查看“︁正65537邊形”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{infobox regular polygon
|name = 65537邊形
|image = 65537-gon.svg
|edges = 65537
|S. symbol = {65537}
|C-D diagram = {{CDD|node_1|6|5|5|3x|7|node}}
}}
'''正65537邊形'''是正[[多邊形]]的一種。共有65537條[[邊 (幾何)|邊]]，65537個[[頂點 (幾何)|頂點]]，[[内角和]]為11796300°，[[對角線]]2147450879條。正65537邊形可以用[[尺規作圖]]的方法繪出，不過將會是一個浩大的工程。

== 性質 ==
=== 角度 ===
正65537邊形的形狀複雜，邊亦非常多，幾乎是一個[[圓形]]。正65537邊形的圓心角和外角的大小為：
:<math>\frac{360^\circ}{65537} \approx {0.005493^\circ} \approx 19.775''</math>

=== 面積 ===
半徑為1的圓內切正65537邊形的面積：
:<math>\frac{65537}{2} \sin \frac{2 \pi}{65537} \approx 3.141592648777</math>

其面積與[[圓周率]]極其接近。

=== 邊長 ===
若假设圆的半径是1，那麼正65537邊形每條邊的長度是：
:<math>2\sin \frac{\pi}{65537} \approx 0.00009587</math>

== 繪畫的可能性 ==
{{See also|尺规作图#正多邊形作法}}

=== 二次同餘論 ===
<math>65537=2^{2^4}+1</math>是第五個[[費馬數]]。[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]在1801年出版的『[[算術研究]]』中的「二次同餘論」，證明了如果<math>p</math>為[[費馬數]]，則正<math>p</math>邊形是可以[[尺规作图]]繪出。此外反過來亦證明如果[[質數]]<math>p</math>對應的正<math>p</math>邊形可以繪圖的話，<math>p</math>就是[[費馬數]]。在高斯得出此定理之前，已知的[[費馬質數]]只有[[3]]、[[5]]、[[17]]、[[257]]、[[65537]]。

== 繪圖方法 ==
雖然[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]證明了正65537邊形繪圖的可能性，不過沒有說明具體的方法。但大部份人都明白，如果利用原始繪圖方法繪圖，將會是一個浩大的工程。[[德國]]的[[約翰·古斯塔夫·愛馬仕]]利用了10年的時間不斷研究繪畫正65537邊形的方法，並在1894年發表了超過200頁手稿的計算方法<ref>{{cite journal | first=Johann Gustav |last=Hermes |title=Ueber die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile |language=de |journal=Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse | location=Göttingen | year=1894 |volume=3 |pages=pp. 170–186 |url=http://www.digizeitschriften.de/resolveppn/GDZPPN002496585}}</ref>。目前在[[哥廷根大學]]中保管<ref>{{Cite journal|author=淡中忠郎|authorlink=淡中忠郎|title={{Lang|ja|フェルマー数物語}}|journal={{Lang|ja|数学セミナーリーディングス　数の世界}}|issue={{Lang|ja|数学セミナー増刊号}}|pages=pp. 68-70|publisher=日本詳論社|date=1982年9月}}</ref>。

由於邊數巨大，使得人們無法用任何辦法將其完整地印刷或顯示出來並與圓形加以區分。如果要畫出正65537邊形及其外接圓，並使邊和圓周之間的最大距離為1cm的話，這個圓的半徑要超过8700公里。

[[File:Regular 65537-gon First Carlyle Circle.gif]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 外部連結 ==
* {{MathWorld |title = 65537-gon |urlname = 65537-gon}}

== 參見 ==
{{Portal box|数学}}
* [[65537]]
* [[費馬數]]
* [[尺规作图]]

{{-}}
{{多邊形}}
[[Category:卡尔·弗里德里希·高斯]]
[[Category:多邊形]]
[[Category:几何术语]]