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[[File:Shapley–Folkman_lemma.svg|alt=圖片描畫了沙普利-福克曼引理：圖片分為左右兩版塊，左邊畫了四個集合，排成二乘二的方陣，每個集合恰有兩個點（紅）。每個集合的兩點之間，有一條線段（粉紅）相連，表示原集合的凸包。每個集合（或凸包）中，恰有一點用加號（+）標出。在二乘二的方陣居上的橫行，兩個加號各位於線段內；居下的橫行，兩個加號分別與某紅點重合。左版塊的描述完畢。右版塊則畫出四個集合的閔可夫斯基和，即從各集合各取一點求和，所產生的可能值的集合。本例中，有十六個不同的和，為平面上相異的點（紅）。右邊每個紅點是左邊某四個紅點的和。十六個紅點的凸包塗滿粉紅。右邊和集的粉紅色內部，恰有一個加號，該點即為左邊四個加號之和。回想左邊四點中，恰有兩點來自兩個非凸的原集合，另兩點則來自另兩個原集合的凸包，此四點之和為右邊標加號的點。|缩略图|此處以四個集合的[[閔可夫斯基和]]為沙普利-福克曼引理的例證。在左邊，四個[[凸集|非凸集]]中的點(+)之和，就是右邊，其閔氏和[[凸包]]中的點(+)。左邊四點之中，有兩點位於相應的非凸集中，另有兩點位於非凸集的凸包中。各凸包以淺粉紅色畫出。原來的集合各只有兩點（以紅點表示）。<ref name="s69">{{Harvard citation text|Starr|1969}}</ref>]]
'''沙普利-福克曼[[引理]]'''是{{Le|凸幾何|Convex geometry}}的一條引理，其於[[数理经济学]]有應用。引理描述[[向量空間]][[子集]]的[[閔可夫斯基和]]有何性質。若干個集合的'''閔可夫斯基和'''，即從各集合分別取一個[[元素 (數學)|元素]]相加，組成的集合：例如，將[[整數]]<math>0</math>和<math>1</math>組成的集合，與自身相加，得到由<math>0,\ 1,\ 2</math>組成的集合，以符號可寫成：

: <math>\{0, 1\} + \{0, 1\} = \{0, 1, 2\}. </math>

「許多個集合的閔氏和，是否必定近似[[凸集]]？」沙普利-福克曼引理和相關的結果表明，問題的答案為肯定。<ref name="Howe">{{harvtxt|Howe|1979|p=1}}</ref>集合稱為'''凸'''，意思是連接其中任意兩點的[[线段]]，必為該集合的[[子集]]：舉例，實心[[单位圆盘|圓盤]]&nbsp;<big><math>\bullet</math></big> 為凸集，但[[单位圆|圓]]&nbsp;<big><math>\circ</math></big> 則不然，因為連接相異兩點的線段&nbsp;<math>\oslash</math> 並不是圓的子集。沙普利-福克曼引理大致斷言，若求和項的數目超出[[向量空间的维数|向量空間的維數]]，則其閔氏和將近凸。<ref name="s69"/>

沙普利-福克曼引理引入時，是作為[[數學證明|證明]]'''沙普利-福克曼[[定理]]'''的一步，該定理斷言閔氏和與其[[凸包]]的[[欧氏距离|距離]]不超過某個[[上界]]。所謂集合<math>Q </math>的'''凸包'''，是包含<math>Q </math>的最小凸集。而[[當且僅當]]和為凸時，上述距離為零。定理中，距離的上界取決於[[向量空间的维数|維數]]<math>D </math>及求和項的形狀，但不取決於求和的項數<math>N </math>，而只需<math>N > D </math>。只要其中<math>D</math>個求和項的形狀，就足以確定<math>N </math>個集合的閔可夫斯基[[算术平均数|平均]]集

: <math>\frac{1}{N}\left(Q_1 + Q_2 + \cdots + Q_N\right)</math>

與其凸包的距離的上界。當<math>N </math>趨向[[无穷|無窮]]時，該上界[[極限 (數列)|遞減至零]]（需要各求和項的大小一致有界）。<ref name="Starr08">{{Harvard citation text|Starr|2008}}</ref>斯塔（Starr）的[[推论]]將沙普利-福克曼定理的上界壓得更低，故又稱為'''沙普利-福克曼-斯塔定理'''。

[[劳埃德·沙普利]]和{{Le|強·福克曼|Jon Folkman}}的引理，最先由經濟學家{{Le|羅斯·斯塔|Ross Starr}}發表，其時斯塔正在[[肯尼斯·阿罗]]門下，研究[[一般均衡理论|經濟均衡]]的存在性。<ref name="s69">{{Harvard citation text|Starr|1969}}</ref>斯塔在論文中，研究'''凸化'''（convexified）經濟體，即將非凸集換成其凸包。斯塔證明，凸化之後，有些均衡由原經濟體的「準均衡」（quasi-equilibria）逼近；還證明，每個準均衡都具有真均衡的許多最優性質，而凸經濟體中則必定存在真均衡。斯塔1969年的論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結果得到廣泛應用，用作證明（凸）經濟理論的若干核心結果，儘管不適用於有非凸部分的大經濟體，但在此等經濟體中，仍是良好的近似。<!-- 英文此處有"for example, quasi-equilibria closely approximate equilibria of a convexified economy"，疑與上文重覆，暫略去 -->{{Le|羅歇·蓋內里|Roger Guesnerie}}<!-- 按世界人名翻译大辞典譯 -->評論：「這些結論的一般形式的推導，是[[第二次世界大战|戰後]]經濟理論的重大成就。」<ref name="g89-p138">{{Harvard citation text|Guesnerie|1989|p=138}}</ref>許多[[诺贝尔经济学奖|諾貝爾獎得主]]都曾研究{{Le|非凸性 (經濟學)|Non-convexity (economics)|經濟學中的非凸集}}，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、[[罗伯特·约翰·奥曼]]（2005）、[[傑拉德·德布魯]]（1983）、[[特亚林·科普曼斯]]（1975）、[[保羅·克魯曼]]（2008）、[[保羅·薩繆爾森]]（1970）。至於互補的主題「{{Le|經濟學中的凸性|Convexity in economics|經濟學中的凸集}}」，除以上得主著重外，還有[[里奥尼德·赫维克兹]]、[[列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇]]（1975）、[[罗伯特·索洛]]（1987）都著重。

沙普利-福克曼引理在[[最优化|優化論]]和[[概率论]]皆有應用。<ref name="Starr08">{{Harvard citation text|Starr|2008}}</ref>優化論中，可以引理解釋，在求多個[[函数]]之和的最小值時，為何一些解法可以成功。<ref name="Ekeland76"/><ref name="Bertsekas82"/>概率論中，引理適用於[[數學證明|證明]]{{Le|隨機幾何|Stochastic geometry|隨機集}}的「[[大數法則|大數定律]]」。此定理先前僅在凸集的情況得證。<ref name="ArtsteinVitale">{{harvtxt|Artstein|Vitale|1975|pp=881–882}}: {{Cite journal|title=A strong law of large numbers for random compact sets|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-probability_1975-10_3_5/page/879|trans-title = 隨機緊集的強大數定律|last=Artstein|first=Zvi|last2=Vitale|first2=Richard&nbsp;A.|journal=The Annals of Probability|issue=5|doi=10.1214/aop/1176996275|year=1975|volume=3|pages=879–882|jstor=2959130|mr=385966|zbl=0313.60012|language = en|ref = harv}}</ref>

== 簡單例子 ==

考慮凸的[[實數]][[區間]]<math>[0, 1] </math>，其包含整數子集<math>\{0, 1\} </math>，且是其凸包（添加了兩點所連線段上的所有點）。僅得兩個元素的集合<math>\{0, 1\} </math>，複製成三份，並按元素求和，得到

:<math>\{0, 1\} + \{0, 1\} + \{0, 1\} = \{0, 1, 2, 3\}.</math>
（此處集合的和，是從各集合分別取一個元素相加，得到的可能結果的集合，稱為'''閔氏和'''。）和集的凸包則為區間<math>[0, 3]</math>。

區間<math>[0, 3]</math>中，每個數<math>x</math>都可以寫成區間<math>[0, 1]</math>中某三個實數（允許重複）之和，例如將<math>x</math>等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，則有更強的結論：<math>[0, 3] </math>的每個數，都可以寫成<math>\{0, 1\}  </math>中某兩個整數（允許重複），與<math>[0, 1] </math>中某一個實數之和。<ref name="Carter94">{{Harvard citation text|Carter|2001|pp=93–94}}，取''n'' = 3。</ref>

凸包<math>[0,1] </math>中的點，到<math>\{0, 1\}</math>的距離，至多為<math>1/2</math>：

: <math>\frac{1}{2} = \left|\frac{1}{2}- 0\right| = \left| \frac{1}{2} -1 \right|,</math>

然而，考慮三個區間<math>[0, 1]</math>的閔氏[[算术平均数|平均]]

: <math>\frac{1}{3}\left(\{0, 1\} + \{0, 1\} + \{0, 1\}\right) = \left\{0,\frac{1}{3},\frac{2}{3},\ 1\right\},  </math>

與其凸包<math>[0,1] </math>的距離，僅為<math>1/6 </math>，即未平均前<math>\{0, 1\} </math>與<math>[0, 1] </math>距離（<math>1/2 </math>）的三分之一。越多個集合相加，其閔氏平均就將凸包填得越滿：由閔氏平均至凸包的最遠距離，隨[[加法|被加項]]數增加，而趨向於零。<ref name="Carter94"/>此為沙普利-福克曼定理的結論。

== 前置概念 ==
沙普利-福克曼引理需要用到{{Le|凸幾何|convex geometry}}的若干定義和定理，本節將作簡介。

=== 實向量空間 ===
二[[向量空间的维数|維]]的[[实数|實]][[向量空间|向量空間]]上，有[[笛卡兒坐標系]]，將每點視為[[有序对|一對]]實數，稱為「坐標」，按慣例記為<math>x,\ y </math>。笛卡兒平面上的兩點，可以逐個坐標[[向量|相加]]：

: <math>(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2).</math>

此外，點也可以逐個坐標與實數<math>\lambda </math>[[标量乘法|相乘]]：

: <math>\lambda (x, y) = (\lambda x, \lambda y).</math>

更一般而言，任何<math>D   </math>維（有限維）實向量空間，均可視為<math>D   </math>個實數組成的[[多元组|''D''元組]]的集合<math>\{ (v_1, v_2, \ldots, v_D)\}   </math>，並配備兩種[[运算|運算]]：[[向量|向量加法]]和[[標量乘法]]。有限維實空間的此兩種運算，皆定義成逐個坐標運算，與笛卡兒平面上的運算類似。<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|p=375}}</ref>

=== 凸集 ===
{{multiple image
   | width     =155
   | footer    = 用[[線段]]可以檢驗某集合是否[[凸集]]。
   | image1    = Convex polygon illustration1.svg
   | alt1      = 看似圖盤的凸集。凸集（綠）包含連接兩點''x''、''y''的線段（黑），整條線段仍在凸集中。
   | caption1  = [[凸集]]<math>Q</math>中，連接任意兩點的[[線段]]仍是<math>Q</math>的子集。
   | image2    = Convex polygon illustration2.svg
   | alt2      = [[回力镖]]或[[腰果]]形的非凸集（綠），另有連接兩點''x''、''y''的線段（黑）。線段有一部分超出了非凸集的範圍。
   | caption2  = [[凸集|非凸集]]<math>Q</math>中，連接某兩點的[[線段]]上，有一點不再是<math>Q</math>的元素。
}}
實向量空間中，[[空集|非空]]子集<math>Q   </math>稱為'''[[凸集]]'''，意思是，對於<math>Q   </math>的任意兩個點，連接兩點成一[[線段]]，其上的所有點仍在<math>Q   </math>中。例如，實心[[单位圆盘|圓盤]]&nbsp;<big><math>\bullet</math></big> 為凸，但[[单位圆|圓]]&nbsp;<big><math>\circ</math></big> 則不然，因為連接相異兩點的線段&nbsp;<math>\oslash</math> 並不是圓的子集。三個整數的集合<math>\{0, 1, 2\}   </math>非凸，但其為區間<math>[0, 2]   </math>的子集，而該區間為凸。又例如，實心[[立方體]]為凸，然而任何空心或凹陷的圖形，如{{Le|彎月形|Crescent}}，則非凸。[[空集]]也是凸集，視乎作者偏好，這可能是專門的定義<ref name="Rock10"/>，也可能是因為要滿足的條件是{{Le|空真命題|Vacuous truth}}。

更嚴謹而言，集合<math>Q   </math>稱為'''凸'''，意思是，對<math>Q   </math>中任意兩點<math>v_0, v_1   </math>，和[[區間|單位區間]]<math>[0, 1]  </math>中的任意實數<math>\lambda  </math>，點

: <math>(1 - \lambda) v_0 + \lambda v_1   </math>

仍是<math>Q   </math>的[[元素 (數學)|元素]]。

由[[数学归纳法|數學歸納法]]，集合<math>Q   </math>為凸，當且僅當其任意多個元素的[[凸組合]]仍在<math>Q   </math>中。所謂向量空間子集<math>\{ v_0, v_1, \ldots, v_D\}   </math>的'''凸組合'''，是其元素的任意加權平均<math>\lambda_0 v_0 + \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_D v_D   </math>，而各<math>\lambda_i   </math>可以是總和為<math>1   </math>的任意非負實數，即只需<math>\lambda_0 + \lambda_1 + \cdots + \lambda_D = 1   </math>。<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|p=376}}、{{harvtxt|Rockafellar|1997|pp=10–11}}、{{harvtxt|Green|Heller|1981|p=37}}</ref>

凸集的定義推出，兩個凸集的[[交集]]仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作為特例，若取兩個[[不交集|不交]]的凸集，則其交集為空集，故應當稱空集為凸。<ref name="Rock10">{{harvtxt|Rockafellar|1997|p=10}}</ref>

=== 凸包 ===
[[File:Extreme_points.svg|alt=圓角的三角形，與三角形的（墨西哥）玉米餅或三角形路牌類似。三個圓角的曲線邊界畫成紅色，位於內部的區域則塗滿藍色。|右|缩略图|紅色集的[[凸包]]中，每個藍點都是若干個紅點的[[凸组合|凸組合]]。]]
對於實向量空間的每個子集<math>Q </math>，其[[凸包]]<math>\mathrm{Conv}(Q) </math>是包含<math>Q </math>的[[最小元|最小]]凸集。所以，<math>\mathrm{Conv}(Q)</math>是所有[[覆盖 (拓扑学)|覆蓋]]<math>Q </math>的凸集的交。等價地，可以將<math>\mathrm{Conv}(Q)</math>定義成<math>Q  </math>的點的所有[[凸组合]]的集合。<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|p=385}}及{{harvtxt|Rockafellar|1997|pp=11–12}}</ref>作為例子，整數集合<math>\{0, 1\}  </math>的凸包，是[[實數]]閉[[區間]]<math>[0, 1]  </math>，其兩端為原有的整數<math>0, 1 </math>。<ref name="Carter94"/>[[单位圆]]的凸包則是閉[[单位圆盘]]，其包含單位圓。

=== 閔可夫斯基和 ===
[[File:Minkowski_sum_graph_-_vector_version.svg|alt=笛卡兒平面的第一象限（兩坐標皆非負）上，畫有三個正方形，各邊與坐標軸平行。|缩略图|集合的[[閔可夫斯基和]]。兩個小正方形<math>Q_{1}=[0,1]^{2}</math>和<math>Q_{2}=[1,2]^{2}</math>的和，是大正方形<math>Q_{1}+Q_{2}=[1,3]^{2}</math>。]]
在任何向量空間（或有定義加法的代數結構）<math>X</math>中，兩個非空子集<math>A, B\subseteq X</math>的'''[[閔可夫斯基和]]'''，定義為其元素之和的集合，即 <math>A+B := \{x+y\mid x\in A,~y\in B\}</math>（參見<ref>{{harvtxt|Schneider|1993|p=xi}}及{{harvtxt|Rockafellar|1997|p=16}}</ref>)。例如：

: <math>\{0,1\}+\{0,1\}=\{0+0,0+1,1+0,1+1\}=\{0,1,2\}.</math>

此運算定義在非空子集族上，且滿足[[結合律]]和[[交換律]]。既然有結合律和交換律，就可以遞歸定義多個被加項的運算結果<math>\sum_{n=1}^{N}Q_{n}=Q_{1}+Q_{2}+\cdots+Q_{N}</math>。由數學歸納法，可見<ref>{{harvtxt|Rockafellar|1997|p=17}}及{{harvtxt|Starr|1997|p=78}}</ref>

: <math>\sum_{n=1}^{N}Q_{n}= \left\{\left.\sum_{n=1}^{N}q_{n}\right| q_{n}\in Q_{n},~1\leq n\leq N\right\}.</math>

=== 閔可夫斯基和的凸包 ===
閔可夫斯基和與凸包運算可以交換。具體而言，對實向量空間<math>X </math>的任意子集<math>A,B\subseteq X</math>，其閔氏和的[[凸包]]等於其凸包的閔氏和。換言之，

: <math>\mathrm{Conv}(A+B) = \mathrm{Conv}(A)+\mathrm{Conv}(B).</math>

故由數學歸納法得

: <math>\mathrm{Conv}(\sum_{n=1}^{N}Q_{n}) = \sum_{n=1}^{N}\mathrm{Conv}(Q_{n})</math>

對任意<math>N\in\mathbb{N}</math>和非空子集<math>Q_{n}\subseteq X</math>（<math>1\leq n\leq N</math>）成立。<ref name="Schneider">{{harvtxt|Schneider|1993|pp=2–3}}</ref><ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|p=387}}</ref>

== 各命題的敍述 ==
[[File:Shapley–Folkman_lemma.svg|alt=圖片描畫了沙普利-福克曼引理：圖片分為左右兩版塊，左邊畫了四個集合，排成二乘二的方陣，每個集合恰有兩個點（紅）。每個集合的兩點之間，有一條線段（粉紅）相連，表示原集合的凸包。每個集合（或凸包）中，恰有一點用加號（+）標出。在二乘二的方陣居上的橫行，兩個加號各位於線段內；居下的橫行，兩個加號分別與某紅點重合。左版塊的描述完畢。右版塊則畫出四個集合的閔可夫斯基和，即從各集合各取一點求和，所產生的可能值的集合。本例中，有十六個不同的和，為平面上相異的點（紅）。右邊每個紅點是左邊某四個紅點的和。十六個紅點的凸包塗滿粉紅。右邊和集的粉紅色內部，恰有一個加號，該點即為左邊四個加號之和。回想左邊四點中，恰有兩點來自兩個非凸的原集合，另兩點則來自另兩個原集合的凸包，此四點之和為右邊標加號的點。|缩略图|閔氏和及凸包。右圖的十六個紅點，組成左圖四個非凸集的[[閔可夫斯基和|閔氏和]]。左圖每個非凸集由兩個紅點組成，其凸包（淺粉紅色）包含標記加號（+）的點，而右圖中的加號等於左圖各個標加號的點之和。]]
由前一段的恆等式，對和的凸包中的每點<math>x\in\mathrm{Conv}\left(\sum_{n=1}^{N}Q_{n}\right) </math>，都存在各凸包的<math>q_{n}(x)\in\mathrm{Conv}(Q_{n})</math>（<math>n </math>取遍<math>1 </math>至<math>N </math>），使得<math>\sum_{n=1}^{N}q_{n}(x)=x</math>。各點<math>q_n(x) </math>的位置取決於<math>x</math>。

=== 引理 ===
[[File:Shapley,_Lloyd_(1923).jpeg|alt=劳埃德·沙普利的相片|缩略图|[[劳埃德·沙普利]]，2012年諾貝爾經濟學獎得主。他與{{Le|強·福克曼|Jon Folkman}}一同證明沙普利-福克曼引理。<ref name="s69">{{Harvard citation text|Starr|1969}}</ref>]]
有了以上背景，'''沙普利-福克曼引理'''斷言，<math>x </math>的表示法

: <math>x=\sum_{n=1}^{N}q_{n}(x)</math>

中''，''僅需要不多於<math>D </math>個被加項<math>q_{n}(x)</math>取自凸包，而其他被加項，則只需取自原來的集合<math>Q_n </math>。以符號復述，即有以上方法表示<math>x </math>，且滿足<math>|\{l\leq n\leq N\mid q_{n}(x)\in\mathrm{Conv}(Q_{n})\setminus Q_{n}\}|\leq D</math>。不妨將下標重新排序，然後就有
: <math>x = \sum_{n=1}^{D}q_{n}(x) + \sum_{n=D+1}^{N} q_n(x)</math>

其中對<math>1\leq n\leq D</math>，有<math>q_{n}\in\mathrm{Conv}(Q_{n})</math>，而對<math>D+1\leq n\leq N</math>，則有<math>q_{n}\in Q_{n}</math>。注意，倘若重排，則排序的方式也取決於點<math>x </math>。<ref>{{harvtxt|Starr|1969|pp=35–36}}</ref>再精簡，沙普利-福克曼引理可以寫成

: <math>\mathrm{Conv}(\sum_{n=1}^{N}Q_{n})\subseteq\bigcup_{I\subseteq\{1,2,\ldots N\}:~|I|=D}\sum_{n\in I}\mathrm{Conv}(Q_{n})+\sum_{n\notin I}Q_{n}.</math>

舉例，集合<math>[0,2]=[0,1]+[0,1]=\mathrm{Conv}(\{0,1\})+\mathrm{Conv}(\{0,1\})</math>中的每個點，根據引理，必定可以寫成<math>\{0,1\}</math>的某個元素，與<math>[0,1]</math>的某個元素之和。<ref name="Carter94"/>

==== 實向量空間的維數 ====
反之，沙普利-福克曼引理刻劃了有限維實[[向量空間的維數]]。具體而言，若某向量空間，對於某個[[自然數]]<math>D </math>滿足引理的結論，但對小於<math>D </math>的數不滿足，則其維數恰好為<math>D </math>。<ref>{{harvtxt|Schneider|1993|p=131}}</ref>引理僅對'''有限維'''向量空間成立。<ref>{{harvtxt|Schneider|1993|p=140}}歸功於{{harvtxt|Borwein|O'Brien|1978}}: {{cite journal|last1=Borwein|first1=J.&nbsp;M.|last2=O'Brien|first2=R.&nbsp;C.|title=Cancellation characterizes convexity|trans-title = 抵消之事，可以刻畫凸性| journal=Nanta&nbsp;Mathematica (Nanyang&nbsp;University)|issn=0077-2739|volume=11|year=1978|pages=100–102|mr=510842|language = en|ref = harv}}</ref>

=== 沙普利-福克曼定理及斯塔的推論 ===
[[File:Inner_radius.svg|alt=一個藍色圓盤，其內散佈有多個紅色點。有另一個較小的綠色圓盤，佔據了最大的無紅色點的空腔。|缩略图|某點集（深紅）的凸包以淺紅虛線圍起。點集的內半徑（綠色）必定小於其外接圓半徑（藍色），除非所有點共圓，此時兩個半徑相等。]]
沙普利與福克曼運用其引理，證明沙普利-福克曼定理，給出集合的閔氏和與其凸包（稱為'''凸化'''（convexified）和）的距離上界。定理的敍述如下：<blockquote>凸化和<math>\mathrm{Conv}\left(\sum Q_n\right)</math>的任一點，到（未凸化）和集<math>\sum Q_n</math>的[[欧几里得距离|歐氏距離]]平方，不超過各集合<math>Q_n </math>的外接半徑中，最大<math>D </math>個的平方和。(所謂外接半徑，定義為[[最小圆覆盖|包圍該集合的最小球面]]的半徑。）<ref>{{harvtxt|Schneider|1993|p=129}}</ref>此上界與求和項數<math>N </math>無關（但要求<math>N > D</math>，且集合不能越來越大）。<ref>{{harvtxt|Starr|1969|p=36}}</ref></blockquote>上述定理給出閔氏和及其凸包之間距離的上界。[[當且僅當]]閔氏和為凸集時，此距離為零。該上界取決於維數<math>D </math>及各被加項的形狀，但只要<math>N > D </math>，就不取決於項數<math>N </math>。<ref name="Starr08">{{Harvard citation text|Starr|2008}}</ref>

通常，外接半徑會大於內半徑，而無論如何，外接半徑總不能小於內半徑。集合<math>Q_n </math>的'''內半徑'''定義為：<ref name="Starr 1969 37">{{Harvard citation text|Starr|1969|p=37}}</ref>

<blockquote>最小的正實數<math>r </math>，滿足：若<math>q </math>在<math>Q_n</math>凸包中，則<math>q </math>在<math>Q_n</math>若干點的凸包中，而該些點皆在同一個半徑為<math>r </math>的[[球 (數學)|球]]內。</blockquote>
斯塔將沙普利-福克曼定理中的外接半徑換成內半徑，從而壓低沙普利-福克曼定理的上界：

<blockquote>'''沙普利-福克曼定理的斯塔推論'''：

凸化和<math>\mathrm{Conv}\left(\sum Q_n\right)</math>的任一點，到（未凸化）和集<math>\sum Q_n</math>的歐氏距離平方，不超過各集合<math>Q_n </math>的內半徑中，最大<math>D </math>個的平方和。<ref name="Starr 1969 37">{{Harvard citation text|Starr|1969|p=37}}</ref><ref>{{harvtxt|Schneider|1993|pp=129–130}}</ref>
</blockquote>
斯塔的推論確定，<math>N </math>個集合的閔氏和與其凸包之間，歐氏距離的[[上界]]。此距離可以衡量閔氏和非凸的程度，故為簡單起見，下文稱為'''非凸度'''。於是，斯塔對非凸度的上界，僅取決於<math>D </math>個最大內半徑之值，但不取決於求和的項數<math>N </math>（假設<math>N > D</math>）。


例如，非凸集<math>\{0, 1, 2\}</math>的非凸度為<math>1/2 </math>，因為與其凸包（區間<math>[0, 2]</math>）的距離為<blockquote><math>\frac{1}{2} = \left|1 - \frac{1}{2}\right| = \left|0 - \frac{1}{2}\right| 
= \left|2 - \frac{3}{2}\right| = \left|1 - \frac{3}{2}\right|.</math></blockquote>所以，既然<math>\sum Q_n</math>的非凸度有不取決於項數<math>N </math>的上界，就知平均集

: <math>\frac{1}{N}\left(\sum Q_n\right) </math>

非凸度上界，會隨<math>N </math>增加而遞減。例如，平均集

: <math>\frac{1}{2} \left(\{0, 1\} + \{0, 1\}\right) = \{0,\ 1/2,\ 1\}</math>

和其凸包<math>[0, 1]</math>的距離僅為<math>1/4</math>，等於被加項<math>\{0, 1\}  </math>與其凸包<math>[0, 1]   </math>的距離（<math>1/2   </math>）之半。僅要最大<math>D </math>個求和項的形狀，已足以計算和集與凸包的距離的上界，故除以<math>N </math>後，平均集與凸包的距離，在<math>N </math>趨向[[無窮]]時，會[[極限 (數列)|遞減至零]]（對均勻有界的求和項成立，即各個求和項的大小需有同一個上界）。<ref name="Starr08">{{Harvard citation text|Starr|2008}}</ref>若使用斯塔的上界，則前一句結論的條件可以放寬，只需各求和項的內半徑有同一個上界。<ref name="Starr08" />

=== 證明和計算 ===
沙普利-福克曼引理的原證明，僅確定[[存在性定理|存在]]該種表示法，而無說明[[算法|如何構造]]。[[肯尼斯·阿罗|阿羅]]與[[弗兰克·哈恩|哈恩]]<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|pp=392–395}}</ref>、{{Le|約翰·蓋士利|J. W. S. Cassels|蓋士利}}<ref>{{harvtxt|Cassels|1975|pp=435–436}}</ref>、斯奈德（Schneider）<ref>{{harvtxt|Schneider|1993|p=128}}</ref>和其他人都曾給出類似的證明。阿特斯泰因（Artstein）<!--https://gongjushu.oversea.cnki.net/chn/Search/SimpleSearch?key=Artstein&range=TOTAL&opt=0 -->擴展了{{Le|伊瓦爾·埃科蘭德|Ivar Ekeland|埃科蘭德}}<!-- 按[[勞里·勒夫]]中Tor Ekeland的先例暫譯 -->的簡潔抽象證明。<ref>{{harvtxt|Ekeland|1999|pp=357–359}}</ref><ref>{{harvtxt|Artstein|1980|p=180}}</ref>也有未經出版的另證。<ref name="Howe"/><ref>{{harvtxt|Anderson|2005}}</ref>1981年，斯塔發表一種[[疊代法]]，可以計算給定點的表示法，然而，此計算方法給出的上界，較非構造性證明的上界差。<ref>{{Cite journal|title=Approximation of points of convex hull of a sum of sets by points of the sum: An elementary approach|trans-title = 以集合之和的點迫近和集凸包的點：初等進路|last=Starr|first=Ross&nbsp;M.|journal=Journal of Economic Theory|issue=2|doi=10.1016/0022-0531(81)90010-7|year=1981|volume=25|pages=314–317|mr=640201|language = en|ref = harv}}</ref>[[德梅萃·P. 博赛卡斯|博赛卡斯]]的書有講述有限維空間沙普利-福克曼引理的初等證明，<ref>
{{cite book
  | last = Bertsekas
  | first = Dimitri P.
  | author-link = 德梅萃·P. 博赛卡斯
  | title = Convex Optimization Theory
  | trans-title = 凸優化論
  | publisher = Athena Scientific
  | year = 2009
  | location = Belmont, Mass.
  | isbn =  978-1-886529-31-1   
  | language = en
}} 
</ref>並將引理應用於估計可分優化（separable optimization）問題與[[零和博弈|零和賽局]]的[[對偶間隙]]。

== 應用 ==
有沙普利-福克曼引理，學者就得將有關凸集閔氏和的結果，套用到（無需凸的）一般集合之和。此種和見於[[经济学|經濟學]]、[[最优化|最优化理論]]、[[概率論]]。此三領域的應用中，非凸性起到重要作用。

=== 經濟學 ===
[[File:Indifference_curves_showing_budget_line.svg|alt=圖示笛卡兒平面的第一象限，即兩坐標皆非負。藍色的直線向下斜，經過兩點，分別在兩條坐標軸上。藍色線與一條紅色的曲線相切，該曲線像圓角的L形，相切點的坐標為''Qx''、''Qy''。該紅色曲線的上方和下方，各有一條形狀相似的紅色曲線，總共有三條不相交的紅色曲線。|右|缩略图|消費者[[偏好 (經濟學)|偏好]]位於[[無差異曲線]]<math>I_3</math>上的任意籃子，勝過位於<math>I_2</math>上的籃子。籃子<math>(Q_x, Q_y)</math>，是預算線（藍色）[[支撐超平面|支撐]]<math>I_2</math>的位置，所以是最優而又[[可行域|可行]]。相反，雖然消費者更偏好<math>I_3</math>上的任意籃子，但無足夠預算，所以並不可行。]]
{{See also|{{le|經濟學中的凸集|Convexity in economics}}}}

[[微观经济学|經濟學]]中，消費者對每一「籃子」商品（basket，即商品的組合）有其[[偏好 (經濟學)|偏好]]程度。每籃子可用一個非負向量表示，其坐標為籃中各商品的量。所有籃子組成的集合中，每個消費者有自己的一族[[无差异曲线]]，滿足：在同一條曲線上的各籃子，對該消費者是等價的，即消費者並不覺該曲線上有籃子勝於另一個籃子。每籃子恰好處於一條無差異曲線上。消費者相對於一條無差異曲線的'''偏好集'''，定義為該無差異曲線與其更偏好的區域的[[並集]]。稱消費者的偏好為'''凸'''，意思是其所有偏好集皆為凸。<ref>{{harvtxt|Mas-Colell|1985|pp=58–61}} and {{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|pp=76–79}}</ref>

如圖所示，消費者認為的最優籃子，是在[[預算線]][[支撐超平面|支撐]]某個偏好集時取到，因為此時，所選的籃子是整條預算線上，達到最高的無差異曲線的一點。所謂預算線，是由商品的價格向量與消費者的收入計算得出的限制，消費者無足夠收入購買高於此線的籃子。所以，最優籃子的集合是各價格的[[函數]]，稱為消費者的[[需求曲线|需求]]。若偏好集為凸，則不論價格為何，消費者認為的最優籃子總是組成凸集，例如可能是[[单元集|單元集]]，或是一條線段。<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|pp=79–81}}</ref>

==== 非凸偏好 ====
[[File:NonConvex.gif|alt=笛卡兒平面的第一象限上，有一個非凸的偏好集，其邊界像是豎—橫—豎—橫的樓梯形，但是平滑曲形（圓角）。動圖中，預算線在移動，保持與偏好集的曲線相切，但是，無法接觸到凹陷的地方相切。|右|缩略图|若消費者的偏好有凹陷，則消費者的決定可以不連續，從一個籃子跳到另一個隔開的籃子。]]
{{See also|{{le|非凸集 (經濟學)|Non-convexity (economics)}}}}
然而，若有偏好集非凸，則某些價格確定的預算線，可能在兩個分開的最優籃子支撐該偏好集。例如，可以設想，動物園購買獅子或鷹的價錢一樣，且其預算恰好夠買一隻獅子或一隻鷹。此外，假設園主亦認為兩隻動物價值相同，則動物園有可能買獅子，也可能買鷹，但當然不可能買半隻獅子加半隻鷹（[[狮鹫]]）。所以，園主的偏好非凸：買兩隻動物中的任一隻，勝於兩者的嚴格凸組合。<ref>{{harvtxt|Starr|1969|p=26}}：「畢竟，可能覺得車和艇差不多，但多數情況下，半車半艇的組合，既不能駕駛，也不能航行。」（譯文）</ref>

若消費者有非凸偏好集，則對於某些價格，需求不[[连通空间|連通]]。不連通的需求，會導致消費者的行為出現不連續的間斷。引述[[哈羅德·霍特林]]的話（宜配合所附動圖理解）：<blockquote>
若考慮波浪形的無差異曲線，即在某些區域向原點凸，而在其他區域向原點凹，則我等被迫推論，僅有向原點凸的部分需要理會，因為幾乎不可能觀測到其他部分。要偵測該些部分，唯一方法是，觀察價格之比率變化時，需求的不連續變化。此變化的效果是，當直線旋轉時，[[切點]]會突然躍過某凹陷。雖然此種不連續的表現，揭示有凹陷，但卻不可能量度缺口的深度。倘若無差異曲線，或其高維推廣，有凹陷部分，則定必因永遠無法測量，而不為人知。<ref>
{{harvtxt|Hotelling|1935|p=74}}:
{{cite journal|first=Harold|last=Hotelling|author-link=哈羅德·霍特林
|title=Demand functions with limited budgets|trans-title = 有限預算的需求函數|journal=Econometrica|volume=3|issue=1|date=January 1935|pages=66–78|jstor=1907346|doi=10.2307/1907346|language = en|ref = harv}}
</ref>
</blockquote>

{{le|瓦爾特·迪韋爾特|Walter Erwin Diewert}}<!--姓按[[WP:外語譯音表/德語]]暫譯--><ref name="Diewert" >{{harvtxt|Diewert|1982|pp=552–553}}</ref>書中，稱{{Le|赫爾曼·沃爾德|Herman Wold}}<ref>{{harvtxt|Wold|1943b|pp=231 and&nbsp;239–240}}: {{cite journal|last=Wold|first=Herman|year=1943b|title=A synthesis of pure demand analysis&nbsp;'''II'''|trans-title = 純需求分析綜論二|journal=Skandinavisk Aktuarietidskrift [斯堪的納維亞精算期刊]|volume=26|pages=220–263<!--英文編按：據Math Rev、編者直接檢查原論文和Wold與Juréen的書，結論是Diewert標的頁碼有誤-->|mr=11939|doi=10.1080/03461238.1943.10404737 |ref = harv}}<p>{{harvtxt|Wold|Juréen|1953|p=146}}: {{cite book|last1=Wold|first1=Herman|last2=Juréen|first2=Lars (in association with Wold)|chapter=8 Some further applications of preference fields (pp.&nbsp;129–148)|trans-chapter = 八、偏好域的其他應用|title=Demand analysis: A study in econometrics |url=https://archive.org/details/demandanalysis0000herm| trans-title = 需求分析：計量經濟學研究|location=New York|publisher=John Wiley and Sons,&nbsp;Inc|series=Wiley publications in statistics|year=1953|pages=xvi+358|mr=64385|language = en |ref = harv}}</p></ref>有強調研究非凸偏好的困難，也引述[[保羅·薩繆爾森]]稱凹陷處「被永恆的黑暗遮蔽」<ref>{{harvtxt|Samuelson|1950|pp=359–360}}:
<blockquote>會注意到，競爭市場中，不能觀測到無差異曲線凸處（而不是凹）的任何點。此種點被永恆的黑暗遮蔽，除非我等令該消費者[[买方垄断|壟斷買方]]，且從非常凸的「預算曲線」上，選取所買的商品。（其沿此曲線，影響所買商品的價格。）在[[买方垄断]]的情況，仍可從均衡點觀測到的限制的斜算，推斷該人無差異曲線的斜率。［譯按：此處凸與凹的約定，與本條目相反。］</blockquote>
{{cite journal|last=Samuelson|first=Paul&nbsp;A.|author-link=保羅·薩繆爾森|title=The problem of integrability in utility theory| trans-title = 效用論的可積性問題|journal=Economica|series=New Series|volume=17|issue=68|date=November 1950|pages=355–385|mr=43436|jstor=2549499|doi=10.2307/2549499|language = en|ref = harv}}<p>「永恆的黑暗」描述[[约翰·弥尔顿|彌爾頓]]所著《失樂園》中的地獄，其[[wikisource:Paradise Lost (1674)/Book II|卷二第592至594行]]將地獄的凹陷與{{le|塞波尼斯大沼澤|Serbonian Bog}}相比：</p><blockquote>A gulf profound as that Serbonian Bog<br />Betwixt Damiata and <!-- correcting failed-capitalization in Arrow Hahn "m" (sic) -->Mount Casius old,<br />Where Armies whole have sunk.</blockquote>彌爾頓對凹陷的描寫，是{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|p=169}}第7章"Markets with non-convex preferences and production"［非凸偏好與生產的市場］的{{le|題辭|epigraph (literature)}}。該章講解{{harvtxt|Starr|1969}}的成果。</ref>。

儘管有上述困難，《{{Le|政治經濟期刊|Journal of Political Economy}}》（JPE）在1959年至1961年間，刊登一系列的論文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷爾（Farrell）<ref>{{cite journal
|title=The Convexity assumption in the theory of competitive markets
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-political-economy_1959-08_67_4/page/371
|trans-title = 競爭市場論的凸性假設
|last=Farrell
|first=M.&nbsp;J.
|journal=The Journal of Political Economy
|volume=67
|issue =4
|date=August 1959
|pages=371–391
|jstor=1825163
|doi=10.1086/258197
|language = en
|ref = harv
}}</p>
<p>{{cite journal
|title=On Convexity, efficiency, and markets: A Reply
|trans-title = 論凸性、效率、市場：回覆
|journal=Journal of Political Economy|last=Farrell
|first=M.&nbsp;J. <!-- |journal=The Journal of Political Economy -->
|volume=69
|issue=5
|date=October 1961a
|pages=484–489
|jstor=1828538
|doi=10.1086/258541
|language = en
|ref = harv
}}</p>
<p>{{cite journal
|title=The Convexity assumption in the theory of competitive markets: Rejoinder
|trans-title = 競爭市場論的凸性假設：再回應
|journal=Journal of Political Economy
|last=Farrell
|first=M.&nbsp;J. <!-- |journal=The Journal of Political Economy -->
|volume=69
|issue=5
|date=October 1961b
|pages=493
|jstor=1828541
|doi=10.1086/258544
|language = en
|ref = harv
}}</p></ref>、{{le|巴托爾·費倫茨|Francis M. Bator|巴托爾}}<!--按匈牙利語Bátor Ferenc和[[WP:外語譯音表/匈牙利語]]譯--><ref>
{{Cite journal|title=On convexity, efficiency, and markets|trans-title = 論凸性、效率、市場|last=Bator|first=Francis&nbsp;M.|date=October 1961a|journal=The Journal of Political Economy|issue=5|doi=10.1086/258540|volume=69|pages=480–483|jstor=1828537|language = en|ref = harv}}</p>
<p>{{Cite journal|title=On convexity, efficiency, and markets: Rejoinder|trans-title = 論凸性、效率、市場：再回應|last=Bator|first=Francis&nbsp;M.<!-- |journal=The Journal of Political Economy -->|date=October 1961b|journal=Journal of Political Economy|issue=5|doi=10.1086/258542|volume=69|pages=489|jstor=1828539|language = en|ref = harv}}</p></ref>、[[特亚林·科普曼斯|科普曼斯]]<ref>{{cite journal|title=Convexity assumptions, allocative efficiency, and competitive equilibrium
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-political-economy_1961-10_69_5/page/478
|trans-title = 凸假設、分配效率、競爭均衡
|last=Koopmans
|first=Tjalling&nbsp;C.
|author-link=特亚林·科普曼斯
|journal=The Journal of Political Economy
|volume=69
|issue=5
|date=October 1961
|pages=478–479
|jstor=1828536
|doi=10.1086/258539
|language = en
|ref = harv
}}
<p>{{harvtxt|Koopmans|1961|p=478}}、{{harvtxt|Farrell|1959|pp=390–391}}、{{harvtxt|Farrell|1961a|p=484}}、{{harvtxt|Bator|1961a|pp=482–483}}、{{harvtxt|Rothenberg|1960|p=438}}、{{harvtxt|Starr|1969|p=26}}評論了{{harvtxt|Koopmans|1957|pp=1–126, 尤其&nbsp;9–16 [1.3 Summation of opportunity sets]、&nbsp;23–35 [1.6 Convex sets and the price implications of optimality]、&nbsp;35–37 [1.7 The role of convexity assumptions in the analysis]三節}}：</p><p>{{cite book|first=Tjalling&nbsp;C.|last=Koopmans|author-link=特亚林·科普曼斯|chapter=Allocation of resources and the price system|trans-chapter = 資源分配與價格制度|editor-last=Koopmans|editor-first=Tjalling&nbsp;C|editor-link=特亚林·科普曼斯|title=Three essays on the state of economic science|url=https://archive.org/details/threeessaysonsta0000koop|trans-title = 三篇論經濟科學現況|publisher=McGraw–Hill Book Company|location=New York|pages=[https://archive.org/details/threeessaysonsta0000koop/page/n18 1]–126|year=1957|isbn=0-07-035337-9|language = en|ref = harv}}</p></ref>、羅森博格（Rothenberg）<ref name="Rothenberg" >{{harvtxt|Rothenberg|1960|p=447}}: {{cite journal
|title=Non-convexity, aggregation, and Pareto optimality
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-political-economy_1960-10_68_5/page/435
|trans-title = 非凸性、加總、帕累托最優
|last=Rothenberg
|first=Jerome
|journal=The Journal of Political Economy
|volume=68
|issue=5
|date=October 1960
|pages=435–468
|jstor=1830308
|doi=10.1086/258363
|language = en
|ref = harv
}}</p> 
<p>（{{cite journal
|title=Comments on non-convexity
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-political-economy_1961-10_69_5/page/490
|trans-title = 評非凸性
|journal=Journal of Political Economy
|last=Rothenberg
|first=Jerome
|author-link=<!-- |journal=The Journal of Political Economy -->
|volume=69
|issue=5
|date=October 1961
|pages=490–492
|jstor=1828540
|doi=10.1086/258543
|language = en
|ref = harv
}}）</p>
</ref>。其中，羅森博格討論非凸集和的近似凸性。<ref name="ArrowHahn182" >{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|p=182}}</ref>該些JPE論文，促使[[劳埃德·沙普利]]和[[马丁·舒比克]]也合著論文，研究凸化的消費者偏好，並引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。<ref>{{harvtxt|Shapley|Shubik|1966|p=806}}: {{cite journal|author-link1=劳埃德·沙普利|first1=L.&nbsp;S.|last1=Shapley|author-link2=马丁·舒比克|first2=M.|last2=Shubik|title=Quasi-cores in a monetary economy with nonconvex preferences|trans-title=非凸偏好貨幣經濟中的準核|journal=Econometrica|volume=34|issue=4|date=October 1966|pages=805–827|jstor=1910101|zbl=0154.45303|doi=10.2307/1910101|url=http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=AD0623552|language=en|ref=harv|access-date=2021-08-30|archive-date=2017-09-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20170924084740/http://www.dtic.mil/get-tr-doc/pdf?AD=AD0623552|dead-url=no}}</ref>JPE論文和沙普利-舒比克論文又啟發了[[罗伯特·约翰·奥曼|罗伯特·奥曼]]提出另一個概念，稱為「準均衡」（quasi-equilibrium）。<ref name="Aumann" >{{harvtxt|Aumann|1966|pp=1–2}}: {{cite journal|author-link=罗伯特·约翰·奥曼|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann|title=Existence of competitive equilibrium in markets with a continuum of traders|url=https://archive.org/details/sim_econometrica_1966-01_34_1/page/1|trans-title = 市場有連續統多個交易人，則存在競爭均衡|journal=Econometrica|volume=34|issue=1|date=January 1966|pages=1–17|jstor=1909854|mr=191623|doi=10.2307/1909854 |language = en|ref = harv}} {{harvtxt|Aumann|1966}}用到 {{harvs|txt|last=Aumann|year1=1964|year2=1965}}的結果：
<!-- NOT original research, this comment appears often, e.g. in "What is Bob Aumann trying to accomplish" in the CORE 20th anniversary volume, in which Guesnerie appears --><p>{{cite journal|author-link=罗伯特·约翰·奥曼|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann|title=Markets with a continuum of traders|trans-title = 連續統多個交易人的市場|journal=Econometrica|volume=32|issue=1–2|date=January–April 1964|pages=39–50|jstor=1913732|mr=172689|doi=10.2307/1913732|language = en|ref = harv}}</p><p>
{{cite journal|author-link=罗伯特·约翰·奥曼|first=Robert&nbsp;J.|last=Aumann|title=Integrals of set-valued functions|trans-title = 集合值函數的積分|journal=Journal of Mathematical Analysis and Applications|volume=12|issue=1|date=August 1965|pages=1–12|doi=10.1016/0022-247X(65)90049-1|mr=185073|doi-access=free|language = en|ref = harv}}</p></ref><ref>據{{harvtxt|Diewert|1982|p=552}}所言，{{harvtxt|Wold|1943b|p=243}}及{{harvtxt|Wold|Juréen|1953|p=146}}已於較早前討論過取非凸偏好的凸包。</p></ref>

==== 斯塔1969年的論文與當代經濟學 ====
[[File:Kenneth_Arrow,_Stanford_University.jpg|alt=肯尼斯·阿罗的相片|缩略图|[[肯尼斯·阿罗]]（1972年[[诺贝尔经济学奖|诺贝尔獎得主]]）幫助{{Le|羅斯·斯塔|Ross Starr}}研究[[凸集|非凸]]{{Le|凸偏好|Convex preferences|經濟體}}。<ref name="StarrArrow" >{{harvtxt|Starr|Stinchcombe|1999|pp=217–218}}: {{cite book|chapter=Exchange in a network of trading posts|last1=Starr|first1=R.&nbsp;M.|last2=Stinchcombe|first2=M.&nbsp;B.|title=Markets, information and uncertainty: Essays in economic theory in honor of Kenneth&nbsp;J. Arrow|trans-title = 市場、資訊、不確定性：致敬肯尼斯·阿罗的經濟理論論文 |editor-first=Graciela|editor-last=Chichilnisky|pages=217–234|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, UK|year=1999|doi=10.2277/0521553555|isbn=978-0-521-08288-4 |language = en|ref = harv}}
</ref>]]
[[肯尼斯·阿罗]]收集前人研究{{Le|非凸性 (經濟學)|Non-convexity (economics)|經濟學中的非凸集}}的文獻，列成表，並加入註解，交給{{Le|羅斯·斯塔|Ross Starr}}。斯塔當時仍是本科生，但已在修讀阿羅開設的高等數理經濟學（研究生）課程。<ref name="StarrArrow"/>斯塔在學期論文中，考慮將非凸偏好換成其凸包所得的假想經濟體，研究其一般均衡。凸化經濟體中，在每個價位，[[總需求]]皆是各消費者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引數學家[[劳埃德·沙普利]]和{{Le|強·福克曼|Jon Folkman}}參與，兩人「在私人通信中」證明[[名祖|現以兩人命名]]的引理和定理，到1969年，斯塔才於論文報告此事。<ref name="s69">{{Harvard citation text|Starr|1969}}</ref>

斯塔1969年的論文中，應用沙普利-福克曼-斯塔定理，證明「凸化」經濟體有一些一般均衡，只要參與者足夠多，能以原經濟體的「準均衡」近似。具體而言，斯塔證明，至少存在一個價格向量為<math>p_\mathrm{opt} </math>的準均衡，滿足下列條件：

* 對每個準均衡<math>p_\mathrm{opt} </math>，所有消費者都可以選到其最優的籃子（在預算限制內，且最偏好）。
* 在該價格<math>p_\mathrm{opt} </math>，凸化經濟體中，每種商品的市場皆均衡，即供給等於需求。
* 每個準均衡的價格，皆「幾乎[[市場出清|出清]]」原經濟體的市場：凸化經濟體均衡組成的集合，與原經濟體的準均衡集合，兩者的[[豪斯多夫距离|距離]]有[[上界]]。此結論是根據沙普利-福克曼定理的斯塔推論得到。<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|pp=169–182}}、{{harvtxt|Starr|1969|pp=27–33}}
</ref>

斯塔確立以下結論：<blockquote>
「總體中，［取各消費及生產集的凸包］所得的假想經濟體的分配，與真實經濟體的某個分配，兩者的差異，有不取決於參與者數目的上界。因此，當參與者數目趨向無窮時，平均參與者感受到，與擬作行動的偏差，近乎可以忽略不計。」<ref>{{harvtxt|Green|Heller|1981|p=44}}</ref>
</blockquote>
斯塔1969年論文發表後，沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟理論獲廣泛應用。{{Le|羅歇·蓋內里|Roger Guesnerie}}如此總結該結論對經濟學的意義：「假設凸性，所得的若干重要結果，在不具凸性的情況下，仍（近似）適用。例如，若經濟體具有大消費側，則偏好的非凸性不影響適用標準結果」<ref>{{harvtxt|Guesnerie|1989|pp=99}}</ref>，還稱「這些結論的一般形式的推導，是[[第二次世界大战|戰後]]經濟理論的重大成就。」<ref name="g89-p138"/>許多[[诺贝尔经济学奖|諾貝爾獎得主]]都曾研究{{Le|非凸性 (經濟學)|Non-convexity (economics)|經濟學中的非凸集}}，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年獲獎）外，還有：阿羅（1972）、[[罗伯特·约翰·奥曼]]（2005）、[[傑拉德·德布魯]]（1983）、[[特亚林·科普曼斯]]（1975）、[[保羅·克魯曼]]（2008）、[[保羅·薩繆爾森]]（1970）。至於互補的主題「{{Le|經濟學中的凸性|Convexity in economics|經濟學中的凸集}}」，除以上得主著重外，還有[[里奥尼德·赫维克兹]]、[[列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇]]（1975）、[[罗伯特·索洛]]（1987）都著重。<ref name="MasColell87">{{harvtxt|Mas-Colell|1987}}</ref>

沙普利-福克曼-斯塔的結論，在經濟學各分支的文獻都經常出現，包括[[微观经济学]]<ref>{{harvtxt|Varian|1992|pp=393–394}}: {{cite book|author-link=哈尔·范里安|last=Varian|first=Hal&nbsp;R.|chapter=21.2&nbsp;Convexity and size|trans-chapter = 21.2節：凸性與大小|title=Microeconomic Analysis|trans-title = 微觀經濟分析|publisher=W.&nbsp;W.&nbsp;Norton&nbsp;& Company|edition=3rd|year=1992|isbn=978-0-393-95735-8|mr=1036734|url=https://archive.org/details/microeconomicana00vari_0 |language = en|ref = harv}}
<p>{{harvtxt|Mas-Colell|Whinston|Green|1995|pp=627–630}}: {{cite book|last1=Mas-Colell|first1=Andreu|last2=Whinston|first2=Michael&nbsp;D.|first3=Jerry&nbsp;R.|last3=Green|chapter=17.1 Large&nbsp;economies and nonconvexities|trans-chapter = 第17.1節：大經濟體與非凸性 |title=Microeconomic theory|url=https://archive.org/details/microeconomicthe0000masc|trans-title = 微觀經濟理論|publisher=Oxford&nbsp;University Press|year=1995|isbn=978-0-19-507340-9|language = en|ref = harv}}</p></ref>、[[一般均衡理論]]<ref>{{harvtxt|Arrow|Hahn|1980|pp=169–182}}</p>
<p>{{harvtxt|Mas-Colell|1985|pp=52–55, 145–146, 152–153, and&nbsp;274–275}}: {{cite book|last=Mas-Colell|first=Andreu|year=1985|chapter=1.L Averages of sets|trans-chapter = 第1.L節：集合的平均|title=The Theory of general economic equilibrium: A ''differentiable'' approach|trans-title = 一般經濟均衡理論：可微分的進路|series=Econometric Society monographs|volume=9|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-26514-2|mr=1113262|language = en|ref = harv}}</p>
<p>{{harvtxt|Hildenbrand|1974|pp=37, 115–116, 122, and&nbsp;168}}: {{cite book|last=Hildenbrand|first=Werner|title=Core and equilibria of a large economy|trans-title = 大經濟體的核和均衡|series=Princeton studies in mathematical economics|volume=5|publisher=Princeton&nbsp;University Press|location=Princeton,&nbsp;N.J.|year=1974|pages=viii+251|isbn=978-0-691-04189-6|mr=389160|language = en|ref = harv}}</p></ref><ref>{{harvtxt|Starr|1997|p=169}}，及
<p>{{harvtxt|Ellickson|1994|pp=xviii, 306–310, 312, 328–329, 347, and&nbsp;352}}: {{cite book|title=Competitive equilibrium: Theory and applications|trans-title = 競爭均衡：理論及應用|first=Bryan|last=Ellickson |publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-31988-1|doi=10.2277/0521319889|year=1994|language = en|ref = harv}}</p></ref>、[[公共經濟學]]<ref>{{cite book|last=Laffont|first=Jean-Jacques|author-link=讓-雅克·拉豐|year=1988|chapter=3. Nonconvexities <!-- Not "Non–convexities"  -->|trans-chapter=第3章：非凸性|title=Fundamentals of public economics|trans-title=公共經濟學基礎|url=https://books.google.com/books?q=editions:&id=O5MnAQAAIAAJ|publisher=[[MIT]] Press|pp=63–65|isbn=0-262-12127-1|language=en|ref=harv|access-date=2021-08-30|archive-date=2021-08-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20210830152154/https://books.google.com/books?q=editions:&id=O5MnAQAAIAAJ|dead-url=no}}</ref>（包括[[市场失灵]]）<ref>{{harvtxt|Salanié|2000|pp=112–113 and&nbsp;107–115}}: {{cite book|last=Salanié|first=Bernard|chapter=7 Nonconvexities <!-- Not "Non–convexities"  -->|trans-chapter = 第7章：非凸性|title=Microeconomics of market failures|url=https://archive.org/details/microeconomicsof0000sala|trans-title = 市場失靈的微觀經濟學|edition=1998年法文版''Microéconomie: Les défaillances du&nbsp;marché'' (Economica, Paris)的英文翻譯|year=2000|publisher=MIT&nbsp;Press|location=Cambridge, Mass.|pages=[https://archive.org/details/microeconomicsof0000sala/page/107 107]–125|isbn=0-262-19443-0|language = en|ref = harv}}</ref>、[[博弈论]]<ref>{{harvtxt|Ichiishi|1983|pp=24–25}}: {{cite book|last=Ichiishi|first=Tatsuro|title=Game theory for economic analysis|url=https://archive.org/details/gametheoryforeco0000ichi|trans-title = 經濟分析的賽局理論|series=Economic theory, econometrics, and mathematical economics|publisher=Academic Press,&nbsp;Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]|location=New York|year=1983|pages=x+164|isbn=0-12-370180-5|mr=700688|language = en|ref = harv}}</ref>、[[数理经济学]]<ref>{{harvtxt|Cassels|1981|pp=127 and 33–34}}: {{cite book|last=Cassels|first=J.&nbsp;W.&nbsp;S.|chapter=Appendix&nbsp;A Convex&nbsp;sets|trans-chapter = 附錄A：凸集|title=Economics for mathematicians|trans-title = 數學家的經濟學|series=London Mathematical Society lecture note series|volume=62|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge, UK |year=1981|pages=xi+145|isbn=0-521-28614-X|mr=657578|language = en|ref = harv}}</ref>、經濟學中的[[应用数学]]<ref name="Aubin"/><ref name="Carter" >{{harvtxt|Carter|2001|pp=93–94,&nbsp;143,&nbsp;318–319,&nbsp;375–377, and&nbsp;416}}</ref>。沙普利-福克曼-斯塔的結論，也使經濟學更多使用測度論和[[积分]]理論。<ref>{{harvtxt|Trockel|1984|p=30}}: {{cite book|last=Trockel|first=Walter|title=Market demand: An analysis of large economies with nonconvex preferences|trans-title = 市場需求：分析非凸偏好的大經濟體|series=Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems|volume=223|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=1984|pages=viii+205|isbn=3-540-12881-6|mr=737006|language = en|ref = harv}}</ref>

=== 最優化理論 ===
[[File:Epigraph_convex.svg|alt=凸函數的圖像，是一條黑色的U形曲線。其蓋圖，即曲線上方的區域，塗滿綠色。|右|缩略图|[[函数|函數]]稱為[[凸函数|凸]]，意思是[[函数图形|圖像]]上方的區域為[[凸集]]。]]
沙普利-福克曼引理可以解釋，為何大規模的[[非线性规划|最小化]]問題，即使[[凸函数|非凸]]，仍可用[[迭代法]]近似求解（僅對於[[凸優化|凸問題]]，有證明疊代法收斂到最優解）。沙普利-福克曼引理，促使學者將凸優化方法，用於優化多個（無需凸的）函數之和。<ref name="Bertsekas99"/>

==== 最優化理論的前置概念 ====
[[非线性规划]]依賴下列有關[[函數]]的若干定義：

* 函數<math>f </math>（[[定义域|定義]]在集合<math>D </math>上）的[[函数图形|'''圖像''']]，是所有參數<math>x </math>與相應取值<math>f(x) </math>組成的二元組的集合：

: <math>\mathrm{Graph}(f) = \{(x, f(x)): x \in D\}.</math>

* {{Le|實值函數|Real-valued function}}<math>f </math>的'''{{Le|蓋圖|Epigraph (mathematics)}}'''是圖像上方的點的集合：

[[File:Sine.svg|alt=正弦函數的圖像，是波浪形的曲線，在-1與+1之間上下振動，以2π為周期。|右|缩略图|[[正弦|正弦函數]]並非[[凸函数]]。]]

: <math>\mathrm{Epi}(f) = \{(x, u): f(x) \le u\}.</math>

* 實值函數稱為[[凸函数|'''凸函数''']]，意思是其蓋圖為凸集。<ref name="Rock23" >{{harvtxt|Rockafellar|1997|p=23}}</ref>

舉例，[[二次函数]]<math>f: x \mapsto x^2 </math>為凸，而[[绝对值]]函數<math>g: x \mapsto |x| </math>亦然，但[[正弦函数|正弦函數]]<math>\sin  </math>（如圖）則不然，因為在[[區間]]<math>(0, \pi) </math>的蓋圖非凸（而有向上的凹陷）。

==== 加性優化問題 ====
許多優化問題中，[[最优化|目標函數]]<math>f  </math>'''可分離變數'''（可分），即<math>f  </math>是多個函數之和，而各個函數的參數不同，如：

: <math>f(\boldsymbol x) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_n f_n(x_n). </math>

又例如，[[线性规划]]問題就可分離變數。考慮一個可分問題，及一個最優解

: <math>\boldsymbol x_\mathrm{min} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)_\mathrm{min}, </math>

在該點取到最小值<math>f(\boldsymbol x_\mathrm{min}) </math>。對此可分問題，同時考慮其「凸化問題」的最優解，即將每個求和項<math>f_n </math>的圖像換成其凸包。此種最優解，會是凸化問題的某點列<math>(\boldsymbol x_j, f(\boldsymbol x_j))_{j=1}^\infty  </math>的[[極限 (數列)|極限]]，其中

: <math>(\boldsymbol x_j,  f(\boldsymbol x_j)) \in \sum_{n=1}^N \mathrm{Conv}(\mathrm{Graph}(f_n)). </math><ref name="Ekeland76"/><ref>某集合內的[[極限 (數列)|序列的極限]]，必在該集合的[[閉包 (拓撲學)|閉包]]中，即最小而包含原集合的[[閉集]]。兩個閉集的閔氏和不必閉，故若以<math>\mathrm{Cl}</math>表示閉包，則雖然有[[子集|包含關係]]
: <math>\mathrm{Cl}(P) + \mathrm{Cl}(Q) \subseteq \mathrm{Cl}(P+Q),</math>
但可能為嚴格包含（左右不必相等）。據{{harvtxt|Rockafellar|1997|pp=49及75}}，即使兩個被加項各已是閉凸集，仍可能是嚴格包含。若要使閔氏和變成閉，則要取其閉包，即要添加所有收斂序列的極限。</ref>

當然，因為此點是<math>N  </math>個圖像凸包的點之和，由沙普利-福克曼引理，就可以寫成原圖像的點與少數圖像凸包的點之和。

以上分析，1974年由{{Le|伊瓦爾·埃科蘭德|Ivar Ekeland|埃科蘭德}}發表，以解釋為何可分問題有許多項時，即使各項非凸，總問題仍看似凸。對[[非线性规划|非線性最小值問題]]而言，[[對偶性 (最佳化)|對偶問題]]的解，不一定就是原問題的解（但若已知原問題為凸，且滿足[[卡鲁什-库恩-塔克条件|特定条件]]，則兩者的的最優解相等），但是，1973年，青年數學家{{Le|克勞德·勒馬雷沙爾|Claude Lemaréchal}}<!-- 姓為世界人名翻译大辞典之譯 -->詫異，對已知非凸的問題使用[[迭代法|凸問題的方法]]，竟然也成功。勒馬雷沙爾的問題，正是上段加性可分離變數的形式，而每個和項皆非凸函數，但對偶問題的解，仍近似原問題的最優解。<ref>{{harvtxt|Lemaréchal|1973|p=38}}: {{cite report|last=Lemaréchal|first=Claude|title=Utilisation de la dualité dans les problémes non&nbsp;convexes|trans-title = 在非凸問題使用對偶|language=fr| date=April 1973 |issue=16|location=Domaine de&nbsp;Voluceau, [[羅康庫爾|Rocquencourt]], [[勒謝奈|Le&nbsp;Chesnay]], France|publisher=[[法國國家信息與自動化研究所|IRIA（現INRIA）]], Laboratoire de recherche en informatique et automatique|page=41|ref = harv}} <!--Ekeland在''[[Comptes Rendus|CRAS]]''宣佈其附錄I的結果時引用了此報告-->
勒馬雷沙爾的實驗，日後有下列論文討論：
<p>{{harvtxt|Aardal|1995|pp=2–3}}: {{cite journal|first=Karen|last=Aardal|title=''Optima'' interview <!--sic., neither colon nor m-dash appear -->Claude Lemaréchal|trans-title=Optima訪問克勞德·勒馬雷沙爾|journal=Optima: Mathematical Programming Society Newsletter|pages=2–4|date=March 1995|volume=45|url=http://www.mathprog.org/Old-Optima-Issues/optima45.pdf|access-date=2 February 2011|language=en|ref=harv|archive-date=2021-09-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210909141434/http://www.mathprog.org/Old-Optima-Issues/optima45.pdf|dead-url=no}}</p>
<p>{{harvtxt|Hiriart-Urruty|Lemaréchal|1993|pp=143–145, 151, 153, and&nbsp;156}}: {{cite book|last1=Hiriart-Urruty|first1=Jean-Baptiste|last2=Lemaréchal|first2=Claude|chapter=XII Abstract duality for practitioners|trans-chapter = 第十二章：實踐用的抽象對偶性|title=Convex analysis and minimization algorithms, Volume&nbsp;'''II''': Advanced theory and bundle methods|trans-title = 凸分析和最小化算法，第二卷：進階理論及束法|series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [數理科學的基本原理]|volume=306|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=1993|pages=136–193 （及pp.&nbsp;334–335所列的文獻附註）|isbn=3-540-56852-2|mr=1295240|language = en|ref = harv}}</p></ref><ref name="Ekeland76" >{{harv|Ekeland|1999|pp=357–359}}: 1976年首部英文版中，埃科蘭德在附錄證明沙普利-福克曼引理，並在p. 373提到勒馬雷沙爾的實驗觀察。</ref><ref name="Ekeland74" >{{cite journal|last=Ekeland|first=Ivar<!-- |author-link=Ivar Ekeland -->|title=Une estimation ''a&nbsp;priori'' en programmation non&nbsp;convexe|trans-title = 非凸規劃中的先驗估計|journal=Comptes&nbsp;Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences [（法國）科學院週刊] |series=Séries&nbsp;A et&nbsp;B|language=fr|issn=0151-0509<!-- CRAS網站上並無存檔，且CRAS的刊名改過幾次 -->|volume=279|year=1974|pages=149–151|mr=395844|ref = harv}}<!-- Ekeland sole author; cites Lemaréchal by title whereas the 1976 appendix acknowledges but does not cite Lemaréchal (1973)--></ref>埃科蘭德的分析說明，「大而可分」的最小值問題，即使各和項有凹陷，仍可運用凸優化的方法。埃科蘭德及其後的作者主張，因為變數可以加性分離，所得的總問題近似凸。該等著作以沙普利-福克曼引理為關鍵一步。<ref name="Ekeland76" /><ref name="Ekeland74" /><ref name="AubinEkeland" >{{harvtxt|Aubin|Ekeland|1976|pp=226,&nbsp;233,&nbsp;235,&nbsp;238, and&nbsp;241}}: {{cite journal|last1=Aubin|first1=J.&nbsp;P.|last2=Ekeland|first2=I.|issue=3|journal=Mathematics of Operations Research|pages=225–245|title=Estimates of the duality gap in nonconvex optimization|trans-title = 估計非凸優化的對偶間隙|volume=1| year = 1976
|doi=10.1287/moor.1.3.225|mr=449695|jstor=3689565|language = en|ref = harv}}
<p>{{harvtxt|Aubin|Ekeland|1976}}及{{harvtxt|Ekeland|1999|pp=362–364}}也考慮非凸最小值問題的'''[[凸共軛#半連續性與兩次凸共軛|閉凸包]]'''，即對原問題的{{le|蓋圖|epigraph (mathematics)}}取[[閉包 (拓撲學)|閉]][[凸包|凸]][[闭包算子|包]]所得的新問題。Di&nbsp;Guglielmo推廣到研究非凸{{le|多目標優化|Multi-objective optimization}}問題的[[擬凸函數|擬凸]]閉包，即對目標函數的[[半連續性|下]][[水平集]]取凸閉包所得的問題：</p><p>{{harvtxt|Di&nbsp;Guglielmo|1977|pp=287–288}}: {{cite journal|last=Di&nbsp;Guglielmo|first=F.|title=Nonconvex duality in multiobjective optimization|trans-title = 多目標優化的非凸對偶|doi=10.1287/moor.2.3.285|volume=2|year=1977|issue=3|pages=285–291|journal=Mathematics of Operations Research|mr=484418|jstor=3689518|language 
= en|ref = harv}}</p>
<!-- <p>{{cite book|last=Di&nbsp;Guglielmo|first=F.|chapter=Estimates of the duality&nbsp;gap for discrete&nbsp;and&nbsp;quasiconvex optimization&nbsp;problems|title=Generalized concavity in optimization and economics: Proceedings of the NATO Advanced&nbsp;Study Institute held at the University of British&nbsp;Columbia, Vancouver,&nbsp;B.C., August&nbsp;4–15,&nbsp;1980|url=https://archive.org/details/generalizedconca0000unse|editor1-first=Siegfried|editor1-last=Schaible|editor2-first=William&nbsp;T.|editor2-last=Ziemba|publisher=Academic Press,&nbsp;Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]|location=New&nbsp;York|year=1981|pages=[https://archive.org/details/generalizedconca0000unse/page/281 281]–298|isbn=0-12-621120-5|MR=652702|ref = harv}}</p> -->
</ref>沙普利-福克曼引理促使學者將凸優化方法，應用到目標函數為多個函數之和的情況。<ref name="Ekeland76" /><ref name="Bertsekas82" >{{harvtxt|Bertsekas|1996|pp=364–381}}於p. 374引用{{harvtxt|Ekeland|1999}}，並在p. 381引用{{harvtxt|Aubin|Ekeland|1976}}：
<p>
{{cite book|last=Bertsekas|first=Dimitri&nbsp;P.|author-link=德梅萃·P._博赛卡斯|chapter=5.6 Large&nbsp;scale separable integer programming problems and the exponential method of multipliers|trans-chapter = 第5.6節：大規模可分整數規劃問題及乘子指數法|title=Constrained optimization and Lagrange&nbsp;multiplier methods|trans-title = 受限優化和拉格朗日乘子法|edition=1982年Academic Press版的重印|year=1996|location=Belmont,&nbsp;Mass. |isbn=1-886529-04-3|pages=xiii+395|publisher=Athena Scientific|mr=690767|language = en|ref = harv}}</p>
<p>
{{harvtxt|Bertsekas|1996|pp=364–381}}將[[對偶性 (最佳化)|拉格朗日對偶]]法用到[[發電]]{{le|排程 (生產過程)|Scheduling (production processes)
|排程}}上（即{{le|電力系統模擬|power system simulation|機組排程<!--https://terms.naer.edu.tw/detail/14148430/?index=3 -->問題}}），此種問題有變量[[整數規劃|限制為整數]]，所以非凸：</p>
<p>{{cite journal|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=28|date=January 1983|title=Optimal short-term scheduling of large-scale power systems|trans-title=大規模電力系統的最優短期排程|first1=Dimitri&nbsp;P.|last1=Bertsekas|author-link1=德梅萃·P._博赛卡斯|first2=Gregory&nbsp;S.|last2=Lauer|first3=Nils&nbsp;R.,&nbsp;Jr.|last3=Sandell|first4=Thomas&nbsp;A.|last4=Posbergh|pages=1–11|doi=10.1109/tac.1983.1103136|issue=1|url=http://web.mit.edu/dimitrib/www/Unit_Comm.pdf|access-date=2 February 2011|language=en|ref=harv|archive-date=2021-09-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20210909141306/http://web.mit.edu/dimitrib/www/Unit_Comm.pdf|dead-url=no}} Proceedings of 1981 IEEE Conference on Decision and Control, San Diego,&nbsp;CA, December 1981, pp.&nbsp;432–443.</p></ref><ref name="Aubin" >{{harvtxt|Aubin|2007|pp=458–476}}: {{cite book|last=Aubin|first=Jean-Pierre|chapter=14.2 Duality in the case of non-convex integral criterion and constraints (especially&nbsp;14.2.3 The Shapley–Folkman theorem, pages&nbsp;463–465)|trans-chapter = 第14.2節：非凸積分準則和限制下的對偶性（尤其第14.2.3小節：沙普利-福克曼定理，pp. 463–465|title=Mathematical methods of game and economic theory|trans-title = 賽局與經濟理論的數學方法|edition=連新序言，重印1982年North-Holland修訂英文版|publisher=Dover Publications,&nbsp;Inc|location=Mineola,&nbsp;N.Y.|year=2007|pages=xxxii+616|isbn=978-0-486-46265-3|mr=2449499|language = en|ref = harv}}</ref><ref name="Bertsekas99" >{{harvtxt|Bertsekas|1999|p=496}}: {{cite book|last=Bertsekas|first=Dimitri&nbsp;P.|author-link=德梅萃·P._博赛卡斯|title=Nonlinear Programming|trans-title = 非線性規劃|edition=Second|chapter=5.1.6 Separable problems and their geometry|trans-chapter = 第5.1.6小節：可分問題及其幾何|pages=494–498|publisher=Athena Scientific|year=1999|location=Cambridge,&nbsp;Mass.|isbn =1-886529-00-0|language = en|ref = harv}}</ref>

=== 概率與測度論 ===
凸集常與[[概率论]]一同研究。{{Le|卡拉西奧多里定理 (凸包)|Carathéodory's theorem (convex hull)|卡拉西奧多里定理}}說明，<math>d  </math>維空間的（[[非空]]）子集<math>Q  </math>凸包中的點，是取值於<math>Q  </math>的簡單{{Le|多變量隨機元|Multivariate random variable|隨機向量}}的期望值，而所謂簡單，意思是僅在不多於<math>d + 1  </math>個點處有非零概率。所以，對非空集<math>Q  </math>，取值自<math>Q  </math>的簡單隨機向量組成的集合，等於<math>Q  </math>的凸包。由此便可在概率論中，套用沙普利-福克曼-斯塔的結果。<ref>{{harvtxt|Schneider|Weil|2008|p=45}}: {{cite book|last1=Schneider|first1=Rolf|last2=Weil|first2=Wolfgang |title=Stochastic and integral geometry|url=https://archive.org/details/stochasticintegr0000schn|trans-title = 隨機與積分幾何|series=Probability and its applications|doi=10.1007/978-3-540-78859-1|year=2008|publisher=Springer |isbn=978-3-540-78858-4|mr=2455326|language = en|ref = harv}}</ref>反之，藉期望值與凸包之間的聯繫，概率論亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的結果。<ref>{{harvtxt|Cassels|1975|pp=433–434}}: {{cite journal|last=Cassels| first=J.&nbsp;W.&nbsp;S.|title=Measures of the non-convexity of sets and the Shapley–Folkman–Starr theorem|trans-title = 集合的非凸度與沙普利-福克曼-斯塔定理|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=78|year=1975|issue=3|pages=433–436|doi=10.1017/S0305004100051884
|mr=385711|language = en|ref = harv}}</ref>沙普利-福克曼-斯塔的結果，廣泛用於{{Le|隨機幾何|Stochastic geometry|隨機集的概率論}}<ref>{{harvtxt|Molchanov|2005|pp=195–198,&nbsp;218,&nbsp;232,&nbsp;237–238 and&nbsp;407}}: {{cite book|last=Molchanov|first=Ilya|chapter=3 Minkowski addition|trans-chapter = 第3章：閔可夫斯基加法|title=Theory of random sets|trans-title = 論隨機集|url=https://archive.org/details/theoryrandomsets00molc_724|series=Probability and its applications|publisher=Springer-Verlag London Ltd|location=London |year=2005|pages=[https://archive.org/details/theoryrandomsets00molc_724/page/n209 194]–240|isbn=978-1-84996-949-9|doi=10.1007/1-84628-150-4 |mr=2132405|language = en|ref = harv}}</ref>，例如證明隨機集的[[大數法則|大數定律]]<ref name="ArtsteinVitale"/><ref name="PurRal85" >{{harvtxt|Puri|Ralescu|1985|pp=154–155}}: {{cite journal|last1=Puri|first1=Madan&nbsp;L.|last2=Ralescu|first2=Dan&nbsp;A.|title=Limit theorems for random compact sets in Banach space|trans-title = 巴拿赫空間隨機緊集的極限定理|journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume=97|year=1985|issue=1|pages=151–158|doi=10.1017/S0305004100062691|mr=764504|bibcode=1985MPCPS..97..151P |language = en|ref = harv}}
</ref>、[[中心极限定理|中央極限定理]]<ref name="PurRal85" /><ref>{{harvtxt|Weil|1982|pp=203, and&nbsp;205–206}}: {{cite journal|last=Weil|first=Wolfgang|title=An application of the central limit theorem for Banach-space–valued random variables to the theory of random sets|trans-title = 取值於巴拿赫空間隨機變量的中央極限定理，應用於隨機集理論|journal=Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete [概率論與相關領域期刊]|volume=60|year=1982 |issue=2|pages=203–208|doi=10.1007/BF00531823|mr=663901|language = en|ref = harv}}</ref>、{{Le|大離差理論|Large deviations theory|大離差原理}}<ref>{{harvtxt|Cerf|1999|pp=243–244}}: {{cite journal|last=Cerf|first=Raphaël|title=Large deviations for sums of i.i.d. random compact sets|trans-title = 獨立同分佈隨機緊集之和的大離差 |journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=127|year=1999|issue=8|pages=2431–2436|doi=10.1090/S0002-9939-99-04788-7|mr=1487361|doi-access=free|language = en|ref = harv}} 瑟夫（Cerf）用到 {{harvtxt|Puri|Ralescu|1985|pp=154–155}}應用沙普利-福克曼引理的結果。</ref>。要證明前列[[随机变量的收敛|概率極限定理]]，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的結果，來避免假設隨機集為凸。

[[概率测度]]是有限的[[测度]]，而沙普利-福克曼引理還可以應用到非概率的測度論，如[[体积]]或[[向量测度]]的理論。沙普利-福克曼引理可以加強{{Le|布倫-閔可夫斯基不等式|Brunn–Minkowski theorem}}。該不等式斷言，閔氏和的體積，相較於各和項的體積不能太大，即閔氏和的體積有上界，以各和項的體積的表示。<ref>{{harvtxt|Ruzsa|1997|p=345}}: {{cite journal|last=Ruzsa|first=Imre&nbsp;Z.|title=The Brunn–Minkowski inequality and nonconvex sets|trans-title = 布倫-閔可夫斯基不等式與非凸集|journal=Geometriae Dedicata|volume=67|doi=10.1023/A:1004958110076 |year=1997|issue=3|pages=337–348|mr=1475877 |language = en|ref = harv}}</ref>[[欧氏空间|歐氏空間]]子集的體積，此處定義為其[[勒贝格测度]]。


高等測度論中，沙普利-福克曼引理適用於證明[[向量测度#李亞普諾夫定理|李亞普諾夫定理]]，即[[向量测度]]的[[像 (數學)|值域]]為凸。<ref name="Tardella" >{{harvtxt|Tardella|1990|pp=478–479}}: {{cite journal|last=Tardella|first=Fabio|title=A new proof of the Lyapunov convexity theorem|trans-title = 李亞普諾夫凸性定理的新證|journal=SIAM Journal on Control and Optimization|volume=28|year=1990|issue=2|pages=478–481 |doi=10.1137/0328026|mr=1040471|language = en|ref = harv}}</ref>'''值域'''（或'''像集'''）是函數所有可能取值的集合，而'''向量測度'''則將測度推廣到允許取向量值。例如，若某[[测度|测度空間]]有兩種[[概率测度]]<math>p_1  </math>和<math>p_2  </math>，則可定義一個向量測度<math>(p_1, p_2) </math>，是對每個[[事件 (概率论)|事件]]<math>\omega  </math>，將其兩個概率結合為一個[[多元組|二元組]]，即

: <math>(p_1, p_2) (\omega) = (p_1(\omega), p_2(\omega)). </math>

李亞普諾夫定理在[[数理经济学|經濟學]]<ref name="Aumann"/><ref>{{harvtxt|Vind|1964|pp=168 and&nbsp;175}}: {{cite journal|last=Vind|first=Karl|date=May 1964|title=Edgeworth-allocations in an exchange economy with many traders|url=https://archive.org/details/sim_international-economic-review_1964-05_5_2/page/165|trans-title = 多交易者交易經濟體中的埃奇沃思分配|journal=International Economic Review|volume=5|pages=165–77|issue=2|jstor=2525560|doi=10.2307/2525560|language = en|ref = harv}} 1983年諾貝爾獎得主[[傑拉德·德布魯]]有注意維恩（Vind）<!--世界人名翻译大辞典-->的論文。{{harvtxt|Debreu|1991|p=4}}寫道：
<blockquote>
凸集的概念（即該集合包含連接其任意兩點的線段），已經多次成為1964年以前經濟理論的核心。引入積分理論研究經濟競爭後，得以新眼光看待此事：若經濟體的每個參與者，對應商品空間的某個任意集合，而又對一族不重要的參與者取平均，則所得的集合必然為凸。[德布魯附註：「此為A. A. 李亞普諾夫的定理的直接推論，參見{{harvtxt|Vind|1964}}。」] 但⋯⋯<!--例子中-->諸<!--三個-->價格函數⋯⋯可以因平均而產生的凸性解釋。商品空間中，對一族不重要參與者加總可以得到凸性，是經濟理論⋯⋯從積分理論得來的觀察。 [刪節後譯文]
</blockquote>
{{cite journal|title=The Mathematization of economic theory|trans-title = 經濟理論的數學化|first=Gérard|last=Debreu|author-link=傑拉德·德布魯|issue=Presidential address delivered at the&nbsp;103rd meeting of the American Economic Association, 29 December 1990, Washington, DC|journal=The American Economic Review|volume=81|date=March 1991|pages=1–7|jstor=2006785|language = en|ref = harv}}</ref>、([[起停式控制|砰砰]])[[控制理论|控制論]]、{{Le|統計理論|Statistical theory}}皆有應用。<ref name="Artstein">{{harvtxt|Artstein|1980|pp=172–183}} {{harvtxt|Artstein|1980}}在致敬2008年[[諾貝爾經濟學獎]]得主[[羅伯特·約翰·奧曼|羅伯特·奧曼]]的{{le|紀念|Festschrift|論文集}}重新出版：{{cite book|first1=Zvi|last1=Artstein|chapter=22 Discrete and continuous bang–bang and facial spaces or: Look for the extreme points|trans-chapter = 第22篇：離散與連續砰砰及面空間，又或：找極值點|pages=449–462|title=Game and economic theory: Selected contributions in honor of Robert&nbsp;J. Aumann|trans-title = 賽局與經濟理論：致敬羅伯特·J. 奧曼的文選|chapter-url=http://www.press.umich.edu/titleDetailDesc.do?id=14414|editor1-first=Sergiu|editor1-last=Hart|editor2-first=Abraham|editor2-last=Neyman|publisher=University of Michigan Press|location=Ann Arbor, Mich.|year=1995|isbn=0-472-10673-2|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20110524002010/http://press.umich.edu/titleDetailDesc.do?id=14414|archive-date=24 May 2011|language = en|ref = harv}}</ref>李亞普諾夫定理是沙普利-福克曼引理的[[离散化|連續版]]<ref name="Starr08">{{Harvard citation text|Starr|2008}}</ref>，而沙普利-福克曼引理是李亞普諾夫定理的[[离散数学|離散類比]]。<ref name="MCBlock78" >{{harvtxt|Mas-Colell|1978|p=210}}: {{cite journal|last=Mas-Colell|first=Andreu|title=A note on the core&nbsp;equivalence theorem: How many blocking coalitions are there?|trans-title = 記核等價定理：有多少個聯盟<!--张鸿林、葛显良《英汉数学词汇》-->在阻礙？|journal=Journal of Mathematical Economics|volume=5|year=1978|issue=3|pages=207–215|doi=10.1016/0304-4068(78)90010-1|mr=514468|language = en|ref = harv}}</ref>
{{Clear}}

== 註 ==
{{Reflist|30em}}


== 參考文獻 ==
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== 外部鏈結 ==
* {{cite book|title=Economics&nbsp;201B: Economic Theory (Handouts)|trans-title=經濟學201B: 經濟理論（課堂講義）|chapter=Nonconvex preferences and approximate equilibria|trans-chapter=非凸偏好與近似均衡|pages=1–5<!-- |date=2005–03–14 -->|date=14 March 2005|first=Robert M.|last=Anderson|location=Berkeley, Calif.|website=Robert M. Anderson's homepage|chapter-url=http://elsa.berkeley.edu/users/anderson/Econ201B/NonconvexHandout.pdf|access-date=1 January 2011|ref=harv|archive-date=2012-03-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20120310072952/http://elsa.berkeley.edu/users/anderson/Econ201B/NonconvexHandout.pdf|dead-url=no}}
*{{cite book|last=Starr|first=Ross&nbsp;M.|chapter=8 Convex sets, separation theorems, and non-convex sets in&nbsp;'''R'''<sup>''N''</sup> (Section&nbsp;8.2.3 Measuring non-convexity, the Shapley–Folkman theorem)|trans-chapter=第8章：'''R'''<sup>''N''</sup>中的凸集、分離定理<!--https://terms.naer.edu.tw/detail/957622/?index=2-->、非凸集（第8.2.3小節：量度非凸性、沙普利-福克曼定理）|title=General equilibrium theory: An introduction|trans-title=一般均衡理論：導論|date=September 2009|pages=3–6|chapter-url=http://www.econ.ucsd.edu/~rstarr/113Winter2010/Webpage/PDFonlyCUPsubmission/Chap8-2009/2009CHAP-08092109.pdf|mr=1462618|id=（第二版的書稿，來自斯塔在加州大學聖地亞哥分校經濟學系的課程）|doi=10.1017/CBO9781139174749|isbn=9781139174749|language=en|access-date=2021-08-31|archive-date=2010-07-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20100701131416/http://www.econ.ucsd.edu/~rstarr/113Winter2010/Webpage/PDFonlyCUPsubmission/Chap8-2009/2009CHAP-08092109.pdf|dead-url=no}}
* {{cite book|last=Starr|first=Ross&nbsp;M.|chapter=Shapley–Folkman theorem|trans-chapter=沙普利-福克曼定理|title=The new Palgrave dictionary of economics|trans-title=新帕爾格雷夫經濟學詞典|editor-first=Steven&nbsp;N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence&nbsp;E<!-- . -->|editor2-last=Blume|publisher=Palgrave Macmillan|year=2008|edition=Second|pages=317–318 (1st ed.)|chapter-url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107|doi=10.1057/9780230226203.1518|title-link=新帕爾格雷夫經濟學詞典|isbn=978-0-333-78676-5|language=en|access-date=2021-08-31|archive-date=2017-03-16|archive-url=https://web.archive.org/web/20170316205747/http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_S000107|dead-url=no}}

{{微观经济学}}

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