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{{noteTA
|T=zh-hans:泊松括号; zh-hant:帕松括號;
|1=zh-hans:泊松; zh-hant:帕松;
|G1=P
|G2=Math
}}

在[[數學]]及[[经典力學]]中，'''泊松括號'''是[[哈密顿力學]]中重要的運算，在哈密頓表述的[[動力系統]]中時間演化的定義起着中心角色。在更一般的情形，泊松括号用来定义一个[[泊松代数]]，而[[泊松流形]]是一个特例。它们都是以[[西莫恩·德尼·泊松]]命名的。

[[File:PoissonBracket0.gif|thumb|300px|取决于时间的向量场演示图。泊松括号是用这个向量场的分量函数定义的。]]
[[File:PoissonBracket1.gif|thumb|300px|两个取决于时间的向量场演示图，表示了上一个向量场分量的梯度函数。]]
[[File:PoissonBracket2.gif|thumb|300px|两个取决于时间的向量场的叉积示意图，表示了原向量场分量的梯度函数。两个函数的括号是它们的pq-梯度的叉积的长度。这说明了括号、[[梯度]]与[[叉积]]的关系；由无穷小梯度向量组成的[[平行四边形]]越大，括号越大。]]

==正則坐標==
在[[正則坐標]]<math>(q_i,p_j)</math>表示中，[[相空间]]内两个函数<math> f(\mathbf{q},\ \mathbf{p}),\ g(\mathbf{q},\ \mathbf{p})</math>的'''泊松括號'''具有如下形式：

:<math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ 
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} -
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}
\right] </math>。

==运动方程==
[[哈密顿-雅可比运动方程]]有一个使用泊松括号的等价表示。这可最直接地用坐标系表示。假设<math>f(p,q,t)</math>是流形上一个函数，则我们有

:<math>\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + 
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}</math>。

然后，取<math>p=p(t)</math>与<math>q=q(t)</math>为哈密顿-雅可比方程<math>\dot{q}={\partial H}/{\partial p}</math>与<math>\dot{p}=-{\partial H}/{\partial q}</math>的解，我们有

:<math>\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} +
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} -
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} =
\frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}</math>。

从而，辛流形上一个函数''f''的演化可用[[辛同胚]][[流 (数学)|单参数族]]给出，以时间''t''为参数。丢掉坐标系，我们有

:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=
\left(\frac{\partial }{\partial t}  - \{\,H, \cdot\,\}\right)f</math>。

算子<math>- \{\,H, \cdot\,\}</math>称为[[刘维尔定理 (哈密顿力学)|刘维尔算子]]。

==运动常数==
一个[[可积动力系统]]可能有能量以外的[[运动常数]]。这样的运动常数在泊松括号下将与[[哈密顿量]]交换。假设某个函数<math>f(p,q)</math>是一个运动常数。这意味着如果<math>p(t),q(t)</math>是[[哈密顿运动方程]]的一条[[轨迹]]或解，则沿着轨迹有<math>0=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}</math>。这样我们有

:<math>0 = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q) =
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + 
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} =
\frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} -
\frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} =
\{f,H\}</math>

这里中间步骤利用运动方程得到。这个方程称为[[刘维尔方程]]。[[刘维尔定理 (哈密顿力学)|刘维尔定理]]描述了如上给出的一个[[测度]]（或相空间上[[分布函数]]）的时间演化。

为了使一个哈密顿系统[[完全可积]]，所有的运动常数必须互相对合。

==定义==
設''M''是一個[[辛流形]]，即[[流形]]上帶有一個[[辛形式]]（[[闭形式和恰当形式|闭]]的非退化[[微分形式|2-形式]]）：<math>\omega</math>，这就是说<math>d\omega = 0</math>且当其视一个映射<math>\omega: \xi \in \mathrm{vect}[M] \rightarrow i_\xi \omega \in \Lambda^1[M]</math>，<math>\omega</math>有逆映射<math>\tilde{\omega}: \Lambda^1[M] \rightarrow \mathrm{vect}[M]</math>。  这里<math>d</math>是流形''M''上内蕴的[[外导数]]运算，而<math>i_\xi \theta</math>是[[内乘]]或[[张量缩并|缩并]]运算，在1-形式<math>\theta</math>这等价于<math>\theta(\xi)</math>。

由[[外微分]]的公理，我们由：

:<math>i_{[v, w]} \omega = d(i_v i_w \omega) + i_v d(i_w \omega) - i_w d(i_v \omega) - i_w i_v d\omega ,\,</math>
这里<math>[v, w]</math>表示光滑向量场的[[李导数|李括号]]，其性质本质上定义了''M''上流形结构。 

如果''v''使得<math>d(i_v \omega) = 0</math>，我们称之为<math>\omega</math>-闭（或称'''余闭'''）。类似地，如果<math>i_v \omega = df</math>对所有函数''f''成立，我们称''v'' <math>\omega</math>-恰当（或'''余恰当'''）。已知<math>d\omega = 0</math>，上面的表达式蕴含着两个余闭向量场总是一个余恰当向量场，因为当''v''和''w''都余闭时，表达式中惟一非零项是<math>d(i_v i_w \omega)</math>。又因为外导数满足<math>d \circ d = 0</math>，所有余恰当向量场是余闭的；所以李括号对余闭向量场空间与其子空间余恰当向量场都是封闭。用[[抽象代数]]的话来说，余闭向量场组成了''M''上光滑向量场[[李代数]]的一个[[子代数]]，而余恰当向量场组成这个子代数的一个[[代数理想]]。

假设存在逆映射<math>\tilde{\omega}</math>，''M''上每个光滑实值函数''f''可以与一个余恰当向量场相伴<math>\tilde{\omega}(df)</math>（两个函数与同一个向量场相伴当且仅当它们的差是''d''的核，即在''M''的任何连通分支上是常数）。这样我们定义<math>(M, \omega)</math>上的'''泊松括号'''，为[[可微]][[函数]]上一个[[双线性映射|双线性]]运算，在泊松括号下<math>C^\infty</math>（光滑）函数组成一个[[代数]]。它由下式给出：

:<math>\{f,g\} = i_{\tilde{\omega}(df)} dg = - i_{\tilde{\omega}(dg)} df = -\{g,f\}\,</math>

泊松括号的反对称性由[[外导数]]的公理与条件<math>d\omega</math>保证。映为映射<math>\tilde{\omega}</math>是逐点线性和反对称的，一些作者将它们和一个[[多重向量|双向量]]联系起来，这不是外微分中常见的对象。这种形式它称为这个辛流形上[[泊松双向量]]或[[泊松结构]]，泊松括号简单地写做<math>\{f,g\} = \tilde{\omega}(df, dg)</math>。

光滑函数上的泊松括号对应于余恰当向量场上的李括号并继承了它的性质。从而它满足[[雅可比恒等式]]：

:<math>\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} +  \{h,\{f,g\}\} = 0\,</math>

关于一个特定的数量场''f''的泊松括号<math>\{f,\_\}</math>对应于关于<math>\tilde{\omega}(df)</math>的[[李导数]]。从而，它是一个[[导子]]，即它满足[[莱布尼兹法则]]：

:<math>\{f,gh\} = \{f,g\}h + g\{f,h\}\,</math>

这是流形的一个基本性质，关于两个向量场的李导数运算的[[交换子]]等价于关于某个向量场的李导数，即它们的李括号。泊松括号中平行的脚色显然是雅可比恒等式的一个变形：
:<math>\{f,\{g,h\}\} - \{g,\{f,h\}\} = \{\{f,g\},h\}\,</math>

如果''f''和''g''的泊松括号消失（<math>\{f,g\}=0</math>），则''f''与''g''称为'''互相对合'''（{{lang|en|mutual involution}}），并有关于''f''和''g''取泊松括号的运算交换。

==李代數==
'''泊松括號'''是[[反交換律|反交换的]]，也滿足[[雅可比恒等式]]。这使得[[辛流形]]上的[[光滑函数]]空间成为無限維的[[李代數]]，以泊松括號为[[李代數|李括號]]。相应的[[李群]]是辛流形的[[辛同胚]]群（也稱為[[正則變換]]）。

给定一个可微[[切丛]]上的[[向量场]]''X''，令<math>P_X</math>为其[[共轭动量]]。这个从场到共轭动量的映射为从泊松括號到[[李括號]]的[[李代數]]反同态：

:<math>\{P_X,P_Y\}=-P_{[X,Y]} \,</math>。

这个重要结果值得我们给个简短证明。记[[位形空间]]的''q''点的向量场''X''为

:<math>X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}</math>

其中<math>\partial /\partial q^i</math>是局部坐标系。''X''的共轭动量的表达式为 

:<math>P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i</math> 

这里<math>p_i</math>为和坐标共轭的动量函数。这样就有，对[[相空间]]的每点<math>(q,p)</math>， 

:<math>\{P_X,P_Y\}(q,p)= \sum_i \sum_j \{X^i(q) \;p_i, Y^j(q)\;p_j \}</math>
:::<math>=\sum_{ij} 
p_i Y^j(q) \frac {\partial X^i}{\partial q^j} - 
p_j X^i(q) \frac {\partial Y^j}{\partial q^i} </math>
:::<math>= - \sum_i p_i \; [X,Y]^i(q) </math> 
:::<math>= - P_{[X,Y]}(q,p) \,</math>

以上对所有<math>(q,p)</math>成立，证毕。
==另见==
*[[拉格朗日括号]]
*[[Moyal bracket]]
*[[Peierls bracket]]
*[[泊松超括号]]
*[[泊松超代数]]
*[[狄拉克括号]]

==参考文献==
* {{cite book |title=Mathematical Methods of Classical Mechanics |last=Arnold |first=V. I. |authorlink=Vladimir Arnold  |edition=2nd ed. |year=1989 |publisher=Springer |location=New York |isbn=978-0387968902 }}
* {{cite book |title=Mechanics (Course of Theoretical Physics, vol. I) |last=Landau |first=L. D. |authorlink=列夫·朗道 |coauthors= [[E. M. Lifshitz|Lifshitz, E. M.]] |year=1982 |edition=3rd ed. |publisher=Butterworth-Heinemann |isbn=978-0750628969 }}

[[Category:哈密顿力学|B]]

[[Category:辛几何|B]]
[[Category:二元運算|B]]
[[Category:双线性算子]]