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{{NoteTA|G1=物理學}}{{cleanup-jargon|time=2015-07-04T03:03:22+00:00}}
在[[量子场论]]中，一组[[創生及湮滅算符]]的乘积称為是按'''正规序'''排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积<ref>{{cite book|title=凝聚态量子理论|author=尹道乐，尹澜|isbn=9787301161609|chapter=2}}</ref>。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

== 记号 ==
令<math>\hat{O}</math>為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將<math>\hat{O}</math>按照正规序重新排列之后得到的算符用<math>\mathcal{N}(\hat{O})</math> 或 <math>\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}</math>表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

== 玻色子 ==
[[玻色子]]符合[[玻色–爱因斯坦统计]]。

=== 单个玻色子 ===
单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：
* <math>\hat{b}^\dagger</math>：玻色子的产生算符
* <math>\hat{b}</math>：玻色子的湮灭算符
则有：
:<math>\left[\hat{b}^\dagger, \hat{b}^\dagger \right]_- = 0</math>
:<math>\left[\hat{b}, \hat{b} \right]_- = 0</math>
:<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math>
其中 <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> 表示两个算符的[[交換子|对易子]]。

==== 例子 ====
1. 最简单的例子是 <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math> 的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以<math> \hat{b}^\dagger \hat{b} </math>的正规序就是它自身：
:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. </math>

2. 第二个例子是 <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math> 的正规序，
:<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. </math>

这里，按照正规序的要求，产生算符 <math>\hat{b}^\dagger</math> 放到了湮灭算符 <math>\hat{b}</math>的左边。由玻色子算符的对易关系有：
:<math> \hat{b} \, \hat{b}^\dagger -  {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = 1.</math>

在[[维克定理]]中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：
:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.</math>

=== 多个玻色子 ===
对于 <math>N</math> 个不同的玻色子来说，有 <math>2 N</math> 个算符：
* <math>\hat{b}_i^\dagger</math>：第 <math>i</math> 个玻色子的产生算符
* <math>\hat{b}_i</math>：第 <math>i</math> 个玻色子的湮灭算符
其中 <math>i = 1,\ldots,N</math>.

它们满足下列对易关系：
:<math>\left[\hat{b}_i^\dagger, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = 0 </math>
:<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j \right]_- = 0 </math>
:<math>\left[\hat{b}_i, \hat{b}_j^\dagger \right]_- = \delta_{ij} </math>

其中 <math>i,j = 1,\ldots,N</math>，<math>\delta_{ij}</math> 是[[克罗内克函数]]。

==== 例子 ====
1.对于两个玻色子 (<math>N=2</math>) ，有：
:<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math>
:<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger  : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 </math>

2. 对三个玻色子 (<math>N=3</math>) ，有：
:<math> : \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \,\hat{b}_3</math>

由于 <math>\hat{b}_2 \,\hat{b}_3 = \hat{b}_3 \,\hat{b}_2</math> （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

== 费米子 ==
[[费米子]]服从[[费米-狄拉克统计]]。

=== 单个费米子 ===
单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：
* <math>\hat{f}^\dagger</math>：费米子的产生算符
* <math>\hat{f}</math>：费米子的湮灭算符
它们满足下面的反对易关系：
:<math>\left[\hat{f}^\dagger, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 0</math>
:<math>\left[\hat{f}, \hat{f} \right]_+ = 0</math>
:<math>\left[\hat{f}, \hat{f}^\dagger \right]_+ = 1</math>

其中 <math>\left[A, B \right]_+ \equiv AB + BA</math> 是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

==== 例子 ====
1. 最简单的例子是：
:<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math>
由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：
:<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math>
由费米子算符的反对易关系有：
:<math> \hat{f} \, \hat{f}^\dagger -  : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : = 1.</math>
与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：
:<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger  : \,= \hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math>

=== 多个费米子 ===
<math>N</math> 个费米子有 <math>2 N</math> 个产生湮灭算符，设：
* <math>\hat{f}_i^\dagger</math>为第 <math>i</math> 个费米子的产生算符
* <math>\hat{f}_i</math>为第 <math>i</math>个费米子的湮灭算符
其中 <math>i = 1,\ldots,N</math>.

它们满足下列反对易关系：
:<math>\left[\hat{f}_i^\dagger, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = 0 </math>
:<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j \right]_+ = 0 </math>
:<math>\left[\hat{f}_i, \hat{f}_j^\dagger \right]_+ = \delta_{ij} </math>

其中 <math>i,j = 1,\ldots,N</math>， <math>\delta_{ij}</math> 是[[克罗内克函数]]。

==== 例子 ====
1. 对两个费米子 (<math>N=2</math>) ，有：
:<math> : \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math>
由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math>
由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2  : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2  </math>
与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 (<math>N=3</math>) ，有：
:<math> : \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2 \, \hat{f}_3 : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \,\hat{f}_3 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \,\hat{f}_2</math>

类似地有：
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3  : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2</math>
:<math> : \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger  : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 </math>

== 量子场论中的应用 ==
任意算符的正规序的[[真空期望值]]为零。这是因为对于[[真空态]]来说，<math>\langle 0 | \hat{a}^\dagger</math>以及<math> \hat{a} |0\rangle</math>都是0。

这里 <math>\hat{a}^\dagger</math> 和 <math>\hat{a}</math> 分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与[[维克定理]]结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
* F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
* S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
* T.S. Evans, D.A. Steer, [[arxiv:hep-ph/9601268|Wick's theorem at finite temperature]], Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) [[arxiv:hep-ph/9601268|arXiv:hep-ph/9601268]]

[[Category:量子场论]]