查看“︁正规扩张”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
}}
'''正规扩张'''是[[抽象代数]]中的概念，属于[[域扩张]]中的一类。一个有限扩张{{mvar|L/K}}是'''正规扩张'''当且仅当扩域{{mvar|L}}是[[多项式环]]{{math|''K''[''X'']}}中的某个[[多项式]]的[[分裂域]]。[[布尔巴基学派]]将这类扩张称为“'''准伽罗瓦扩张'''”。正规扩张是[[代数扩张]]的一种。

== 定义 ==
正规扩张的定义不止一种，以下三个准则都可以刻画正规扩张，是三个等价的定义。域扩张{{mvar|L/K}}是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个：

# {{mvar|L}}是[[多项式环]]{{math|''K''[''X'']}}中的某一族[[多项式]]的[[分裂域]]。
# 设{{math|''K''<sup>alg</sup>}}是一个包含了{{mvar|L}}的{{mvar|K}}的[[代数闭包]]。对于''L''在{{math|''K''<sup>alg</sup>}}上的每一个[[嵌入 (数学)|嵌入]]{{mvar|σ}}，只要它限制在{{mvar|K}}上的部分是平凡的（即为恒等映射：{{mvar|σ}}({{mvar|x}}){{math| {{=}} ''x''}}），那么就有{{mvar|σ}}{{math|(''L'') {{=}} ''L''}}。换句话说，{{mvar|L}}在{{math|''K''<sup>alg</sup>}}上的每一个{{mvar|K-}}嵌入{{mvar|σ}}都是一个{{mvar|L}}上的{{mvar|K-}}[[自同构]]。
# 任意一个{{math|''K''[''X'']}}上的[[不可约多项式]]，只要它在{{mvar|L}}中有一个根，那么就可以在{{math|''L''[''X'']}}分解成一次因式的乘积（或者说全部的根都在{{mvar|L}}中）。

==例子==
<math>\mathbb{Q}(\sqrt{2})</math>是<math>\mathbb{Q}</math>的一个正规扩张，因为它是<math>\mathbb{Q}</math>上的多项式<math>x^2 - 2</math>的分裂域。然而，<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>并不是<math>\mathbb{Q}</math>的一个正规扩张，因为<math>\mathbb{Q}</math>上的不可约多项式<math>x^3 - 2</math>有一个根：<math>\sqrt[3]{2}</math>在<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>里面，但它的另外两个根：<math>\sqrt[3]{2} \left(\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \right)</math>和<math>\sqrt[3]{2} \left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)</math>都是[[复数 (数学)|複數]]，不在<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>里面。只有在加入了三次单位根：<math>\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} </math>后的扩域<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega)</math>才是一个正规扩张。

也可以用正规扩张的第二个定义来证明<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>不是<math>\mathbb{Q}</math>的正规扩张。设域<math>\mathbb{A}</math>是由所有复[[代数数]]生成的扩域，则<math>\mathbb{A}</math>是<math>\mathbb{Q}</math>的一个代数闭包，并且<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>在<math>\mathbb{A}</math>里面。另一方面，
:<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in\mathbb{A}\,|\,a,b,c\in\mathbb{Q}\}</math>
并且，如果记<math>\zeta =\sqrt[3]{2} \left( \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2} \right)</math>是<math>x^3 - 2</math>的复根之一，那么[[映射]]：
:<math>\begin{array}{lccc}\sigma: & \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) &\longrightarrow &\mathbb{A}\\ & a+ b\sqrt[3]{2}+c \sqrt[3]{4}  & \mapsto & a + b\zeta + c\zeta^2 \end{array}</math>
是<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>在<math>\mathbb{A}</math>上的一个嵌入，并且它限制在<math>\mathbb{Q}</math>上的部分是平凡的（将<math>\mathbb{Q}</math>中元素映射到自己）。但是{{mvar|σ}}并不是<math>\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})</math>上的自同构。

更一般地，对每一个素数{{mvar|p}}，域扩张<math>\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)</math>都是<math>\mathbb{Q}</math>的一个正规扩张，扩张的次数是{{mvar|p}}({{math|''p'' - }}1)。<math>\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)</math>是<math>\mathbb{Q}</math>上的多项式<math>x^p - 2</math>的分裂域。其中的<math>\zeta_p</math>是任意一个复数{{mvar|p}}次[[单位根]]。

== 性质 ==

设有域扩张{{mvar|L/K}}，那么：

* 如果{{mvar|L}}是{{mvar|K}}的正规扩张，并且{{mvar|F}}是一个子扩张（也就是说有扩张{{mvar|K}}⊂{{mvar|F}}⊂{{mvar|L}}）那么{{mvar|L}}也是{{mvar|F}}的正规扩张。
* 如果{{mvar|L}}的子域{{mvar|E}}和{{mvar|F}}都是{{mvar|K}}的正规扩张，那么两者的复合扩张{{mvar|EF}}（指{{mvar|L}}的子域中同时包含{{mvar|E}}和{{mvar|F}}的最小者）以及两者的交{{mvar|E}}∩{{mvar|F}}也都是{{mvar|K}}的正规扩张。

== 正规闭包 ==
设有域扩张{{mvar|L/K}}，那么总存在域扩张{{mvar|M/L}}，使得{{mvar|M/K}}是正规扩张。在同构意义上，“最小”的这样的扩张是唯一。即是说，其他的域扩张{{mvar|N/L}}如果使得{{mvar|N/K}}是正规扩张，那么总存在{{mvar|N/L}}的子扩张{{mvar|M'/L}}，使得{{mvar|M'}}同构于{{mvar|M}}。这个唯一的“最小”正规扩张{{mvar|M/L}}称为域扩张{{mvar|L/K}}的'''正规闭包'''。

如果{{mvar|L/K}}是[[有限扩张]]，那么它的正规闭包{{mvar|M/L}}也是有限扩张（因此{{mvar|M/K}}也是有限扩张）。

== 参见 ==

* [[伽罗瓦扩张]]

== 参考来源 ==

* {{cite book |author = Lang, Serge |title= Algebra, Graduate Texts in Mathematics |publisher = New York: Springer-Verlag |year = 2002 |isbn= 978-0-387-95385-4}}
* {{citation | last = Jacobson | first = Nathan | author-link = Nathan Jacobson | title = Basic Algebra II| edition = 2nd | date = 1989 | publisher = W. H. Freeman | isbn = 0-716-71933-9}}

{{ModernAlgebra}}

[[Category:域论]]
[[Category:抽象代数]]