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{{NoteTA|G1=Math}}

{{线性代数}}
在[[数学]]中，'''正规矩阵'''（{{lang-en|normal matrix}}）<math> \mathbf{A}</math>是与自己的[[共轭转置]]满足[[交换律]]的[[复数 (数学)|复系数]][[方块矩阵|方块]][[矩阵]]，也就是说，<math> \mathbf{A}</math>满足
:  <math>\mathbf{A}^* \mathbf{A} =  \mathbf{A} \mathbf{A}^*</math> 

其中<math>\mathbf{A}^*</math>是<math>\mathbf{A}</math>的[[共轭转置]]。

如果<math>\mathbf{A}</math>是实系数矩阵，则<math>\mathbf{A}^* = \mathbf{A}^T</math>，从而条件简化为<math>\mathbf{A}^T \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^T</math>其中<math>\mathbf{A}^T</math>是<math>\mathbf{A}</math>的[[转置矩阵]]。

任何一个正规矩阵，都是某个[[正规算子]]在一组[[标准正交基]]下的矩阵；反之，任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。

矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个[[酉矩阵|酉变换]]後变为[[对角矩阵]]，反过来所有可在经过一个[[酉矩阵|酉变换]]後变为[[对角矩阵]]的矩阵都是正规矩阵。

==特例==

在复系数矩阵中，所有的[[酉矩阵]]、[[埃尔米特矩阵]]和[[斜埃尔米特矩阵]]都是正规的。同理，在实系数矩阵中，所有的[[正交矩阵]]、[[对称矩阵]]和[[斜对称矩阵]]都是正规的。

但是正规矩阵'''并非'''只包括上述几类，例如下面的
:<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}</math>
是正规矩阵，因为：
:<math>AA^* = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} = A^*A</math>.
矩阵<math>\mathbf{A}</math>既不是[[酉矩阵]]，也不是[[埃尔米特矩阵]]或[[斜埃尔米特矩阵]]。

两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵。

如果<math>\mathbf{A}</math>同时既是[[三角矩阵]]又是正规矩阵，那么<math>\mathbf{A}</math>是[[对角矩阵]]，这点可以由比较<math>\mathbf{A}^* \mathbf{A}</math>和<math>  \mathbf{A} \mathbf{A}^*</math>的相应系数得到。

== 性质 ==
正规矩阵的概念十分重要，因为它们正是能使[[谱定理]]成立的对象：矩阵<math>\mathbf{A}</math>正规当且仅当它可以被写成<math> \mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^* </math>的形式。其中的<math> \mathbf{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots)</math>为对角矩阵，<math>\mathbf{U}</math>为[[酉矩阵]]：
:<math> \mathbf{U}^*\mathbf{U} = \mathbf{U} \mathbf{U}^* = \mathbf{I}</math>。

矩阵Λ对角线上的元素是''A''的[[特征值]]，而组成''U''的列向量则是''A''相应的[[特征向量]]。

[[谱定理]]的一种陈述，是说正规矩阵正好是能在<math>\mathbb{C}^n</math>的某个[[正交基]]下变成对角矩阵的那些矩阵（这里将矩阵同于<math>\mathbb{C}^n</math>上的[[线性变换]]，并使用常用的内积）。另外一种说法为：矩阵是正规的当且仅当其特征向量能张成整个<math>\mathbb{C}^n</math>，并且两两[[正交]]。
 
一般来说，两个正规矩阵''A''和''B''的乘积不是正规矩阵，但是，如果''A''和''B''两者可以交换，那么它们的乘积与和就仍然是正规的。这是因为它们可以“同时”（通过同一个[[相似矩阵|相似变换矩阵]]）被对角化：
: <math>\mathbf{A} =  \mathbf{U}^* \operatorname{diag}(a_1, a_2, \dots) \mathbf{U} </math>
: <math>\mathbf{B} \ =  \mathbf{U}^* \operatorname{diag}(b_1, b_2, \dots) \mathbf{U} </math>
于是，<math>\mathbf{AB} =  \mathbf{U}^* \operatorname{diag}(a_1 b_1, a_2 b_2, \dots) \mathbf{U} </math>、<math>\mathbf{A + B} =  \mathbf{U}^* \operatorname{diag}(a_1 + b_1, a_2 + b_2, \dots) \mathbf{U} </math>都是正规矩阵。

任何[[方块矩阵|方阵]]''A''都可以通过[[极分解]]写成''A'' = ''UP''。其中''U''是[[酉矩阵]]、''P''是某个[[正定矩阵|半正定矩阵]]。如果''A''可逆，那么''U''和''P''都是唯一的。而如果''A''是正规矩阵，那么''UP'' = ''PU''（其[[逆命题]]只在有限维的情况下成立）。

==推广==

正规矩阵的概念可以被推广为无穷维[[希尔伯特空间]]中的[[正规算子]]和[[C*-代数]]中的正规元素。

==类比==
不同种类的正规矩阵可以与各种复数建立对应的类比关系。比如：
* [[可逆矩阵]]类似于非零的[[复数 (数学)|复数]]。
* 矩阵的[[共轭转置]]类似于[[共轭复数|复数的共轭]]
* [[酉矩阵]]类似于[[模]]等于1的[[复数 (数学)|复数]]。
* [[埃尔米特矩阵]]类似于[[实数]]。
* 埃尔米特矩阵中的[[正定矩阵]]类似于正实数。
* [[斜埃尔米特矩阵]]类似于[[虚数|纯虚数]]。

==参见==
* [[相似矩阵]]
* [[0-1矩阵]]
* [[基 (代数)|基]]
* [[若尔当标准型]]

==参考资料==
{{Reflist}}

* {{cite book |author=史荣昌 |title=矩阵分析 |publisher=北京理工大学出版社 |chapter=3 |ISBN=7-810-45075-1 |language=zh-cn |year=}}
* {{cite book |author=苏育才 |title=矩阵理论 |publisher=科技出版社 |chapter=6 |ISBN=7-030-16355-9 |language=zh-cn |year=}}
* {{cite book |author=刘丁酉 |title=矩阵分析 |publisher=武汉大学出版社 |chapter=4 |pages=93-95 |ISBN=7-307-03821-8 |language=zh-cn |year=}}
* {{cite web |url= http://irrotationnels.epfl.ch/documentation/pdf/AlgLin_SJ/AlgebreLineaireChapitre12.pdf |format=pdf |author= |title=Chapitre 12: Espaces Euclidiens et Espaces Hermitiens |trans_title=第12章：欧几里德空间与埃尔米特空间 |language=fr |deadurl=yes |archiveurl= https://web.archive.org/web/20100601171658/http://irrotationnels.epfl.ch/documentation/pdf/AlgLin_SJ/AlgebreLineaireChapitre12.pdf |archivedate=2010-06-01 }}

== 外部链接 ==
* {{cite web |author1=刘树宽 |author2=姚金江 |author3=罗峰 |url= http://211.64.240.15/web/gdds/10/02/34.pdf |format=pdf |title=实正规矩阵正定的判定条件 |publisher=济宁师范专科学校; 临沂师范学院 |language=zh-cn |year=2003}} {{dead link|date=2018年1月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{cite web |author=吕烔兴 |url=http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GDSX200001/gdsx200001012.caj.pdf |format=pdf |title=正规矩阵的任意扰动] |publisher=南京航空航天大学理学院 |language=zh-cn |year=2000 |access-date=2018-10-29 |archive-date=2016-03-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304101806/http://166.111.121.20:9080/mathjournal/GDSX200001/gdsx200001012.caj.pdf |dead-url=unfit }}
* {{Youtube |0sCLv2EQPg8 |MIT OpenCourseWare 18.06线性代数中包含正规矩阵内容的一讲}}

{{DEFAULTSORT:normal matrix}}
[[Category:矩阵]]