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在[[數學]]中，一個'''等比關係'''（proportion）或'''比例式'''，指的是兩個[[比例]]（proportionality 或 ratio）的相等關係，記為 <math>a:b=c:d</math> ；亦即，<math>\frac{a}{b}=\frac{c}{d}</math>。比例論（theory of proportion）是研究比例與等比關係的理論。
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== 歷史 ==
=== 畢達哥拉斯學派的比例論 ===
[[毕达哥拉斯|畢達哥拉斯學派]]發現了不可[[通約性|通約]]數（[[無理數]]）<math>\sqrt[]{2}</math>，這破壞了他們的比例論<ref>Morris Kline, ''Mathematical Thought from Ancient to Modern Times Vol 1'', page 68</ref>：
:如果兩個物體的比例是相同的，以數學式來表示，是一個等比關係 <math>a:b = c :d</math>。其中，<math>a, b, c, d</math> 是[[正整數]]。而且，存在一個正整數 <math>n</math> 使得 <math>a=nc</math> 與 <math>b=nd</math>。
無理數的存在，表示物體的比例可能無法以正整數來表示，這破壞了他們以正整數來描述自然規律的哲學。

=== 尤得塞斯的比例論 ===
為了挽救比例論，[[欧多克索斯|尤得塞斯]]提出了以幾何量為基礎的比例論，被[[歐幾里得]]收錄在《[[幾何原本]]》的第五冊中。其中的第五條定義是其比例論的核心：
: <math>a:b=c:d</math> 若且唯若底下三個等式關係成立：
: <math>ma < nb \implies mc < nd</math>
: <math>ma = nb \implies mc = nd</math>
: <math>ma > nb \implies mc > nd</math>
: 其中 <math>m, n</math> 為正整數（幾何量的整倍數）。
這個定義迴避了數系的規範，因此，即使 <math>a,b,c,d</math> 是無理數，等比關係也可以成立。

== 參考來源 ==
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== 參考 ==
* ''Thomas Bradwardine: A View of Time and a Vision of Eternity in Fourteenth Century Thought'', Edith Wilks Dolnikowski
* ''A History of Mathematics'', Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

== 参见 ==
* [[比例]]
* [[比]]

[[Category:數學定理]]