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[[File:Hairy ball.png|thumb|抚平“毛球”的失败尝试：两极各有一个尖角]]
[[File:Hairy doughnut.png|thumb|抚平“毛甜甜圈”的例子]]
在[[代数拓扑]]中，'''毛球定理'''（英語：'''Hairy ball theorem'''）说明了偶数维单位[[球面]]上的[[连续]]而又处处不为零的[[切空间|切向量]][[向量場|場]]是不存在的。具体来说，如果 ''f'' 是定义在一个单位球面上的连续[[函数]]，并且对球面上的每一点 ''P'' ，其函数值是一个与球面在该点相切的[[向量]]，那么总存在球面上的一点，使得''f''在该点的值为零。直观上（[[三维空间]]中的球面），不存在零点的球面向量场可以想象为一个被“抚平”的“毛球”。而这个定理最著名的通俗陈述也正是“永远不可能抚平一个毛球”。这个定理首先在1912年被[[魯伊茲·布勞威爾]]证明。<ref>[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?IDDOC=28661 证明原文，德文]</ref>

实际上，根据[[庞加莱-霍普夫定理]]，三维空间中的[[向量场]]的零点处的指数和为2，即二维球面的[[欧拉示性数]]，因此零点必然存在。对于二维[[环面]]，其欧拉特征数为0，因此“长满毛的甜甜圈”是有可能被“抚平”的。推广来说，对于任意的[[正则]]的偶数维紧[[流形]]，若其欧拉示性数不为0，则其上的[[连续]]的[[切空间|切向量]][[向量場|場]]必然存在零点。

==零点的计数==

从一个更先进的观点来看：向量场的每个零点具有一个（非零的）"[[向量场#向量场的指标|指标]]"，并且可以证明，所有零点的指标之和必为2。这是因为2维球面的[[欧拉示性数]]为2，因此，必定存在至少一个零点。这是由[[庞加莱-霍普夫定理]]导出的推论。在[[圆环]]的情况下，欧拉示性数等于0，因此"抚平长满毛的甜甜圈"是可能的。推广而言，对于任意欧拉示性数非0的[[紧致]][[曲面的不正则数|正则]]2维[[流形]]，任何连续的切向量场都有至少一个零点。

== 定理的陈述 ==
我们考虑常规的[[欧几里得空间]]<math>\R^{n+1}</math>里的一个单位球：
<center> <math>S_{n} = \{ (x_0, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}, x_0^2 + \cdots + x_n^2 = 1 \}</math>.</center>

其上的[[拓扑空间|拓扑]]为欧几里得[[范数]][[诱导]]的拓扑。这是一个n维的连通的紧子流形。直觉上，对一个单位向量<math>v</math>，它在单位球上的对应点可以用过<math>v</math>并且与其[[正交]]的一个<math>\R^{n+1}</math>中的[[仿射]][[超平面]]来逼近。<math>S_n</math>上的一个连续的切向量场可以定义为连续映射：<math>X:\;S_n\rightarrow \R^{n+1}</math>，使得<math>X(v)</math>与<math>v</math>正交。

<blockquote>
定理：如果n为大于等于2的偶数，那么所有<math>S_n</math>上的连续的切向量场<math>X</math>必然有至少一个零点。
</blockquote>

对于奇数维的情形，存在连续（甚至[[解析函数|解析]]）切向量场，在处处皆不为零。

==毛球定理与气旋==
[[File:AtmosphCirc2.png|thumb|right]]
毛球定理在气象学上的一个有趣应用是对于气旋的研究。如果我们把大气的运动：[[风]]看为地球表面的一个向量，那么这个向量场连续，因为覆盖地球表面的[[大气层]]可以看作是连续分布的。作为理想化的模型，我们可以忽略空气的垂直运动，因为其相对于地球的[[半径]]是很小的，或者说我们只研究其水平分量（也是连续的）。

这样看来，一个完全没有风的点（空气静止）对应着向量场的一个零点。事实上，就物理上来说，空气是不可能在某一个区域处处绝对静止的，因为空气总在运动。但毛球定理说明零点存在，因此必然有空气静止的点，并且是孤立点。 

一个物理学上的解释是这些零点对应着[[气旋]]或[[反气旋]]的中心（[[风眼]]）。在这样的零点附近，风的分布成螺旋形，但永远不会从水平吹入中心或从其中吹出（只能上升或下降）。由毛球定理可以得出，地球表面永远存在气旋和风眼，在风眼处风平浪静，但四周都有风环绕。

==推论==

毛球定理的一个推论是，任何把一个偶数维球面[[自同态|映射到它自己]]的[[连续函数]]要么具有一个[[不动点]]，要么具有一个被映射到它自己的[[对跖点]]的点。这可以通过把函数按如下方式变换成切向量场看出。

令''s''为一个将球面映射到它自己的函数，我们可以如下构造切向量函数''v''。 对每个点 ''p''， 以''p''为切点构造''s''(''p'')的[[球极平面投影]]。令''v''(''p'')为这个投影点相对于''p''的位移向量。 根据毛球定理，存在''p''使得''v''(''p'') = '''0'''，从而有''s''(''p'') = ''p''。

以上论证仅在一种情况下不成立，即若存在''p''使得''s''(''p'')恰好为''p''的对跖点，因为该点是唯一一个无法被球极平面投影到''p''的切平面上的点。

==参考==
<references/>
*{{cite book |author= {{lang|en|J. W. Milnor}}|authorlink= |coauthors= |title=《{{lang|en|Topology from the differentiable viewpoint}}》|year=1997|publisher=Princeton University|location=|isbn=0691048339|language=en}}
*{{cite book |author= {{lang|fr|N. E. Chinn W. G. Steenrod}}|authorlink= |coauthors= |title=《{{lang|fr|Journal de l'ascension du Mont-Blanc}}》|year=1991|publisher=Dunod|location=法國|isbn=2040048480|language=fr|pages=}}
* {{en}} M. Eisenberg, R. Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem ''The American Mathematical Monthly'' Vol. 86, No. 7 (Aug. — Sep., 1979), pp. 571—574

==外部链接==
*[http://planetmath.org/encyclopedia/HairyBallTheorem.html planetmath上的证明] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/HairyBallTheorem.html |date=20080520113751 }}

[[category:代数拓扑]]
[[category:数学定理|M]]