查看“︁求和符号”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:数学对象;zh-tw:數學物件;
}}{{算术运算}}
'''求和符号'''（{{Lang-en|summation}}；符號：<math display="inline">\sum</math>，讀作：sigma），是[[欧拉]]于1755年首先使用的一个[[数学符号]]。这个符号是源自于[[希腊文]]{{lang|el|''σογμαρω''}}（增加）的字头，Σ正是σ的大写。

求和指的是將給定的數值相加的過程，又稱為'''加總'''。求和符號常用來簡化有多個數值相加的[[數學表達式]]。

假設有<math>n</math>個數值<math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math>，則這<math>n</math>個數值的總和<math>x_1 + x_2 + \cdots + x_n</math>可表示為<math>\sum^{n}_{k=1} x_k</math>。

用等式來呈現的話就是<math>\sum^{n}_{k=1} x_k=x_1 + x_2 + \cdots + x_n</math>。


舉例來說，若有4個數值：<math>x_1=1, x_2=3,x_3=5,x_4=7</math>，則這4個數值的總和為：

<math>\sum^{4}_{k=1} x_k=x_1 + x_2 + x_3 + x_4=1+3+5+7=16</math>

在數學中，求和是任何類型數字的序列相加，稱為加數或加數；結果是它們的總和或總數。除了數字之外，也可以對其他類型的值求和：函數、向量、矩陣、多項式，以及通常在其上定義了表示為“+”的運算的任何類型的[[數學物件]]的元素。

[[無窮序列]]的總和稱為[[级数|級數]]，它們涉及[[極限 (數學)|極限]]的概念，本條目不予考慮。

顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如，[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2，得到 9，即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的，所以有不需要括號，無論加法的順序如何，結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例，空序列（沒有元素的序列）的總和結果為 0。

==求和方法==
#[[裂項法]]：利用<math>a_k=b_{k+1}-b_k</math>求出<math>\sum_{k=m}^n a_k</math>。
#錯位相減法：透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
#倒序求和：對於有[[對稱中心]]的函數<math>f(x)+f(2a-x)=2b</math>首尾求和<ref>{{cite journal|author=马志钢|year=2006|title=倒序求和几例|journal=中学生数学|issue=5|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXSS200605009.htm|access-date=2014-07-16|archive-date=2019-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20190509083039/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXSS200605009.htm|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite journal|author=郭子伟|year=2011|title=高中基础数列知识微型整理|journal=数学空间|issue=1|pages=第11页|url=http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj1/sxkj11/201101/t20110127_1019604.htm|access-date=2014-07-16|archive-date=2016-03-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304200442/http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj1/sxkj11/201101/t20110127_1019604.htm|dead-url=no}}</ref>
#逐項求導：可從<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n x^k=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}</math>推導出<math>\displaystyle \sum_{k=0}^n k^m x^k</math><ref>{{cite journal|author=吴炜超|year=2011|title=数列{n^m.k^n}的求和方法|journal=数学空间|issue=7|pages=第38-39页|url=http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj5/sxkj5nlts/201107/t20110728_1060497.htm}}</ref>
#[[阿貝爾變換]]：
:<math>\sum_{i=1}^n a_i b_i=a_1(b_1-b_2)+(a_1+a_2)(b_2-b_3)+\dots+(a_1+a_2+\dots+a_{n-1})(b_{n-1}-b_n)+(a_1+a_2+\dots+a_n)b_n</math>

==含多項式求和公式==
以下設p為多項式，<math>\deg p(k)=m,\Delta p(k)=p(k+1)-p(k)</math>
===<math>\sum p(k)</math>===
<math>\sum p(k)</math>是對一個多項式求和，自然數方冪和、[[等幂求和]]、等差數列求和都屬于對多項式求和。

*[[帕斯卡矩陣]]形式
*:<math>\sum_{k=1}^n p(k)=
\begin{pmatrix}C_n^1 & C_n^2 & \cdots & C_n^{m+1}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_0^0 & 0 & \cdots & 0\\
-C_1^0 & C_1^1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
(-1)^mC_m^0 & (-1)^{m-1}C_m^1 & \cdots & C_m^m\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}p(1)\\p(2)\\\vdots\\p(m+1)\end{pmatrix}
</math><ref name="#1">{{cite journal|author=黄嘉威|year=2016|title=方幂和及其推广和式|journal=数学学习与研究|issue=7|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXYG201607113.htm|access-date=2016-05-18|archive-date=2020-01-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20200115072155/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-SXYG201607113.htm|dead-url=no}}</ref>

*差分變換形式
*:<math>p(k)=\sum_{j=1}^{m+1} C_{k-1}^{j-1}\Delta^{j-1} p(1)</math>
*:<math>\sum_{k=1}^n p(k)=\sum_{j=1}^{m+1} C_{n}^{j}\Delta^{j-1}p(1)</math><ref>{{cite book|author=Károly Jordán|title=Calculus of Finite Differences}}</ref>

{{collapsible list 
| expand = true
| title = <math>\sum p(k)</math>的例子
|<math> \sum^{n}_{k=1} k^0 =\sum^{n}_{k=1} 1=n</math>
|[[三角形數]]：<math> \sum^{n}_{k=1} k = \frac{n(n+1)}{2}</math>
|[[等差級數]]：<math>\sum_{i=0}^{n-1} (a_1+id)=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}=a_1C_n^1+dC_n^2 </math>
|連續正整數平方和：<math> \sum^{n}_{k=1} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}</math>
|連續正整數立方和：<math> \sum^{n}_{k=1} k^3 =\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2</math>
|[[正方形數]]：<math> \sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = n^2 </math>
}}

===<math>\sum u_k v_k x^k</math>===
當<math>u_k=p(k)</math>為多項式，<math>\sum_{l=0}^\infty v_l x^l</math>易求高階導數時，<math>\sum_{k=0}^\infty u_k v_k x^k</math>有封閉型和式
:<math>\sum_{k=0}^\infty u_k v_k x^k=\sum_{k=0}^\infty \frac{\Delta^k u_0 x^k}{k!}\frac{d^k}{dx^k}(\sum_{l=0}^\infty v_l x^l)</math><ref>{{cite book|author=Murray Spiegel|title=Schaum's Outline of Calculus of Finite Differences and Difference Equations}}</ref>

====<math>\sum p(k)q^k</math>====
*<math>u_k=p(k),v_k=1,x=q,\sum u_k v_k x^k=\sum p(k)q^k</math>
*:有限和<math>\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}</math>有封閉型和式
*:當p為常數時，是對等比數列求和，當p為一次多項式時，是對差比數列求和。
*:<math>\displaystyle\sum_{k=1}^n p(k)q^{k-1}=f(n)q^n-f(0)</math>
*:<math>f(n)=\frac{p(n)}{q-1}+\frac{1}{(q-1)^2}\sum_{k=1}^m \frac{(-1)^kq^{k-1}}{(q-1)^{k-1}}\Delta^k(p(n))=\frac{1}{q-1}\sum_{k=0}^m (\frac{-q}{q-1})^k\Delta^k p(n+1)</math><ref name="#1"/>

{{collapsible list 
| expand = true
| title = <math>\sum p(k)q^k</math>的例子
|[[等比級數]]：<math>\sum_{i=0}^{n-1} a_1x^{i} = \frac{a_1(x^n-1)}{x-1} </math>，若<math>0<|x|<1</math>，則<math> \sum_{i=0}^{\infty} a_1x^{i} = \frac{a_1}{1-x} </math>
|[[差比數列|差比級數]]：<math>\displaystyle \sum_{k=1}^n [a+(k-1)d]r^{k-1}=\left[\frac{a+(n-1)d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}\right]r^n-\left[\frac{a-d}{r-1}-\frac{d}{(r-1)^2}\right]</math>
}}

====<math>\sum \frac{p(k)}{k!}x^k</math>====
*<math>u_k=p(k),v_k=\frac{1}{k!},\sum u_k v_k x^k=\sum \frac{p(k)}{k!}x^k</math>
*:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{p(n)}{n!}x^n=e^x\sum_{k=0}^m \frac{\Delta^k p(0)}{k!}x^k</math><ref>{{cite journal|author=刘治国|year=1994|title=一类指数型幂级数的求和|journal=抚州师专学报|issue=01|pages=第65-66页|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-FZSZ199401010.htm|access-date=2017-07-23|archive-date=2019-05-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20190508142946/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTOTAL-FZSZ199401010.htm|dead-url=no}}</ref>

===<math>\sum H_k p(k)</math>===
<math>\sum_{k=1}^n H_k p(k)=(\sum_{j=0}^m C_{n+1}^{j+1} \Delta^j p(0))H_n-\sum_{j=0}^m\frac{C_n^{j+1}}{j+1}\Delta^j p(0)</math>，其中<math>H_n</math>為[[調和數]]或[[調和級數]]

==組合數求和公式==
{{main|二項式係數}}
===一阶求和公式===
* <math> \sum_{r=0}^n \binom nr = 2^{n} </math>
* <math> \sum_{r=0}^{n-k} \frac {(-1)^r (n+1)}{k+r+1} \binom {n-k}r = \binom nk^{-1} </math>
* <math> \sum_{r=0}^n \binom {dn}{dr}=\frac{1}{d}\sum_{r=1}^d (1+e^{\frac{2 \pi r i}{d}})^{dn}</math><ref group="参">{{cite journal|author=赵丽棉 黄基廷|year=2010|title=n次单位根在代数问题中的应用|journal=高等数学研究|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-XUSJ201004014.htm|access-date=2018-06-24|archive-date=2019-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190502143427/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-XUSJ201004014.htm|dead-url=no}}</ref>

* <math> F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}</math><ref group="参">{{cite journal|author=徐更生 何廷模|year=1991|title=斐波那契数列与组合数的一个关系及推广|journal=中学教研|issue=10|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXJI199110005.htm|access-date=2018-06-24|archive-date=2019-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190502172414/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-ZXJI199110005.htm|dead-url=no}}</ref>
: <math> F_{n-1}+F_n=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-1-i}{i}+\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i-1}+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n-i}{i}=1+\sum_{i=1}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=\sum_{i=0}^{\infty} \binom {n+1-i}{i}=F_{n+1}</math>

{{main|朱世杰恒等式}}
* <math> \sum_{i=m}^n \binom ia = \binom {n+1}{a+1} - \binom {m}{a+1} </math>
: <math> \binom {m}{a+1} + \binom ma + \binom {m+1}a ... + \binom na = \binom {n+1}{a+1} </math>
: <math> \sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2} = \binom {k_1+n+1}{k_2+1} - \binom {k_1+m}{k_2+1} </math>
: <math> \sum_{i=m}^n \binom {k_1+i}{k_2+i} = \binom {k_1+n+1}{k_2+n} - \binom {k_1+m}{k_2+m-1} </math>

===二阶求和公式===
* <math> \sum_{r=0}^n {\binom nr}^2 = \binom {2n}n </math>
* <math>\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}=\binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1}</math><ref group="参">{{cite journal|author=伍启期|year=1996|title=组合数列求和|journal=佛山科学技术学院学报(自然科学版)|issue=4|url=http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX604.002.htm|access-date=2018-06-24|archive-date=2019-05-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20190502185942/http://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-FSDX604.002.htm|dead-url=no}}</ref>

:<math>(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(1-x)^{-r_1-r_2}</math>

:<math>(1-x)^{-r_1} (1-x)^{-r_2}=(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+n-1}{r_1-1} x^n)(\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_2+n-1}{r_2-1} x^n)=\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{i=0}^n \binom {r_1+n-1-i}{r_1-1} \binom {r_2+i-1}{r_2-1}) x^n </math>

:<math>(1-x)^{-r_1-r_2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom {r_1+r_2+n-1}{r_1+r_2-1} x^n</math>

{{main|范德蒙恒等式}}
* <math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\binom {n+m}k</math>

范德蒙恒等式與[[超幾何函數]]有關係：

:<math>\sum_{i=0}^k \binom ni \binom m{k-i}=\frac{m!}{k!(m-k)!}{}_2F_1(-n,-k;m-k+1;1)=\binom {n+m}k</math>

===三阶求和公式===
{{main|李善兰恒等式}}

*<math>{\binom {n+k}k}^2=\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}</math>

范德蒙恒等式與[[廣義超幾何函數]]有關係：

:<math>\sum_{j=0}^k {\binom kj}^2 \binom {n+2k-j}{2k}=\frac{(n+2k)!}{(2k)!n!}{}_3F_2 (-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}k}^2</math>

==定積分判斷總和界限==
當<math>f(x)</math>在[a,b][[單調遞增]]時：
:<math>f(a) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(b) + \int_a^b f(x) dx</math>
當<math>f(x)</math>在[a,b][[單調遞減]]時：
:<math>f(b) + \int_a^b f(x) dx \le \sum_{x=a}^{b} f(x) \le f(a) + \int_a^b f(x) dx</math><ref>{{cite journal|author=吴炜超|year=2011|title=数列不等式的定积分解法|journal=数学空间|issue=5|pages=第23-26页|url=http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj3/sxkj3ts/201105/t20110516_1041459.htm|access-date=2014-04-10|archive-date=2015-09-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20150924071226/http://www.pep.com.cn/rjwk/gzsxsxkj/2011/sxkj3/sxkj3ts/201105/t20110516_1041459.htm|dead-url=no}}</ref>

==求和函数==
以<math>\sum_{i=1}^n i^9</math>为例：

*[[Matlab]]
<syntaxhighlight lang="matlab">
syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
</syntaxhighlight>

*[[Mathematica]]
  <small>In[1]:=</small> Sum[i^9, {i, 1, n}]
  <small>Out[1]:=</small> <math>\frac{1}{20} n^2 (n+1)^2 \left(n^2+n-1\right) \left(2 n^4+4 n^3-n^2-3 n+1\right)</math>

==参考资料==
{{reflist|group=参}}
{{reflist}}
{{Wikibooks|代數/本書課文/求和|求和}}
[[Category:算术]]