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[[数学]]中，'''泊松代数'''（{{lang|en|Poisson algebra}}）是具有一个满足[[莱布尼兹法则]]的[[李代数|李括号]]之[[结合代数]]；即括号也是[[导子]]。泊松代数自然出现于[[哈密顿力学]]，也是[[量子群]]研究的中心。携有一个泊松代数的流形也叫做[[泊松流形]]，[[辛流形]]与[[泊松-李群]]是其特列。此代数的名字以[[西莫恩·德尼·泊松]]命名。

==定义==
一个泊松代数是[[体 (数学)|域]] ''K'' 上一个[[向量空间]]装备着两个[[双线性]]乘积，<math>\cdot</math> 与 { , }，满足如下性质：

* 乘积 <math>\cdot</math> 构成一个[[结合代数|结合 ''K''-代数]]；

* 乘积 { , }，叫做[[泊松括号]]，构成[[李代数]]，从而反对称并满足[[雅可比恒等式]]。

* 泊松括号是结合乘积 <math>\cdot</math> 的[[导子]]，即对此代数中任何三个元素 ''x''，''y'' 与 ''z''，都有 {''x'', ''y''<math>\cdot</math>''z''} = {''x'', ''y''}<math>\cdot</math>''z'' + ''y''<math>\cdot</math>{''x'', ''z''}。 

最后一个性质通常保证了这个代数有其他给出表述，可见下面例子中所指出。

== 例子 ==
泊松代数出现于多种不同场合。

===辛流形===
[[辛流形]]上实值[[光滑函数]]组成一个泊松代数。辛流形上每个实值函数 <math>H</math> 在此流形上产生一个向量场 <math>X_H</math>，即[[哈密顿向量场]]。然后给定此辛流形上任何光滑函数 <math>F</math> 与 <math>G</math>，它们的泊松括号 {,} 定义为

:<math>\{F,G\}=dG(X_F)\,.</math>

这个定义是一致的是因为此泊松括号是一个导子。等价地，可以将 {,} 定义为

:<math>X_{\{F,G\}}=[X_F,X_G]\,</math>

这里 [,] 是[[李导数]]。当辛流形是带着标准辛结构的 <math>\mathbb R^{2n}</math>，则泊松括号取如下熟知的形式

:<math>\{F,G\}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i}.</math>

可对[[泊松流形]]进行类似的考虑，它允许辛双向量在流形的某些位置消没。
===李代数===
[[李代数]]的[[张量代数]]具有泊松代数结构。[[泛包络代数]]条目中给出了非常明确的构造。

构造过程中，首先要建立李代数底层向量空间的[[张量代数]]。张量代数，简单来说就是向量空间所有张量积的[[不交并]]（[[直积]] ⊕)）。这样就可证明，[[李括号]]可被一致地提升到整个张量代数：其服从积律，又遵循泊松括号的雅可比同一性，因此提升后的李括号就是泊松括号。这样，一对积{,}、⊗就构成了泊松代数。注意⊗不交换也不反交换，只服从结合律。

因此，可得这样的一般结论：任何李代数的张量代数都是泊松代数。通过模得泊松代数结构，就得到了泛包络代数。

===结合代数===
如果 ''A'' 是一个[[结合代数]]，则交换子 [''x'',''y'']&equiv;''xy''&minus;''yx'' 使它成为一个泊松代数。

===顶点算子代数===
对一个[[顶点算子代数]] <math>(V,Y, \omega, 1)</math>，空间 <math>V/C_2(V)</math> 是一个泊松代数，其中 <math>\{a,b\}=a_0b</math> 而 <math>a \cdot b =a_{-1}b</math>。对某些定点算子代数，这个泊松代数是有限维的。

==相关条目==
*[[泊松超代数]]
*[[格尔斯滕哈伯代数]]
*[[Moyal bracket]]

==参考文献==
*{{springer|id=p/p110170|title=Poisson algebra|author=Y. Kosmann-Schwarzbach}}

[[Category:代数]]
[[Category:辛几何]]