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在抽象代数中，'''正规子群'''或'''不变子群'''指一类特殊的子群。由正规子群，可以引导出[[商群]]的概念。[[埃瓦里斯特·伽罗瓦]]是最早认识到正规子群的重要性的人。

沒有非平凡正規子群的群叫做[[單群]]；所有的子群都是正規子群的群叫做[[戴德金群]]，非交換的戴德金群又稱漢彌爾頓群。

== 定义 ==

如果[[群]]''G''的[[子群]]''N''在[[内自同构|共轭变换]]下不變，''N''即是一個'''正規子群'''；就是說對於每個''N''中元素''n''和每個''G''中的元素''g''，元素''gng''<sup>−1</sup>仍在''N''中。我們寫為 

:<math>N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G}\ , gng^{-1}\in{N}</math>

下列條件[[邏輯等價|等價]]於子群''N''在''G''中是正規子群。其中任何一個都可以用作定義：

# ''N'' 在 ''G'' 的元素誘導的[[内自同构|共轭变换]]下不變，即對於''G''中的所有''g''，''gNg''<sup>−1</sup>  =''N''。
# ''N'' 在 ''G'' 的元素誘導的[[内自同构|共轭变换]]下的象集为自己的子集，即對於''G''中的所有''g''，''gNg''<sup>−1</sup> ⊆ ''N''。
# ''N''在''G''中的左[[陪集]]的集合和右陪集的集合是一致的。
# 對於''G''中的所有''g''，''gN'' = ''Ng''。
# ''N''是''G''的若干[[共軛類]]的[[并集]]。
# ''G'' 中的任何两个元素，在相乘后是正规子群成员的关系下是可交换的，即 <math>\forall g, h\in G, gh \in N \iff hg \in N</math>。
# 存在以''N''為[[核 (代數)|核]]的''G''的[[群同態]]：<math>\exists \phi \in \mathrm{Hom}(G): \mathrm{ker} \phi = N</math>。

注意條件（1）邏輯上弱於條件（2），條件（3）邏輯上弱於條件（4）。為此，條件（1）和條件（3）經常用來證明''N''在''G''中是正規子群，而條件（2）和（4）用來證明''N''在''G''中是正規子群的推論；而這些條件，尤其條件（7），可用於證明一個群不是[[單群]]。

== 陪集和正規子群 ==

给定一个群G，以及G的一个子群H，G的一个元素a，集合：
:<math>aH = \left\{ ax | x \in H \right\}</math>称作H关于a的左[[陪集]]。a叫做aH的代表元。

类似地，可以定义H关于a的右陪集：
:<math>Ha = \left\{ xa | x \in H \right\}</math>。

可以证明：对于G中的两个元素a、b，<math>(a^{-1}b \in H) \Longleftrightarrow (aH \cap bH \ne \varnothing) \Longleftrightarrow (aH = bH)</math>。因此aH和bH只有两种关系：相等，或交集为空，即<math>aH = bH </math>或者<math>aH \cap bH = \varnothing</math>。

于是群G可以被分解成：
:<math>G = \bigcup_{a \in G} aH</math>

这个分解称作群G的左陪集分解。类似地有群G的右陪集分解：
:<math>G = \bigcup_{a \in G} Ha</math>

进一步地，可以证明由<math>a \sim b \Longleftrightarrow  a^{-1}b \in H</math>所定义的关系是一个[[等价关系]]，集合中的每个等价关系都可确定一个[[等价类]]，因此每个<math>aH</math>是一个等价类。每个<math>aH</math>中含有的元素个数是相等的。

此外，群G的左陪集分解与群G的右陪集分解间存在[[同构]]：
:<math>\tau : aH \mapsto Ha^{-1}</math>

因此H的左陪集个数和右陪集个数是相等的，叫做H对G的'''指数'''。

对于一般的H，集合<math>\left\{ aH | a \in G \right\} </math>关于[[群子集的乘積|子集的积]]并不是一个群。对于G中的元素a、b，子集的积<math>aH \times bH = abH</math>，但对于<math>a^\prime \in aH, b^\prime \in bH</math>，不一定有<math>a^\prime H \times b^\prime H = abH</math>。群G的正规子群或不变子群H使得<math>\left\{ aH | a \in G \right\} </math>关于子集的积是這個群的子群。这时H的左陪集和右陪集是一样的，统称陪集。陪集组成的群叫做G关于H的'''商群'''，记作<math>\frac{G}{H}</math>。商群的目数等于H对G的指数。

== 例子 ==

* {e}和''G''自身总是''G''的正规子群，這兩個正規子群又稱作''G''的平凡正規子群，而其他所有的正規子群都是非平凡的正規子群。如果''G''只有平凡正规子群，就叫做[[简单群]]。
* 群G的[[中心化子和正规化子#群的中心|中心]]是''G''的正规子群。
* 群G的[[交换子群]]是''G''的正规子群。
* 一个[[阿贝尔群]]（或交换群）的所有子群都是它的正规子群，因为显然有''gH'' = ''Hg''。不是阿贝尔群，但全部子群都是正规子群的群叫做[[哈密尔顿群]]（Hamiltonian group），阶数最小的例子是[[四元数]]单位<math>\pm 1, \pm i \pm j, \pm k</math>对乘法构成的群<math>Q_8</math>。
* 任何有限维[[欧几里得空间]]中，[[平移群]]都是[[欧几里得群]]的正规子群。比如说在3维空间中，先旋转，平移，再作原来旋转的逆，结果是原来的平移。先做镜面对称，平移，再作原来镜面对称的逆，还是原来的平移。将平移按长度分类，就得到一个等价类。平移群是各种长度的平移的并集。

== 性质 ==

* 满同态保持正规子群的性质，逆映射也是一样。

* [[直积]]保持正规子群的性质。
* ''G''的正规子群的正规子群不一定是''G''的正规子群，即是说正规子群没有传递性。但是，''G''的正规子群的[[特征子群]]总是''G''的正规子群。
* ''G''的所有2阶的子群都是正规子群。''G''中每个阶为''n''的子群都包含一个G的正规子群''K''，它对G的阶整除''n!''。特别地，当p是|G|的最小质因数时，''G''的所有p阶的子群都是正规子群。

== 参见 ==

* [[群]]
* [[子群]]
* [[共軛閉包|正规闭包]]
* [[中心化子和正规化子]]
* [[特征子群]]
* [[等价类]]
* [[可解群]]
* [[同构基本定理]]
* [[理想 (环论)|理想]]

{{ModernAlgebra}}

[[Category:子群性質|Z]]
[[Category:群论|Z]]