查看“︁沃默斯利數”︁的源代码

'''沃默斯利數'''（Womersley number），會用'''&alpha;'''或<math>\text{Wo}</math>的符號表示，是[[生物力学|生物流體力學]]及{{link-en|生物流體動力學|biofluid dynamics}}的[[无量纲量]]。是表示{{link-en|脈動流|pulsatile flow}}[[頻率 (物理學)|頻率]]以及[[黏度|黏滯效應]]之間的關係。沃默斯利數得名自{{link-en|約翰·羅納德·沃默斯利|John R. Womersley}}（1907–1958），為紀念他在[[動脈]]血液流動上的研究，因此命名<ref>{{Cite journal
|author=Womersley, J.R. 
|title=Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known 
|journal=J. Physiol. 
|volume=127 
|issue=3 
|pages=553–563 
|date=March 1955 
|pmid=14368548 
|pmc=1365740 
|doi=10.1113/jphysiol.1955.sp005276}}</ref>。在實驗建模時（實驗研究中要比例放大血管系統時），會根據沃默斯利數來維持{{link-en|動態相似性|dynamic similarity}}。在確認[[邊界層]]厚度，判斷進入效應是否可忽略時，也會用到沃默斯利數。

有些文獻將沃默斯利數的平方稱為'''斯托克斯數'''（Stokes number，<math>\text{St}</math>）<ref name="KunduCohen2010">{{cite book|author1=Pijush K. Kundu|author2=Ira M. Cohen|title=Fluid Mechanics|url=http://books.google.com/books?id=d9B5NElxUKwC&pg=PA782|date=2010-01-20|publisher=Academic Press|isbn=978-0-12-381400-5|pages=782–}}</ref>，紀念[[乔治·斯托克斯]]在{{link-en|斯托克第二問題|Stokes second problem}}上的先驅貢獻。
== 推導 ==
沃默斯利數（常用<math>\alpha</math>來表示）定義如下

<math>\alpha^2 = \frac{\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}} = \frac{ \rho \omega U}{\mu U L^{-2} } = \frac{ \omega L^{2} }{\mu \rho^{-1} } =  \frac{ \omega L^{2} }{\nu} \, ,</math>

其中''L''是適當的{{link-en|長度尺度|length scale}}（例如管路的直徑）、''&omega;''是振動的[[角频率]]、''&nu;'', ''&rho;'', ''&mu;''分別是流體的[[黏度]]、密度及動黏度<ref name=Fung1990>{{cite book
|author=Fung, Y. C.
|title=Biomechanics - Motion, flow, stress and growth
|year=1990
|pages=569
|publisher=Springer-Verlag
|place=New York (USA)
|url=https://books.google.com/?id=33qbOEKAWIwC&printsec=frontcover&dq=Biomechanics+-+Motion,+flow,+stress+and+growth#v=onepage&q=Biomechanics%20-%20Motion%2C%20flow%2C%20stress%20and%20growth&f=false|isbn=9780387971247
}}</ref>。沃默斯利數一般會寫成以下沒有幂次的式子

<math>\alpha = L \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2} \, .</math>

在心血管系統中，脈動頻率會隨血管距脈動源（心臟）的距離而減少。不過脈動頻率的變化在一個[[數量級]]（OoM）以內。在心血管系統中，沃默斯利數受脈動頻率的影響不大。

[[特徵長度]]（在血管系統中是血管直徑）是系統的重要特徵，也是決定沃默斯利數的重要因素。血管系統中，特徵長度的變化會到達三個數量級，因此對沃默斯利數的影響會比脈動頻率要大。利用頻率、秥黏度及密度的標準值，可以估計人類血管的沃默斯利數：

<math>\alpha = L \left( \frac{\omega \rho}{\mu} \right)^\frac{1}{2} \, .</math>

以下是人類不同血管內的沃默斯利數：

{| class="wikitable"
|-
! 血管 !! 直徑（公尺）!! <math>\alpha</math>
|-
| 大動脈 || 0.025 || 13.83
|-
| 動脈 || 0.004 || 2.21
|-
| 小動脈 || 3⋅10^-5 || 0.0166
|-
| 微血管 || 8⋅10^-6 || 4.43⋅10^-3
|-
| 小靜脈 || 2⋅10-5 || 0.011
|-
| 靜脈 || 0.005 || 2.77
|-
| 大靜脈 || 0.03 || 16.6
|}

沃默斯利數也可以用無因次的[[雷诺数]]（Re）及[[斯特劳哈尔数]]（St）表示：

<math>\alpha = \left( 2\pi\, \mathrm{Re} \, \mathrm{St} \right)^{1/2}\, .</math>

沃默斯利數出現在脈動流的線性化[[纳维-斯托克斯方程]]（假定是不可壓縮的層流）方程的解裡。沃默斯利數表示瞬間或是振盪慣性力和剪力之間的比例。若<math>\alpha</math>較小（1或是更小的值），表示脈動頻率很低，在每一個週期中，都有足夠時間讓管路中的速度分佈發展成拋物線分佈，流和壓力梯度幾乎是同相位，因此可以配合瞬間壓力梯度，用[[泊肃叶定律]]來近似。若<math>\alpha</math>較大（10或是更大），表示脈動頻率很大，速度分布會比較平，類似管塞的外形，而平均流會落後壓力梯度約90度。沃默斯利數和雷諾數決定了動態相似性<ref>{{Cite book
|author=Nichols, W. W., O'Rourke, M. F. 
|title=McDonald's Blood Flow in Arteries 
|url=https://archive.org/details/mcdonaldsbloodfl0000nich_a9a3
|publisher=Hodder-Arnold 
|location=London (England) 
|year=2005 
|isbn=978-0-340-80941-9 
|edition=5th}}</ref>。

邊界層厚度<math>\delta</math>和瞬間加速度有關。和沃默斯利數成反比<ref name="BiomechanicsCirculation">{{cite book
|author=Fung, Y.C.
|title=Biomechanics Circulation
|year=1996
|publisher=Springer Verlag
|pages=571
|url=https://books.google.com/?id=TlbXtdbT6D8C&dq=Biomechanics%20-%20Motion%2C%20flow%2C%20stress%20and%20growth|isbn=9780387943848
}}</ref>

<math>\delta = \left( L/\alpha \right), </math>

其中''L''為特徵長度。

== 生物流體力學 ==
考慮一個許多管路組成的網路系統，其中從大管徑的管路，漸漸變成小管徑的管路（例如血管系統），在管路系統中的頻率、密度及黏度多半都是定值，而管路的管徑會隨位置而不同。在大血管內的沃默斯利數數值較大，隨著血管分支，漸漸變細，沃默斯利數會變小，而且會變的非常小。在終末動脈（terminal arteries）處的沃默斯利數接近1，在小動脈、微血管及小靜脈的沃默斯利數小於1。這區域比較不受慣性力的影響,流動是由黏性應力以及壓力梯度所控制。這稱為[[微循环]]<ref name="BiomechanicsCirculation" />。

以下是犬科動物在心率2&nbsp;Hz時，各部位的沃默斯利數<ref name="BiomechanicsCirculation" />：
*升主動脈 — 13.2 
*降主動脈 — 11.5
*腹主動脈 — 8 
*股動脈 — 3.5 
*頸動脈 — 4.4 
*小動脈 —0.04 
*微血管 — 0.005
*小靜脈 — 0.035 
*下腔靜脈 — 8.8 
*主肺動脈 — 15

有研究者提出普遍性的生物比例律（描述代謝率、壽命、長度和體重的幂次律關係）是為了讓需要的能量最小化的結果，包括血管的[[分形]]結構，以及血液從大血管到小血管的沃默斯利數變小都是這類的例子<ref>{{Cite journal
|doi=10.1126/science.276.5309.122
|vauthors=West GB, Brown JH, Enquist BJ |title=A general model for the origin of allometric scaling laws in biology 
|journal=Science 
|volume=276 
|issue=5309 
|pages=122–6 
|date=1997-04-04 
|pmid=9082983 
|url=http://www.sciencemag.org/cgi/pmidlookup?view=long&pmid=9082983}}</ref>。
==參考資料==
{{reflist}}

{{NonDimFluMech}}

{{DEFAULTSORT:Womersley Number}}
[[Category:生物力學]]
[[Category:流體力學中的無因次量]]
[[Category:流体动力学]]