p^k (1-p)^{n-k}.
\end{align}
</math>

令<math>n \to \infty</math>以及<math>np = \lambda</math> :

: <math>
\begin{align}
{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}
&\simeq \frac{n^n\,p^k (1-p)^{n-k}e^{-k}}{\left(n-k\right)^{n-k}k!}
\\&= \frac{n^n\left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}e^{-k}}{n^{n-k}\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-k}k!} \\&= \frac{\lambda^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}e^{-k}}{\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n-k}k!}
\\ &\simeq \frac{\lambda^k \left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-\frac{k}{n}\right)^{n}k!} .
\end{align}
</math>

因为当<math>n \to \infty</math>, <math>\left(1-\frac{x}{n}\right)^n \to e^{-x}</math>，所以：

: <math>\begin{align}
{n \choose k}p^k (1-p)^{n-k}
&\simeq \frac{\lambda^k e^{-\lambda}e^{-k}}{e^{-k}k!}
\\&= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}
\end{align}</math>

=== 生成函数 ===
我们也可以通过使用二项分布的[[母函数|生成函数]]来证明这个定理：

: <math>
 G_\operatorname{bin}(x;p,N)
  \equiv \sum_{k=0}^N \left[ \binom{N}{k} p^k (1-p)^{N-k} \right] x^k
  = \Big[ 1 + (x-1)p \Big]^N
</math>

由[[二项式定理]]。令<math>N \rightarrow \infty</math>的同时使<math>pN\equiv\lambda</math>为常数，可以发现

: <math>
 \lim_{N\rightarrow\infty} G_\operatorname{bin}(x;p,N)
  = \lim_{N\rightarrow\infty} \left[ 1 + \frac{\lambda(x-1)}{N} \right]^N
  = \mathrm{e}^{\lambda(x-1)}
  = \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^k}{k!} \right] x^k
</math>

这是泊松分布的[[生成函數|生成函数]] （第二个等式成立是由于[[指数函数]]的定义)。

== 参考文献 ==
<references group="" responsive="1"></references>

{{Authority control}}
[[Category:包含证明的条目]]
[[Category:機率論定理]]