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[[File:Walsh 16 * Gould's-Morse.svg|thumb|320px|16阶的沃尔什矩阵与一个向量相乘]]

[[File:Natural and sequency ordered Walsh 16.svg|thumb|320px|自然序的阿达玛矩阵排列成单调变化的阿达玛矩阵。自然序矩阵中每行符号变化的次数为(0、15、7、8、3、12、4、11、1、14、6、9、2、13、5、10)，但是在单调顺序矩阵中，符号变化的次数是单调的]]

[[File:Aicp homescreen.0x3333-to-0x3334.rerender.tif|thumb|沃尔什矩阵出现在损坏的[[TIFF]]图像中]]
'''沃尔什矩阵'''（{{lang-en|Walsh matrix}}）是一个维度为<math>2^n</math>的方阵，其中n为[[自然数]]。该矩阵由-1和1组成，其所有的行与列都两两[[正交]]，即[[点积]]为0。这一概念由美国数学家[[约瑟夫·L·沃尔什]]于1923年提出，故而得名。<ref name="kanjilal"/>在沃尔什矩阵中，每一行都和一个[[沃尔什函数]]相对应。

沃尔什矩阵可视为[[阿达马矩阵]]的一个特例，自然有序的阿达马矩阵是由[[递归]]公式定义的，序列有序的阿达马矩阵是通过重新排列行来形成的，这样一行中的符号变化数就是递增的。<ref name="kanjilal">{{cite book |title=Adaptive Prediction and Predictive Control |first=P. P. |last=Kanjilal |page=210 |year=1995 |publisher=IET |location=Stevenage |isbn=0-86341-193-2 |url=https://books.google.com/books?id=h5H5voqjNIQC&pg=PA210 |access-date=2022-03-29 |archive-date=2022-03-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20220329084634/https://books.google.com/books?id=h5H5voqjNIQC&pg=PA210 }}</ref>

沃尔什矩阵用于计算[[沃尔什变换]]，在信号处理操作中的有实际应用。

== 公式 ==
维度为<math>2^k</math>（其中<math>k \in N</math>）的阿达马矩阵可由递推的方式进行定义：
:<math>\begin{align}
  H\left(2^1\right) &= \begin{bmatrix}
    1 &  1 \\
    1 & -1
  \end{bmatrix}, \\
  H\left(2^2\right) &= \begin{bmatrix}
    1 &  1 &  1 &  1 \\
    1 & -1 &  1 & -1 \\
    1 &  1 & -1 & -1 \\
    1 & -1 & -1 &  1 \\
  \end{bmatrix},
\end{align}</math>
一般而言
:<math>H\left(2^k\right) = \begin{bmatrix}
    H\left(2^{k-1}\right) &  H\left(2^{k-1}\right) \\
    H\left(2^{k-1}\right) & -H\left(2^{k-1}\right)
  \end{bmatrix} =
  H(2) \otimes H\left(2^{k-1}\right),
</math>
其中<math>2 \leq k</math>且<math>k \in N</math>，⊗代表[[克罗内克积]]。
=== 排列 ===
根据符号变化的次数对所有的行进行重新排列。例如：

:<math>H(4) = \begin{bmatrix}
  1 &  1 &  1 &  1 \\
  1 & -1 &  1 & -1 \\
  1 &  1 & -1 & -1 \\
  1 & -1 & -1 &  1 \\
\end{bmatrix}</math>

每行分别有0、3、1、2次符号变化，因此，我们对这些行进行重排：

:<math>W(4) = \begin{bmatrix}
  1 &  1 &  1 &  1 \\
  1 &  1 & -1 & -1 \\
  1 & -1 & -1 &  1 \\
  1 & -1 &  1 & -1 \\
\end{bmatrix},</math>

这样，每行都有0、1、2、3次符号变化。
=== 沃尔什矩阵的替代形式 ===
==== 顺序排序 ====
沃尔什矩阵的行顺序可以通过[[阿达马矩阵]]首先经过[[位序顛倒排列]]，然后经过[[格雷码]]排列得到：<ref>{{cite journal |last=Yuen |first=C.-K. |year=1972 |title=Remarks on the Ordering of Walsh Functions |journal=IEEE Transactions on Computers |volume=21 |issue=12 |page=1452 |doi=10.1109/T-C.1972.223524 }}</ref>

:<math>W(8) = \begin{bmatrix}
  1 &  1 &  1 &  1 &  1 &  1 &  1 &  1 \\
  1 &  1 &  1 &  1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\
  1 &  1 & -1 & -1 & -1 & -1 &  1 &  1 \\
  1 &  1 & -1 & -1 &  1 &  1 & -1 & -1 \\
  1 & -1 & -1 &  1 &  1 & -1 & -1 &  1 \\
  1 & -1 & -1 &  1 & -1 &  1 &  1 & -1 \\
  1 & -1 &  1 & -1 & -1 &  1 & -1 &  1 \\
  1 & -1 &  1 & -1 &  1 & -1 &  1 & -1 \\
\end{bmatrix},</math>

其中每行分别有0、1、2、3、4、5、6、7次符号改变。

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:矩陣]]