查看“︁正方形”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
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|C-D diagram={{CDD|node_1|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|2|node_1}}
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在[[平面几何学]]中，'''正方形'''是四邊相等且四個角是直角的[[四邊形]]<ref>{{Cite web|url=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html|title=Euclid's Elements, Book I|accessdate=2017-10-21|work=mathcs.clarku.edu|archive-date=2017-09-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20170918002359/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html|dead-url=no}}</ref>。正方形是正多边形的一种：正四边形。四个顶点为ABCD的正方形可以记为正方形 ABCD。

正方形是二维的[[超方形]]，也是二维的[[正轴形]]。

== 性质 ==
正方形是正四边形，是特殊的[[矩形]]、[[对称四边形]]、[[平行四边形]]。其四个内角为[[直角]]。除了四边四角相等的性质，正方形还有以下性质：
* 所有对边[[平行]]；
* 所有内角为[[直角]]（<math>90^\circ</math>）；
* [[對角線]]相等且互相[[垂直平分线|垂直平分]]；
* 一组对角线平分一组对角；
* 正方形是[[圆内接四边形]]。

== 面积和周长 ==
[[File:Five Squared.svg|100px|thumb|正方形的面积是其边长的平方]]
正方形的[[周长]]是它的边长的'''4'''倍。如果边长为''a''，那么周长<math>P=4a</math>。正方形的[[面积]]是其边长的[[平方]]。如果边长为''a''，那么面积<math>A=a^2</math>。如果我们知道正方形的对角线长''d''，那么我们也可以之计算面积<math>A=\frac{d^2}{2}</math>，如果正方形边心距为r，[[外接圆]]半径是R，那么<math>A=4r^2</math>。，<math>A=2R^2</math>。

若正方形的邊長為[[整數]]，其面積就是一個[[完全平方数]]。在周长固定时，正方形的面積一定大於其他非正方形的四邊形的面积。

== 对称性 ==
正方形是一种高度对称的平面图形，它关于两条对角线的交点[[中心对称]]（这个点又被称作正方形的'''中心'''）。它的对称轴有四条，分别是对边[[中点]]的连线以及两条对角线。保持正方形不变的变换有8种，包括全等变换，以正方形中心为中心、角度为90度、180度和270度的[[旋转]]，以及关于四条对称轴的[[反射 (数学)|反射]]。这八个变换组成了一个[[群]]，是[[二面体群]]中的一个，记作'''D<sub>4</sub>'''。

{|class="wikitable" border="1" style="text-align:center; margin:0 auto .5em auto;"
|-
| [[圖像:group D8 id.svg|140px]] <br />全等变换，四个顶点都不变 || [[圖像:group D8 90.svg|140px]] <br /> r<sub>1</sub>（顺时针90°旋转） || [[圖像:group D8 180.svg|140px]] <br /> r<sub>2</sub>（180°旋转） || [[圖像:group D8 270.svg|140px]] <br /> r<sub>3</sub>（顺时针270°旋转）
|-
| [[圖像:group D8 fh.svg|140px]] <br /> f<sub>v</sub>垂直反射 || [[圖像:group D8 fv.svg|140px]] <br /> f<sub>h</sub>水平反射|| [[圖像:group D8 f24.svg|140px]] <br /> f<sub>d</sub>沿[[主对角线]]（左上至右下）反射 || [[圖像:group D8 f13.svg|140px]] <br /> f<sub>c</sub>沿[[副对角线]]（右上至左下）反射
|-
|style="text-align:left" colspan=4 |[[二面体群]]D<sub>4</sub>
|}

== 正方形与无理数 ==
公元前五世纪时，[[毕达哥拉斯]]学派最早证明了正方形的对角线长度与边长长度的比例：<math>\sqrt{2}</math>，是无法表示为两个自然数的公比的。

[[圖像:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|使用圓規與直尺建構出正方形。]]

== 平面镶嵌 ==
用同一种多边形不重疊地将平面“铺满”，称为平面的[[正多边形镶嵌|正镶嵌图]]。正方形是能够组成平面的正镶嵌图的三种正多边形之一（另外两种分别是[[正三角形]]和[[正六边形]]）。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

== 参见 ==
{{Portal|几何学}}
* [[立方体]]
* [[根号2]]
* [[四維超正方体]]
* [[垂直]]
* [[圆规四等分圆]]
* [[幻方]]
* [[完美正方形]]
* [[格点]]

{{-}}
{{几何术语}}
{{多邊形}}
{{正多胞形}}
{{Authority control}}

[[Category:四邊形]]
[[Category:平面几何]]