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{{无穷级数}}
'''比较审敛法'''（Direct comparison test）是一种判定[[级数]]是否收敛的方法。
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如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>绝对收敛，且其各项均大于另一个级数<math>|a_n|</math>的对应项，则<math>|a_n|</math>也绝对收敛。相反，如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math>发散，且其各项均小于<math>|a_n|</math>的对应项，则<math>|a_n|</math>也不绝对收敛。
--><!--难以理解-->

== 定理 ==
设两个级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>和<math>\sum_{n=1}^\infty v_n</math>，且<math>|u_n|\le v_n(n=1,2,3,...)</math>：

如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty v_n</math>收敛，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛；


设两个级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>和<math>\sum_{n=1}^\infty v_n</math>，且<math> v_n \le u_n(n=1,2,3,...)</math>：

如果级数<math>\sum_{n=1}^\infty v_n</math>发散，则级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>发散。

== 证明 ==

=== 证明1 ===
设<math>\sigma _k=\sum_{n=1}^\infty u_n,s_k=\sum_{n=1}^\infty v_n</math>当<math>u_n\le v_n</math>时，则有<math>\sigma _k \le s_k</math>：

当级数<math>\sum_{n=1}^\infty v_n</math>收敛时，数列<math>s _k</math>有界，从而数列<math>\sigma_k</math>有界，所以级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>收敛；

当级数<math>\sum_{n=1}^\infty u_n</math>发散时，数列<math>\sigma _k</math>无界，从而数列<math>s _k</math>无界，所以级数<math>\sum_{n=1}^\infty v_n</math>发散。

=== 证明2 ===
设有级数<math>\sum a_n</math>与<math>\sum b_n</math>，其中<math>\sum b_n</math>绝对收敛（<math>\sum |b_n|</math>收敛）。不失一般性地假设对于任何正整数n，都满足<math>|a_n|\le|b_n|</math>。考虑它们的部分和<math>S_n=|a_1|+|a_2|+\dots+|a_n|,
T_n=|b_1|+|b_2|+\dots+|b_n|. </math>由于<math>\sum b_n</math>绝对收敛，存在实数T，使得<math>\lim_{n \to \infty}T_n=T</math>成立。

对于任意n，都有<math>0 \le S_n = |a_1| + |a_2| + \ldots + |a_n| \le |a_1| + \ldots + |a_n| + |b_{n+1}| + \ldots = S_n + (T-T_n) \le  T.</math> (因满足<math>|a_n|\le|b_n|</math>)

由于<math>S_n</math>为单调不下降序列，<math>S_n+(T-T_n)</math>为单调不上升序列(隨著n上升，屬於<math>|a_n|</math>的便多過屬於<math>|b_n|</math>)，给定<math>m,n>N</math>，<math>S_n,S_m</math>都属于闭区间<math>[S_N, S_N + (T - T_N)]</math>，当N趋向无穷大时，这个区间的长度<math>T-T_n</math>趋向于0。这表明<math>(S_n)_{n=1,2,\ldots}</math>是一个[[柯西序列]]，因此收敛于一个极限值。因此<math>\sum a_n</math>绝对收敛。

==参见==
*[[审敛法]]
*[[比值审敛法]]
*[[根值审敛法]]
*[[交错级数审敛法]]
[[Category:级数]]
[[Category:审敛法]]

[[fr:Série convergente#Principe général : règles de comparaison]]