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在[[交換代數]]中，可以根據[[整閉包]]的有限性將[[整環]]分成數類。以下均假設 <math>A</math> 為一整環。

* <math>A</math> 被稱作 '''N-1 環'''，若且唯若其在[[分式環|分式域]] <math>K</math> 中的[[整閉包]]是有限 <math>A</math>-模。
* <math>A</math> 被稱作 '''N-2 環'''（或'''日本環'''，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 <math>L/K</math>， <math>A</math> 在 <math>L</math> 中的整閉包是有限 <math>A</math>-模。
* <math>A</math> 被稱作'''泛日本環'''，若且唯若 <math>A</math> 上任何有限生成的整環都是日本環。
* 一個泛日本環 <math>A</math> 被稱作'''永田'''環（或'''擬幾何環'''），若且唯若 <math>A</math> 也是諾特環。

註：一個[[代數簇]]的局部環或其[[完備化]]稱作'''幾何環'''，但此概念並不流行。

凡[[優環|擬優環]]皆為永田環，所以代數幾何中處理的環幾乎都是永田環。是諾特整環而非永田環的例子首先由[[秋月康夫]]於1935年給出。

==文獻==
*Y. Akizuki, ''Einige Bemerkungenuber primare Integritatsbereiche mit Teilerkettensatz'', Proc Phys-Math Soc. Japan 17 (1935) 327-366.
*{{springer |id=G/g044300|title=geometric ring|author=V.I. Danilov}}
*A. Grothendieck,   J. Dieudonne,   [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1964__20__5_0 ''Eléments de géométrie algébrique''] {{Wayback|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1964__20__5_0 |date=20191130150921 }}  Publ. Math. IHES , 20, section 23 (1964)
*H. Matsumura, ''Commutative algebra'' ISBN 0-8053-7026-9, chapter 12.
*Nagata, Masayoshi ''Local rings.'' Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, 由 R. E. Krieger Pub. Co 重印 (1975) ISBN 0882752286

[[Category:代數幾何|Y]]
[[Category:交換代數|Y]]
[[Category:环论]]