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{{NoteTA|G1=Physics}}

在[[量子場論]]中，'''沃德-高橋恆等式'''是一個藉由理論的全域或規範[[對稱性 (物理學)|對稱性]]來聯繫不同{{le|關聯方程|Correlation function (quantum field theory)}}的恆等式，其不受[[重整化]]影響。

沃德-高橋恆等式一開始是由{{le|約翰·克萊夫·沃德|John Clive Ward}}<ref name="Ward">{{cite journal|last=Ward|first=John Clive|title=An Identity in Quantum Electrodynamics|journal=Physical Review|volume=78|issue=2|year=1950|page=182|doi=10.1103/PhysRev.78.182|bibcode=1950PhRv...78..182W}}</ref>和{{le|高橋康|Yasushi Takahashi}}<ref name="Takahashi">{{cite journal|last=Takahashi|first=Yasushi|date=1957|title=On the generalized ward identity|journal=Il Nuovo Cimento|volume=6|issue=2|pages=371–375|doi=10.1007/BF02832514|bibcode=1957NCim....6..371T}}</ref>提出，在[[量子電動力學]]中用以連結[[電子]]的{{le|波函數重整化|Wave function renormalization}}和{{le|節點重整化|Vertex function}}，這保證了在[[微擾理論]]的任意階下兩者產生的{{le|紫外發散|Ultraviolet divergence}}皆會對消。之後也被延伸用於證明在微擾理論中任意階下的[[戈德斯通定理]]。

廣義來說，沃德-高橋恆等式是量子化版本的[[諾特定理]]，將[[守恆定律|守恆流]]與連續性對稱作聯繫。在量子場論中這樣的對稱性幾乎都會產生廣義的沃德-高橋恆等式，其在量子層級下要求物理量的對稱性。在閱讀如{{le|麥可·佩斯金|Michael Peskin}}和[[丹尼爾·施羅德]]撰寫的課本<ref name="PeskinSchroeder">{{cite book|last1=Peskin|first1=Michael E.|last2=Schroeder|first2=Daniel V.|title=An Introduction to Quantum Field Theory|publisher=Westview Press|year=1995|isbn=978-0-201-50397-5|at=Section 7.4 ("The Ward-Takahashi identity")|url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk}}</ref>時，此廣義版本應與原始的沃德-高橋恆等式作區分。

以下的討論將使用量子電動力學作例子考慮一[[阿貝爾群|阿貝爾]][[規範理論|理論]]中的沃德-高橋恆等式。在[[非阿貝爾群|非阿貝爾]]理論中，如[[量子色動力學]]，對應的恆等式被稱作{{le|斯拉夫諾夫-泰勒恆等式|Slavnov–Taylor identities}}。

== 沃德-高橋恆等式 ==

沃德-高橋恆等式應用於[[動量空間]]中的關聯方程，其中並無要求全部的外部動量要[[在殼和離殼|在殼]]。令

::<math>\mathcal{M}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n)</math>

為一量子電動力學中的關聯方程（使用[[愛因斯坦求和約定]]）。其中包含一帶有動量 <math>k</math>、{{le|極化向量|Photon polarization}} <math>\epsilon_{\mu}(k)</math> 的外部[[光子]]、 <math>n</math> 個動量為 <math> p_1 \cdots p_n</math> 的初始態電子、和 <math>n</math> 個動量為 <math> q_1 \cdots q_n</math> 的末態電子。另外定義 <math>\mathcal{M}_0</math> 為移除該光子後的關聯方程，則沃德-高橋恆等式給出

::<math>k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k; p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) = e \sum_i \left[ \mathcal{M}_0(p_1 \cdots p_n; q_1 \cdots (q_i-k) \cdots q_n) \right. </math>
::::::::::::::::::<math> \left. - \mathcal{M}_0(p_1 \cdots (p_i+k) \cdots p_n; q_1 \cdots q_n) \right] </math>

其中 <math>e</math> 代表[[基本電荷]]（帶負號）。可發現當 <math>\mathcal{M}</math> 中每個外部電子皆在殼時，恆等式的右手邊中各項皆會有一外部電子[[在殼和離殼|離殼]]，因此不會對[[散射矩陣]]產生貢獻。

== 沃德恆等式 ==

沃德恆等式是沃德-高橋恆等式在討論散射矩陣時的特殊形式。其描述物理上可能的[[散射]]過程，因此所有外部粒子皆在殼。再次令 <math>\mathcal{M}(k) = \epsilon_{\mu}(k) \mathcal{M}^{\mu}(k)</math> 為某個量子電動力學過程的[[機率幅]]，其中含有一帶動量 <math>k</math>、極化向量 <math>\epsilon_{\mu}(k)</math> 的外部光子。則沃德恆等式給出

:: <math> k_{\mu} \mathcal{M}^{\mu}(k) = 0 </math>

物理上，此恆等式代表 {{le|&xi; 規範|&xi; gauge}}中縱向的極化向量是不符合物理的，不應存在於散射矩陣中。

此恆等式可應用在限制量子電動力學中[[真空極化]]和電子{{le|節點方程|Vertex function}}的[[張量]]結構。

== 推導 ==

{{See also|路徑積分表述}}

在路徑積分表述中，沃德-高橋恆等式源自[[測度泛函]]規範變換下的不變性。精確來說，若考慮某規範變換 <math>\varepsilon</math> 產生的影響 <math>\delta_\varepsilon</math> （此處僅要求測度泛函在轉換下維持不變）, 則

:<math>\delta_\varepsilon \int \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi = \int \delta_\varepsilon \left(\mathcal{F} e^{iS}\right) \mathcal{D}\phi  = 0</math>

其中 <math>S</math> 是[[作用量]]、<math>\mathcal{F}</math> 是由[[場 (物理)|場]] <math>\phi</math> 組成的[[泛函]]。若該規範變換對應到一全域對稱性，則在忽略邊界項後會有一守恆流 <math>J</math> 

:<math>\delta_\varepsilon S=\int \left(\partial_\mu\varepsilon\right)J^\mu\mathrm{d}^dx = -\int\varepsilon \partial_\mu J^\mu\mathrm{d}^dx</math>

因此，沃德-高橋恆等式變為

:<math>\langle\delta_\varepsilon\mathcal{F}\rangle - i\int\varepsilon\langle\mathcal{F}\partial_\mu J^\mu \rangle\mathrm{d}^dx = 0</math>

此為諾特定理 <math>\partial_\mu J^\mu=0</math> 在量子場論下的版本。

==參考資料==
{{reflist}}

{{QED}}

{{DEFAULTSORT:Ward-Takahashi identity}}
[[Category:规范理论]]
[[Category:量子电动力学]]