查看“︁比安基分类”︁的源代码

数学中，'''比安基分类'''（{{lang|en|Bianchi classification}}），以[[路易吉·比安基]]命名，将3维实[[李代数]]分为11类，其中9个是单独的组，另两类具有连续统同构类。（有两个组有时也包含在无穷族中，从而分为9类。）“比安基分类”也用于其它维数的类似分类。

==小于3维之分类==
*0维：惟一的李代数是[[阿贝尔李代数]] '''R'''<sup>0</sup>。
*1维：惟一的李代数是阿贝尔李代数 '''R'''<sup>1</sup>，其[[外自同构群]]是非零实数群。
*2维：有两个李代数： 
::(1) 阿贝尔李代数 '''R'''<sup>2</sup>，其外自同构群为 GL<sub>2</sub>('''R''')。
::(2) [[秩]]为零的 2×2 [[上三角矩阵]]组成的[[可解李代数]]，其单连通群有平凡的[[中心 (群论)|中心]]外自同构群的阶数为2。

==3维分类==

所有3维李代数除了 VIII 型与 IX 型可以构造为 '''R'''<sup>2</sup> 与 '''R''' 的[[半直积]]，其中 '''R''' 通过某个 2×2 矩阵作用在 '''R'''<sup>2</sup> 上。不同类型对应与矩阵 ''M'' 的不同类型，具体描述如下。

*'''I 型'''：这是阿贝尔幺模李代数 '''R'''<sup>3</sup>。其单连通群具有中心 '''R'''<sup>3</sup>，外自同构群 GL<sub>3</sub>('''R''')。这是 ''M'' 等于 0 的情形。
*'''II 型'''：幂零幺模：[[海森伯代数]]。单连通群有中心 '''R'''，外自同构群 GL<sub>2</sub>('''R''')。这是 ''M'' 幂零但不等于 0 的情形（所有本征值为零）。
*'''III 型'''：可解非幺模。这个代数是 '''R''' 与 2 维非阿贝尔李代数的直积。（它是 VI 型的极限情形，其中一个本征值变成零。）单连通群有中心 '''R'''，外自同构群为非零实数群。矩阵 ''M'' 的本征值一个为零另一个非零。
*'''IV 型'''：可解幺模。[''y'',''z''] = 0，[''x'',''y''] = ''y''，[''x'', ''z''] = ''y'' + ''z''。单连通群有平凡中心，外自同构群为实数与一个2阶群的乘积。矩阵 ''M'' 有两个相等非零本征值，但不是半单的。
*'''V 型'''：可解非幺模。[''y'',''z''] = 0，[''x'',''y''] = ''y''，[''x'', ''z''] = ''z''。（VI 型的一种极限情形，两个本征值相等。）单连通群有平凡中心，外自同构群为 GL<sub>2</sub>('''R''') 中行列式为 +1 或 −1 的元素。矩阵 ''M'' 有两个相等的本征值，且是半单的。
*'''VI 型'''：可解非幺模。一个无穷类。'''R'''<sup>2</sup> 被 '''R''' 的半直积，这里矩阵 ''M'' 的两个本征值为非零，和也非零的不相等实数。但连通群中心平凡，外自同构群为非零实数与一个二阶群的乘积。
*'''VI<sub>0</sub> 型'''：可解幺模。这个李代数是 '''R'''<sup>2</sup> 被 '''R''' 的半直积，这里 ''M'' 的本征值非零不等，和为零。它是二维[[闵可夫斯基空间]]等距群的李代数。单连通群有平凡中心，外自同构群是正实数与8阶[[二面体群]]的乘积。

*'''VII 型'''：可解非幺模。无穷类。'''R'''<sup>2</sup> 被 '''R''' 的半直积，这里矩阵 ''M'' 的本征值非实数非纯[[虚数]]。单连通群中心平凡，外自同构群为非零实数。
*'''VII<sub>0</sub> 型'''：可解幺模。'''R'''<sup>2</sup> 被 '''R''' 的半直积，这里矩阵 ''M'' 的本征值非零纯虚数。这是平面等距群的李代数。但连通群具有中心 '''Z'''，外自同构群是非零实数与一个2阶群的乘积。
*'''VIII 型'''：半单幺模。李代数 ''sl''<sub>2</sub>('''R''') 秩零 2×2 矩阵。单连通群有中心 '''Z'''，外自同构群阶数为2。
*'''IX 型'''：半单幺模。正交群 ''O''<sub>3</sub>('''R''') 的李代数。单连通群中心阶数为2，外自同构群平凡，这是一个[[自旋群]]。

3维复李代数的分类是类似的，除了 VIII 型与 IX 型变成同构的，以及 VI 型与 VII 型都成为单独一类李代数的一部分。

连通3维李群可做如下分类：它们是对应单连通李群由中心的一个离散子群的商群，故可以由上表得出。

这些群都与瑟斯顿[[几何化猜想]]的八几何有关。更确切地，八几何中的七种可以实现为单连通群上的一个左不变度量（有时不止一种方式）。瑟斯顿 ''S''<sup>2</sup>×'''R''' 型几何不能用这种方式实现。

==结构常数==
每个三维比安基空间有三个[[基灵向量]] <math>\xi^{(a)}_i</math>，服从如下性质：

:<math>\left( \frac{\partial \xi^{(c)}_i}{\partial x^k} - \frac{\partial \xi^{(c)}_k}{\partial x^i} \right) \xi^i_{(a)} \xi^k_{(b)} = C^c_{\ ab}</math>

这里 <math>C^c_{\ ab}</math> 是群的“结构常数”，形成一个[[常数|常]][[张量|秩3张量]]，在其两个下指标反对称。对任意三维比安基空间，<math>C^c_{\ ab}</math> 由关系

:<math>C^c_{\ ab} = \varepsilon_{abd}n^{cd} - \delta^c_a a_b + \delta^c_b a_a</math>

给出，这里 <math>\varepsilon_{abd}</math> 是[[列维-奇维塔符号]]，<math>\delta^c_a</math> 是[[克罗内克δ]]，向量 <math>a_a = (a,0,0)</math> 与[[对角矩阵|对角]]张量 <math>n^{cd}</math> 在下表中描述，其中 <math>n^{(i)}</math> 给出 <math>n^{cd}</math> 的第 ''i'' 个[[本征值]]<ref>{{cite |title=Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields |author=[[列夫·朗道]] and [[Evgeny Lifshitz]] |isbn=978-0750627689 |date=1980 |publisher=Butterworth-Heinemann}}</ref>；参数 ''a'' 跑遍所有正[[实数]]：

{| class="wikitable" align="center"
|-
! 比安基类型
! <math>a</math>
! <math>n^{(1)}</math>
! <math>n^{(2)}</math>
! <math>n^{(3)}</math>
! 注
|-
| I || 0 || 0 || 0 || 0 || 描述了[[欧几里得几何|欧几里得空间]]
|-
| II || 0 || 1 || 0 || 0 || 
|-
| III || 1 || 0 || 1 || -1 || 包含子情形 VI<sub>''a''</sub> 型，当 <math>a = 1</math>
|-
| IV || 1 || 0 || 0 || 1 ||
|-
| V || 1 || 0 || 0 || 0 || 超[[伪球面]]为特例
|-
| VI<sub>0</sub> || 0 || 1 || -1 || 0 ||
|-
| VI<sub>''a''</sub> || <math>a</math> || 0 || 1 || -1 || 当 <math>a = 1</math>，等价于 III 型
|-
| VII<sub>0</sub> || 0 || 1 || 1 || 0 || 欧几里得空间为特例
|-
| VII<sub>''a''</sub> || <math>a</math> || 0 || 1 || 1 || 超伪球面为特例
|-
| VIII || 0 || 1 || 1 || -1 ||
|-
| IX || 0 || 1 || 1 || 1 || [[超球面]]为特例
|}

== 宇宙学应用 ==
在[[宇宙学]]中，这个分类应用于 3+1 维[[齐性空间|齐性]][[时空]]。[[弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度量]]是各向同性的，它是 I 型 V 型 与 IX 型的一种特例。一个比安基 IX 型宇宙的特例包含[[卡斯纳度量]]与[[Taub-NUT_vacuum|陶布度量]]<ref>[[Robert  Wald]], ''General Relativity'', [[University of Chicago Press]] (1984). ISBN 0226870332, (chapt 7.2, pages 168 - 179)</ref>。

==比安基空间的曲率==

比安基空间的[[里奇张量]]可以[[可分离微分方程|分离]]为与空间相伴的[[基向量]]与一个与坐标无关的张量的乘积。

对一个给定的[[度量]] <math>ds^2 = \gamma_{ab} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k dx^i dx^k</math>（这里 <math>\xi^{(a)}_idx^i</math> 是[[1-形式]]），里奇张量 <math>R_{ik}</math> 为

:<math>R_{ik} = R_{(a)(b)} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k</math>

:<math>R_{(a)(b)} = \frac{1}{2} \left[ C^{cd}_{\ \ b} \left( C_{cda} + C_{dca} \right) + C^c_{\  cd} \left( C^{\ \ d}_{ab} + C^{\ \ d}_{ba} \right) - \frac{1}{2} C^{\ cd}_b C_{acd} \right]</math>

这里结构常数的指标被 <math>\gamma_{ab}</math> [[指标的上升和下降|上升和下降]]了，不是 <math>x^i</math> 的函数。

==相关条目==
*[[李群列表]]
*[[单李群列表]]

==参考文献==
{{reflist}}
*L. Bianchi, ''Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti.'' (On the spaces of three dimensions that admit a continuous group of movements.) Soc. Ital. Sci. Mem. di Mat. 11, 267 (1898) [http://ipsapp007.kluweronline.com/content/getfile/4728/60/13/abstract.htm English translation] {{Wayback|url=http://ipsapp007.kluweronline.com/content/getfile/4728/60/13/abstract.htm |date=20200218033450 }}
*Guido Fubini ''Sugli spazi a quattro dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti,'' (On the spaces of four dimensions that admit a continuous group of movements.) Ann. Mat. pura appli. (3) 9, 33-90 (1904); reprinted  in ''Opere Scelte,'' a cura dell'Unione matematica italiana e col contributo del Consiglio nazionale delle ricerche, Roma Edizioni Cremonese, 1957-62
*MacCallum, ''On the classification of the real four-dimensional Lie algebras'', in "On Einstein's path: essays in honor of Engelbert Schucking" edited by A. L. Harvey , Springer ISBN 0-387-98564-6
*Robert T. Jantzen, [http://www34.homepage.villanova.edu/robert.jantzen/bianchi/ Bianchi classification of 3-geometries: original papers in translation] {{Wayback|url=http://www34.homepage.villanova.edu/robert.jantzen/bianchi/ |date=20200203020443 }}

[[Category:李代數]]
[[Category:李群]]
[[Category:物理宇宙学]]