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'''歸一化常數'''（{{lang-en|Normalizing constant}}）的概念主要來自於數學上的[[機率論]]及其他分支。

==定義==

根據[[機率論]]中的描述及定義，一個'''歸一化常數'''是對於任何非負函數的任意區間所含有之常數使得該函數對於一特定區間之積分恰好等於1。通常加入該常數之目的為將該函數轉變為一[[機率密度函數]]或[[機率質量函數]]。<ref>''Continuous Distributions'' at University of Alabama.</ref><ref>Feller, 1968, p. 22.</ref>

==範例==

舉個例子，如果假定

:<math>p(x)=e^{-x^2/2}, x\in(-\infty,\infty) </math>

可以推得

:<math>\int_{-\infty}^\infty p(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi\,},</math>

如果我們假定函數 <math> \varphi(x) </math> 作為

:<math>\varphi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} p(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} e^{-x^2/2}  </math>

使得

:<math>\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} e^{-x^2/2}\,dx=1 </math>

函數 <math> \varphi(x) </math> 即是一機率密度函數，<ref>Feller, 1968, p. 174.</ref> 也是一個標準的[[常態分佈]]{{notetag|[[期望值]]等於0，[[變異數]]等於1}}

而常數 <math> \frac{1}{\sqrt{2\pi\,}} </math> 就是前面函數 <math>p(x)</math> 中所謂的'''歸一化常數'''。

第二個例子，對於已知

:<math>\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda^n}{n!}=e^\lambda ,</math>

而相對的

:<math>f(n)=\frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}</math>

則是一個對於所有非負整數之集合的[[機率質量函數]]。<ref>Feller, 1968, p. 156.</ref>這就是假定[[期望值]]為 &lambda;的[[泊松分佈]]之[[機率質量函數]]。{{notetag|如果一些[[機率密度函數]]擁有多個參數，它的歸一化常數求法也是相同的。其中非常著名的[[波茲曼分布]]函數中的參數化歸一化常數在[[統計力學]]中有非常重要的地位。在統計力學中，這個常數被稱為[[配分函數]]}}

==貝氏定理==
[[貝氏定理]]說明一個隨機事件的後驗機率'''正比於'''先驗機率與相似度的乘積。前言所述之「'''正比於'''」表示該定理或方程式亦須一'''歸一化常數'''以便進行機率運算。
以另一簡單離散的事件為範例：

:<math>P(H_0|D) = \frac{P(D|H_0)P(H_0)}{P(D)}</math>

其中 P(H<sub>0</sub>) 即是假設 H<sub>0</sub> 為真之機率；(D|H<sub>0</sub>)則是在數據樣本下假設為真時的[[條件機率]]，然而該數據樣本已知為原假設的[[似然函數]]。P(H<sub>0</sub>|D)是假設為真下的後驗機率。P(D)應是產生數據樣本的機率，但是其本身有計算上的困難，故我們常用另外一種描述來取代原本的方程式：

:<math>P(H_0|D) \propto P(D|H_0)P(H_0).</math>

因為P(H|D)是一個機率，它的所有假設為真機率總和應為1。此可推導出一個結論：

:<math>P(H_0|D) = \frac{P(D|H_0)P(H_0)}{\displaystyle\sum_i P(D|H_i)P(H_i)} .</math>

因此，

:<math>P(D)=\sum_i P(D|H_i)P(H_i) \;</math>

即是''歸一化常數''<ref>Feller, 1968, p. 124.</ref>。這可以被推導至非常多的假設領域並將原本不可計算之機率成另一種以 &Sigma表現之形式。

==注释==
{{notefoot}}
==参考资料==
{{reflist}}

==參考來源==
*[http://www.math.uah.edu/stat/dist/Continuous.xhtml Continuous Distributions] {{Wayback|url=http://www.math.uah.edu/stat/dist/Continuous.xhtml |date=20070614203348 }} at Department of Mathematical Sciences: University of Alabama in Huntsville
*{{cite book|last = Feller|first = William|authorlink = William Feller|title = An Introduction to Probability Theory and its Applications (volume I)|url = https://archive.org/details/introductiontopr0001fell|publisher = John Wiley & Sons|date = 1968|isbn = 0-471-25708-7}}

[[分類:概率论]]
[[分類:標準化]]
[[Category:常数]]