查看“︁毕奥-萨伐尔定律”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Physics
|1 = zh-cn:费利克斯; zh-tw:菲利克斯;
|2 = zh-cn:让-巴蒂斯特; zh-tw:尚-巴蒂斯特;
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{{單撇號使用常規}}
[[File:Jbiot.jpg|thumb|200px|[[让-巴蒂斯特·毕奥]]]]
在[[靜磁學]]裏，'''必歐-沙伐定律'''（-{Biot-Savart Law}-）以方程式描述，[[電流]]在其周圍所產生的[[磁場]]。採用[[靜磁學|靜磁近似]]，當電流緩慢地隨時間而改變時（例如當[[載流導線]]緩慢地移動時），這定律成立，磁場與電流的大小、方向、距離有關<ref name=Jackson>{{cite book | author=Jackson, John David | title=Classical Electrodynamics | url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 | edition=3rd ed. | location=New York | publisher=Wiley | year=1999 | isbn=0-471-30932-X | pages =Chapter 5 | nopp=true}}</ref>。必歐-沙伐定律是以法國物理學者[[让-巴蒂斯特·毕奥]]與[[菲利克斯·沙伐]]命名。

必歐-沙伐定律表明，假設源位置為<math>\mathbf{r}'</math>的微小線元素<math>\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'</math>有[[電流]]<math>I</math>，則<math>\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' </math>作用於場位置<math>\mathbf{r}</math>的[[磁場]]為
:<math>\mathrm{d}\mathbf{B} =\frac{\mu_0 I }{4\pi} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math>；

其中，<math>\mathrm{d}\mathbf{B}</math>是微小磁場（這篇文章簡稱磁通量密度為磁場），<math>\mu_0</math>是[[磁常數]]。

已知[[電流密度]]<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}')</math>，則有：
:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\ \mathrm{d}^3{r}'</math>；

其中，<math>\mathrm{d}^3{r}'</math>為微小體積元素，<math>\mathbb{V}'</math>是積分的體積。

在[[流体力学]]中，以[[渦度]]對應電流、速度對應磁場強度，便可應用必歐-沙伐定律以計算[[渦線]]（{{lang|en|vortex line}}）導出的速度。

== 概念 ==
必歐-沙伐定律適用於計算一個穩定電流所產生的磁場。這電流是連續流過一條導線的電荷，電流量不隨時間而改變，電荷不會在任意位置累積或消失。採用[[國際單位制]]，用方程式表示，
:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0 I }{4\pi}  \int_{\mathbb{L}'} \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}' \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math>；

其中，<math>I </math>是源電流，<math>\mathbb{L}'</math>是積分路徑，<math>\mathrm{d}\boldsymbol{\ell}'</math>是源電流的微小線元素。

應用這方程式，必須先選出磁場的場位置。固定這場位置，積分於源電流的路徑，就可以計算出在場位置的磁場。請注意，這定律的應用，隱性地依賴著磁場的[[疊加原理]]成立；也就是說，每一個微小線段的電流所產生的磁場，其向量的疊加和給出總磁場。對於[[電場]]和磁場，疊加原理成立，因為它們是一組[[線性微分方程式]]的解答。更明確地說，它們是[[馬克士威方程組]]的解答。

當電流可以近似為流過無窮細狹導線，上述這方程式是正確的。但假若導線是寬厚的，則可用包含導線體積<math>\mathbb{V}'</math>的積分方程式：
:<math> \mathbf{B}(\mathbf{r}) =\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathbf{J}(\mathbf{r}') \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \mathrm{d}^3{r}'</math>；

其中，<math>\mathbf{J}</math>是[[電流密度]]，<math>\mathrm{d}^3 r'</math>是微小體積元素。

必歐-沙伐定律是靜磁學的基本定律，在靜磁學的地位，類同於[[庫侖定律]]之於[[靜電學]]。必歐-沙伐定律和[[安培定律]]的關係，則如庫侖定律之於[[高斯定律]]。

假若無法採用靜磁近似，例如當電流隨著時間變化太快，或當導線快速地移動時，就不能使用必歐-沙伐定律，必須改用[[傑斐緬柯方程式]]。

=== 等速運動的點電荷所產生的電場和磁場 ===
由於[[點電荷]]的運動不能形成電流，所以，必須使用[[推遲勢]]的方法來計算其電場和磁場。假設一個點電荷<math>q</math>以等速度<math>\mathbf{v}</math>移動，在時間<math>t</math>的位置為<math>\mathbf{w}=\mathbf{v}t</math>。那麼，麦克斯韦方程組給出此點電荷所產生的電場和磁場：
:<math> \mathbf{E} = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{1 - v^2/c^2}{(1 - v^2\sin^2\theta/c^2)^{3/2}}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3}</math>、
:<math> \mathbf{B} = \mathbf{v} \times \frac{1}{c^2} \mathbf{E} </math>；

其中，<math>\theta</math>是<math>\mathbf{v}</math>和<math>\mathbf{r} - \mathbf{w}</math>之間的夾角。

當<math>v^2 \ll c^2</math>時，電場和磁場可以近似為
:<math> \mathbf{E} =\frac{q}{4\pi\epsilon_0}\ \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3} </math>、
:<math> \mathbf{B} =\frac{\mu_0 q \mathbf{v}}{4\pi} \times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{w}}{|\mathbf{r} - \mathbf{w}|^3} </math>。

這方程式最先由[[奧利弗·黑維塞]]於1888年推導出來，稱為'''必歐-沙伐點電荷定律'''<ref name=Griffiths>{{cite book | author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall|pages= pp. 222-224, 435-440 |year=1998 |isbn=0-13-805326-X}}</ref>。

== 安培定律和高斯磁定律的導引 ==
這裏，我們要從必歐-沙伐定律推導出[[安培定律]]和[[高斯磁定律]]<ref name=Jackson/><ref name=Griffiths/>。若想查閱此證明，請點選「顯示」。

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足[[高斯磁定律]]：
|-
|首先，列出必歐-沙伐定律，
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math>。

應用一個[[向量恆等式]]，
:<math>\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} = - \nabla\left(\frac{1}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right)</math>，

將這恆等式帶入必歐-沙伐方程式。由於[[梯度]]只作用於無單撇號的坐標，可以將梯度移到積分外：
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \nabla\times\int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}</math>。

應用一個[[向量恆等式]]，
:<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0</math>。

所以，高斯磁定律成立：
:<math>\nabla\cdot\mathbf{B}=0</math>。
|}

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!證明必歐-沙伐定律所計算出來的磁場，永遠滿足[[安培定律]]：
|-
|首先，列出必歐-沙伐定律：
:<math>\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \mathbf{J}(\mathbf{r}')\times \frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}</math>。

任意兩個向量<math>\mathbf{A}_1</math>和<math>\mathbf{A}_2</math>的[[叉積]]，取其[[旋度]]，有以下[[向量恆等式]]，：
:<math>\nabla\times(\mathbf{A}_1\times\mathbf{A}_2) =(\mathbf{A}_2\cdot\nabla)\mathbf{A}_1 - (\mathbf{A}_1\cdot\nabla)\mathbf{A}_2 +\mathbf{A}_1(\nabla\cdot\mathbf{A}_2) 
- \mathbf{A}_2(\nabla\cdot\mathbf{A}_1)</math>，

取旋度於必歐-沙伐方程式的兩邊，稍加運算，可以得到
:<math>\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r})=\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\mathbf{J}(\mathbf{r}')\left[\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} -\mathbf{r}'|^3}\right]  \right\}</math>。

應用著名的[[狄拉克δ函數]]關係式
:<math>\nabla\cdot\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}= 4\pi \delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}')</math>，

可以得到
:<math>\begin{align}\nabla\times\mathbf{B}(\mathbf{r}) & =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{ - [\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla]\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}  \right\} \\
& =\mu_0\mathbf{J}(\mathbf{r})+\frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}'\left\{[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}  \right\} \\
\end{align}
</math><span style="vertical-align:bottom">。</span>

注意到x-分量，
:<math>[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\cdot\nabla']\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} =\nabla'\cdot\left[\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right] - \frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \nabla'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}')
</math>。

由於電流是穩定的，<math>\nabla^'\cdot\mathbf{J}(\mathbf{r}') =0</math>，所以，
:<math>\begin{align} (\nabla \times \mathbf{B}(\mathbf{r}))_x & = \mu_0 J_x(\mathbf{r}) +  \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{\mathbb{V}'} \mathrm{d}^3{r}' \nabla'\cdot\left(\mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}\right)   \\
& =\mu_0 J_x(\mathbf{r}) +  \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\mathbb{S}'} \mathrm{d}\mathbf{a}' \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}')\frac{x - x'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} \\
\end{align}
</math><span style="vertical-align:bottom">；</span>

其中，<math>\mathrm{d}\mathbf{a}' </math>是一個微小源面積元素，<math>\mathbb{S}' </math>是體積<math>\mathbb{V}'</math>外表的閉曲面。

這個公式右邊第二項目是一個閉曲面積分，只與體積内所包含的被積函數，或體積外表曲面的電流密度有關。而體積可大可小，我們可以增大這體積，一直增大到外表的閉曲面沒有任何淨電流流出或流入，也就是說，電流密度等於零。這樣，就可以得到安培定律。
:<math>\nabla\times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}</math>。
|}

== 參閱 ==
* [[狹義相對論]]
* [[向量分析]]
* [[散度定理]]
* [[安培律]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}
*{{cite book|last = 費曼|first = 理查|authorlink = 理查·費曼|last2 = 雷頓|first2 = 羅伯|last3 = 山德士|first3 = 馬修|title = 費曼物理學講義II（2）介電質、磁與感應定律|publisher =天下文化書|location =台灣|date = 2008|pages = pp. 142-144|isbn = 978-986-216-231-6}}

{{电磁学}}
{{Authority control}}
[[Category:物理定律|B]]
[[Category:静磁学|B]]
[[Category:電磁學|B]]