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[[数学]]上，粗略来说，'''正规数'''（'''''Normal Number'''''）指，数字显示出随机分布，且每个数字出现机会均等的[[实数]]。「数字」指的是小数点前有限个数字（整数部份），以及小数点后无穷数字序列（分数部份）。

设''b''是大于1的[[整数]]，''x''是[[实数]]。考虑以''b''为底的[[位值记数法]]中''x''的数字[[序列]]。若''s''是以''b''为底的有限数字序列，我们以''N''(''s'',''n'')表示字串''s''在''x''的开首''n''个数字出现次数。数''x''称为'''以''b''为底正规'''，若对任意长度''k''的字串''s''

:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}</math>。

（即是说在''x''的数字中找到字串''s''的[[概率]]，就像在完全[[随机序列|随机]]生成的数字序列中的一样）。''x''称为'''正规数'''（有时称为'''绝对正规数'''），如果以任何''b''为底''x''都是正规。

这个概念是由[[埃米尔·博雷尔]]在1909年创造。用[[波莱尔－坎泰利引理]]，他证明了'''正规数定理'''：几乎所有实数是正规的，意思是非正规数集合的[[勒贝格测度]]为0。这定理证明存在正规数，但首先给出一个例子的是[[瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基]]（Wacław Sierpiński）。

非正规数集合是[[不可数]]的，这个结果容易得出，想法是从每个实数中完全除去一个数字。

'''[[钱珀瑙恩数]]'''（Champernowne）
: 0.1234567891011121314151617...
是从连结所有自然数的数字而得出的数，它以10为底正规，但可能在某些底不是正规。

'''[[克柏蘭-爾杜斯常數]]'''（Copeland-Erdős）
: 0.235711131719232931374143...
从连结所有质数的数字而得出的数，也是以10为底正规。

无论在任何底下均没有为正规数的[[有理数]]，因为它们的数字序列最终会循环出现。瓦茨瓦夫·谢尔品斯基在1917年给出第一个明确构造的一个正规数。韋羅妮卡·比彻（Verónica Becher）和桑蒂亞戈·菲盖拉(Santiago Figueira)构造一个[[可计算数|可计算]]正规数；[[柴廷常數]]<math>\Omega</math>给出一个不可计算的正规数例子。

要证明一个不是明确构造为正规数的数的正规性非常困难。例如2的平方根<math>\sqrt 2</math>、[[圆周率]]<math>\pi</math>（2000年時數學家证明了π的2進數-正规性可以由一个有关[[混沌理论]]的合理但尚未证明的猜想导出<ref>{{cite mathworld|urlname=NormalNumber|title=Normal Number|date=2005-12-22|accessdate=2007-11-10|archive-date=2021-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20210402015901/https://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html|dead-url=no}}</ref> <ref>{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|publisher=Lawrence Berkeley National Laboratory|date=2001-07-23|accessdate=2007-11-10|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=no}}</ref>）、2的自然对数<math>\ln 2</math>和[[e (数学常数)|''e'']]是否正规仍不知道。（但基于实验证据，猜想它们很可能是正规数。）证明仍遥不可及：就连哪些数字在这些常数的10进表示法无穷次出现仍不知道。大卫·贝利（David H. Bailey）和理查德·克兰德尔（Richard E. Crandall）在2001年猜想每个[[无理数|无理]][[代数数]]是正规的，雖没有找到反例，卻還没有一个这样的数被证明在每个底都是正规的。

== 参考 ==
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* Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. [https://web.archive.org/web/20081123021207/http://www.nersc.gov/~dhbailey/dhbpapers/baicran.pdf online version]
* Becher, V. and Figueira, S. "An example of a computable absolutely normal number", Theoretical Computer Science, 270, pp. 947-958, 2002.
* Borel, E. "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques." Rend. Circ. Mat. Palermo 27, 247-271, 1909. 
* Champernowne, D. G. "The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten." Journal of the London Mathematical Society 8, 254-260, 1933. 
* Sierpiński, W. "Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre." Bull. Soc. Math. France 45, 125-144, 1917.

{{實數}}
[[Category:数论]]
[[Category:实数]]