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'''泊松李群''' (''Poisson-Lie group'') 是一种几何结构，也是[[李群]]和[[泊松流形]]，而且两种结构自洽。它的李群直积 <math>G\times G\longrightarrow G</math>是泊松映射。它是[[经典力学|經典力學]]和泊松几何学的有力的例子，也是[[表示论|表示論]]研究对象之一。 它在无穷小尺度的形式就是[[李雙代數|李双代数]]。

== 定义 ==
'''泊松-李群'''是一个具有[[泊松括号]]的[[李群]] <math>G</math>，其群乘法定义为 <math>\mu:G\times G \to G</math>，其中 <math>\mu (g_1,g_2)=g_1g_2</math> 为[[泊松映射]]，其中流形 <math>G\times G</math> 赋予了[[泊松流形|乘积泊松流形]]的结构。

对于泊松李群，以下等式恒成立：

<math>\{f_1,f_2\}(gg')=\{f_1\circ L_g, f_2\circ L_g\}(g')+\{f_1\circ R_{g'}, f_2\circ R_{g'}\}(g)</math>

其中约定 <math>f_1,f_2</math> 是定义在泊松李群上的实数值的[[光滑函数]]，<math>g,g'</math>为群中任意的元素，<math>L</math> 为元素的左乘，<math>R</math> 为元素的右乘。

记 <math>\mathcal{P}</math> 为泊松李群 <math>G</math> 对应的[[泊松双向量]]（Poisson bivector），上述恒等式有等价形式：

<math>\mathcal{P}(g g')=L_{g*}({\mathcal{P}}(g'))+R_{g' *}(\mathcal{P}(g))</math>

特别的，如果取 <math>g=g'=e</math> , 以上等式即为 <math>\mathcal{P}(e)=\{f,g\}(e)=0</math> 。对单位元 <math>e</math> 使用[https://amathew.wordpress.com/2009/12/28/poisson-manifolds-and-the-splitting-theorem/#more-953 韦恩斯坦分裂定理] {{Wayback|url=https://amathew.wordpress.com/2009/12/28/poisson-manifolds-and-the-splitting-theorem/#more-953 |date=20220927155956 }}（Weinstein splitting theorem），可得知非平凡的泊松李群一定不具有[[辛流形|辛结构]]，甚至不具有恒定的[[秩 (群)|秩]]。

== 参考书目 ==
* Vyjayanthi Chari, Andrew Pressley: ''A Guide to Quantum Groups'', ISBN 0-521-55884-0
[[Category:流形上的结构]]
[[Category:李群]]