查看“︁歸納維數”︁的源代码

在數學的[[拓撲學]]中，'''歸納維數'''是對[[拓撲空間]]''X''定義的兩種維數，分別為'''小歸納維數'''ind(''X'')與'''大歸納維數'''Ind(''X'')。在''n''維歐幾里得空間'''R'''<sup>''n''</sup>中，一個球的[[邊界 (拓撲學)|邊界]]是有''n'' - 1維的球面。以這個觀察為基礎，利用一個空間中適合的[[開集]]的邊界維數，應當可以[[數學歸納法|歸納]]定義出空間的維數。

這兩種維數是只靠空間的拓撲來定義，無需用到空間的其他性質（比如[[度量]]）。拓撲空間的一般常用維數有三種，有大小歸納維數，以及[[拓撲維數|勒貝格覆蓋維數]]。通常說「拓撲維數」是指勒貝格覆蓋維數。對於「足夠好」的空間，這三種維數都相等。

==正式定義==
我們想定義一個點的維數是0，而點的邊界是空的，因此首先定義
:<math>\operatorname{ind}(\varnothing)=\operatorname{Ind}(\varnothing)=-1</math>
然後，歸納定義''X''的小歸納維數ind(''X'')為最小的整數''n''，使得對''X''中任何點''x''，及任何包含''x''的[[開集]]''U''，都存在一個包含''x''的開集''V''，使得''V''的[[閉包]]是''U''的子集，''V''的[[邊界 (拓撲學)|邊界]]的小歸納維數小於或等於''n'' - 1。

對於''X''的大歸納維數Ind(''X'')的定義，增加選取''V''的限制如下：Ind(''X'')為最小的整數''n''，使得對''X''中任何開集''U''，及''U''的任何[[閉集|閉]]子集''F''，都存在一個包含''F''的開集''V''，使得''V''的閉包是''U''的子集，''V''的邊界的大歸納維數''n'' - 1。

==各維數的關係==
設dim為勒貝格覆蓋維數。對任何拓撲空間''X''，有

:dim ''X'' = 0 若且唯若 Ind ''X'' = 0.

烏雷松定理指出，若''X''是[[正規空間]]，及有[[第二可數空間|可數基]]，則

:dim ''X'' = Ind ''X'' = ind ''X''.

這種空間正是[[可分空間|可分]]及[[可度量化]]空間。（參見[[烏雷松度量化定理]]。）

'''Nöbeling-Pontryagin定理'''指出有限維數的這種空間，其特徵為同胚於歐幾里得空間中的子空間，子空間用通常的拓撲。'''Menger-Nöbeling定理'''(1932)說若''X''是緊緻及度量可分，且有維數''n''，則可以[[嵌入 (數學)|嵌入]]到2''n'' + 1維歐幾里得空間成為子空間。（{{tsl|en|Georg Nöbeling}}是[[卡爾·門格爾 (數學家)|卡爾·門格爾]]的學生。他引入了'''Nöbeling空間'''，是'''R'''<sup>2''n'' + 1</sup>的一個子空間，由至少''n'' + 1個座標是無理數的點所組成，這個空間有與''n''維空間嵌入相關的一些泛性質。）

若只假設''X''是[[可度量化]]，則有（{{tsl|en|Miroslav Katětov}}）
: ind ''X'' ≤ Ind ''X'' = dim ''X''.
若只假設''X''是[[緊緻]][[豪斯多夫空間]]，則有（[[帕维尔·谢尔盖耶维奇·亚历山德罗夫|帕维尔·亚历山德罗夫]]）
: dim ''X'' ≤ ind ''X'' ≤ Ind ''X''.
以上的不等式都可能是嚴格的；Vladimir V. Filippov有個例子顯示兩種歸納維數可以不相等。

一個可分度量空間''X''的大歸納維數Ind ''X'' ≤ ''n''，若且唯若''X''中任何閉空間''A''及任何連續映射<math>f:A\to S^n</math>，都存在一個連續擴張<math>\bar f:X\to S^n</math>。

==參看==
*Crilly, Tony, 2005, "Paul Urysohn and Karl Menger: papers on dimension theory" in [[Ivor Grattan-Guinness|Grattan-Guinness, I.]], ed., ''Landmark Writings in Western Mathematics''. Elsevier: 844-55.
*R. Engelking, ''Theory of Dimensions. Finite and Infinite'', Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2.
*V. V. Fedorchuk, ''The Fundamentals of Dimension Theory'', appearing in ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I'', (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.
*V. V. Filippov, ''On the inductive dimension of the product of bicompacta'', Soviet. Math. Dokl., 13 (1972), N° 1, 250-254.
*A. R. Pears, ''Dimension theory of general spaces'', Cambridge University Press (1975).

{{维度}}

{{DEFAULTSORT:G歸納維數}}
[[分類:維度]]
[[Category:維度論]]