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'''正常重力'''（{{Lang-en|Normal gravity}}）是[[正常椭球体]]在其外部空间所产生的[[重力]]<ref>{{Cite web|title=GeographicLib: Normal gravity|url=https://geographiclib.sourceforge.io/html/normalgravity.html|accessdate=2020-04-13|work=geographiclib.sourceforge.io|archive-date=2021-05-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20210506140333/https://geographiclib.sourceforge.io/html/normalgravity.html|dead-url=no}}</ref>，由[[意大利]][[数学物理]]学家[[卡洛·索米里安]]在[[1929年]]引入<ref name=":1">{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books/about/Teoria_generale_del_campo_gravitazionale.html?id=Lj3CoAEACAAJ&redir_esc=y|publisher=Libr. Editr. Politecnica|date=1929|language=it|first=Carlo|last=Somigliana|title=Teoria generale del campo gravitazionale dell'ellissoide di rotazione|year=|isbn=|location=|pages=}}</ref>，在[[大地测量学]]与[[地球物理学]]的研究中常用于对真实[[地球]]所产生的重力进行近似。在正常重力场中，正常椭球所产生的[[重力位]]和能够以较为简单的[[函数]]关系表达，且与真实的地球重力位相接近，而正常重力即为这一[[正常重力位]]所对应的重力。<ref name=":0">{{Cite book|title=地球形状及外部重力场|author=宁津生|publisher=测绘出版社|year=1981|isbn=|location=|pages=154-293|authorlink=宁津生|editor=管泽霖|first=}}</ref>{{Rp|190,212}}根据不同的定义方式，真实重力与正常重力之间的差异被称为[[重力异常]]或[[重力扰动]]。正常重力与真实重力之间的比例约为 <math>99.995\%</math><ref>{{Cite book|chapter=Potential Theory and Static Gravity Field of the Earth|title=Treatise on Geophysics|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/B9780444527486000547|publisher=Elsevier|date=2007|isbn=978-0-444-52748-6|pages=11–42|doi=10.1016/b978-044452748-6.00054-7|language=en|first=C.|last=Jekeli|access-date=2020-04-15|archive-date=2018-07-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20180701075456/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/B9780444527486000547|dead-url=no}}</ref>{{Rp|15}}。

由于正常重力能够被精确计算，其在[[高程系统]]中也用于代替真实重力来作为[[正常高|正常高系统]]所采用的测量值。'''<ref name="whu2">{{cite book|author1=孔祥元|author2=郭际明|author3=刘宗泉|title=大地测量学基础|publisher=武汉大学出版社|ISBN=978-7-30-707562-7|pages=|last=|first=|year=2001|isbn=|location=}}</ref>{{Rp|42}}'''

== 分布情况 ==
[[File:Normal gravity potential.svg|缩略图|420x420像素|正常椭球外部的重力场分布，红色表示椭球表面，蓝色表示[[等位面]]，而绿色则表示正常椭球的[[铅垂线]]。可见短轴附近的等位面比长轴附近的等位面更为密集，表面前者梯度更大，正常重力值也越大。]]
正常重力值在两极最大，在[[赤道]]处最小，随[[纬度]]降低呈递减趋势，相对于赤道面对称而与[[经度]]无关。椭球面上几个特殊的重力值分别为：
{| class="wikitable"
|+
!符号
!数值
!含义
!参考文献
|-
|<math>
\gamma_e
</math>
|<math>
9.780\,326\,7715 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}
</math>
|椭球赤道处的正常重力值
|<ref name=":12">{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.co.jp/books/about/Geodesy.html?id=pFO6VB_czRYC&redir_esc=y|publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG|date=|isbn=978-3-11-017072-6|language=en|first=Wolfgang|last=Torge|title=Geodesy|year=2001|location=|pages=}}</ref>{{Rp|117}}
|-
|<math>
\gamma_p
</math>
|<math>
9.832\,186\,3685 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}
</math>
|椭球极点处的正常重力值
|<ref name=":12" />{{Rp|117}}
|-
|<math>
\gamma_{45}
</math>
|<math>
9.806\,199\,203 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}
</math>
|椭球45°纬线处的正常重力值
|<ref name=":3" />
|-
|<math>
\bar{\gamma}
</math>
|<math>
9.797\,644\,656 \,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}
</math>
|整个椭球面上的平均正常重力值
|<ref name=":3" />
|}

== 数学表达 ==
设正常椭球体在其外部空间产生的[[正常重力位]]为 <math>U</math>，则正常重力矢量被定义为该正常重力位的[[梯度]]：<ref name=":2">{{Cite book|chapter=|url=http://archive.org/details/HeiskanenMoritz1967PhysicalGeodesy|date=1967|last=San Francisco W. H. Freeman and Company|title=Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy|first=|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1967|isbn=|location=San Francisco|pages=|language=en}}</ref>[[半径|{{Rp|68}}]]

: <math>
\boldsymbol{\gamma} = \nabla U
</math>

在[[球坐标系|椭球坐标系]] <math>
(u, \beta, \lambda)
</math>{{NoteTag|其中 <math>u</math> 表示椭球的[[半短轴]]，<math>\beta</math> 表示[[归化纬度]]，<math>\lambda</math> 表示[[经度]]}} 中，正常重力矢量的三个分量具体表示为：<ref name=":2" />{{Rp|68}}

* <math>
\gamma_u =  {1 \over w}{\partial U \over \partial u}  
</math>
* <math>
\gamma_\beta =  {1 \over w\sqrt{u^2+E^2}}{\partial U \over \partial \beta}  
</math>
* <math>
\gamma_\lambda =  {1 \over \sqrt{u^2+E^2} \cos \beta}{\partial U \over \partial \lambda} = 0  
</math>

上式中的 <math>w = \sqrt{u^2+E^2\sin^2\beta \over u^2+E^2}</math> 是为简化公式而引入的辅助量<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|67}}]]，<math>E</math> 是椭球的[[半焦距]]<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|39}}]]。又因正常重力位 <math>U</math> 与经度无关，所以正常重力矢量的经度分量为零。
== 计算公式 ==
由正常重力的数学表达式可以得出，正常重力的值可以根据正常重力位 <math>
U
</math> 的[[偏导数]]，以及正常椭球体本身的几何性质得到。而正常椭球体的确定只需要四个基本参数：椭球的[[半長軸|半长轴]] <math>
a
</math>、几何扁率 <math>f</math>、赤道上的正常重力值 <math>
\gamma_e
</math>，以及地球[[自转]]的[[角速度]] <math>
\omega
</math> ，其他的几何参数可以由上述基本参数确定：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|79}}]]

* 椭球的[[半短轴]] <math>
b = a(1-f)
</math>
* 椭球的[[偏心率|第一偏心率]] <math>
e = \sqrt{a^2 - b^2}/a = 2f - f^2
</math>
* 椭球的[[偏心率|第二偏心率]] <math>
e = \sqrt{a^2 - b^2}/b
</math>

亦有一些坐标系统会选择其他的基本参数，例如[[GRS80]]椭球选用的是[[標準重力參數|地心引力常数]] <math>
GM
</math> 、地球动力学形状因子 <math>
J_2
</math>、地球[[自转]][[角速度]] <math>
\omega
</math> 和椭球的[[半長軸|半长轴]] <math>
a
</math> <ref name=":3">{{Cite web|title=Geodetic Reference System 1980|url=http://geoweb.mit.edu/~tah/12.221_2005/grs80_corr.pdf|accessdate=|author=H. Moritz|date=|format=pdf|publisher=|language=en|archive-date=2021-04-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20210401225831/http://geoweb.mit.edu/~tah/12.221_2005/grs80_corr.pdf|dead-url=no}}</ref>，但其他的椭球参数仍能由这些基本参数计算而得。

=== 克莱罗定理 ===
[[法国]][[数学家]][[克莱罗]]在其发表于[[1743年]]的著作中给出了地球的[[扁率|几何扁率]] <math>f</math> 与[[重力扁率]] <math>f^*</math> 之间的对应关系，即[[克莱劳定理|克莱罗定理]]。<ref>{{Cite book|title=Théorie de la figure de la terre : tirée des principes de l'hydrostatique|last=Alexis Claude|first=Clairaut|publisher=|year=1743|isbn=|location=|pages=|url=https://www.irphe.fr/~clanet/otherpaperfile/articles/Clairaut/N0062579_PDF_1_352.pdf}}{{Dead link}}</ref>在顾及至扁率的平方项的情况下，该定理可表述为：

:<math>
f + f^* = {5\over2}{\omega^2 b \over \gamma_e} (1+{9\over35}{e'}^2)
</math>

重力扁率 <math>f^*</math> 的定义与几何扁率类似，其由椭球[[赤道]]处的重力 <math>
\gamma_e
</math> 和椭球极点处的重力 <math>
\gamma_p
</math> 决定 ：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|76}}]]

* <math>
f^*= {\gamma_p - \gamma_e \over \gamma_e}
</math>
* <math>
\gamma_e = {GM \over a^2}\left(1+m+{3\over7}{e'}^2m\right)
</math>
* <math>
\gamma_p = {GM \over ab}\left(1-{3\over2}m-{3\over14}{e'}^2m\right)
</math>

其中 <math>
m = {\omega^2a^2b \over GM}
</math><ref name=":2" />[[半径|{{Rp|69}}]]，且有 <math>
{\omega^2 b \over \gamma_e} = m + {3\over2}m^2
</math><ref name=":2" />[[半径|{{Rp|76}}]]。

=== 正常重力公式 ===

==== 对称形式 ====
克莱罗定理给出了椭球赤道处的正常重力值和极点处的正常重力值，而椭球面上其他纬度的正常重力则可由正常重力公式计算得到，这一公式由[[卡洛·索米里安|索米里安]]在[[1929年]]给出：<ref name=":1" /><ref name=":2" />[[半径|{{Rp|70}}]]

:<math>
\gamma = {a\gamma_p\sin^2\beta+b\gamma_e\cos^2\beta \over \sqrt{a^2\sin^2\beta+b^2\cos^2\beta}} 
</math>

其中 <math>
\beta
</math> 是椭球面上某点的[[归化纬度]]，顾及到[[大地纬度]] <math>
\varphi
</math> 与归化纬度 <math>
\beta
</math> 存在如下转换关系：

:<math>
\tan\beta = {b \over a}\tan\varphi 
</math>

则正常重力公式也可以表达成[[大地纬度]] <math>
\varphi
</math> 的函数：

:<math>
\gamma = {a\gamma_e\cos^2\varphi+b\gamma_p\sin^2\varphi \over \sqrt{a^2\cos^2\varphi+b^2\sin^2\varphi}} 
</math>

==== 截断形式 ====
正常重力公式也可以展开为几何扁率 <math>
f 
</math> 的[[级数]]，其截断形式为：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|77}}]]

:<math>
\gamma = \gamma_e(1+f_2\sin^2\varphi+f_4\sin^4\varphi) 
</math>

其中的系数为：

* <math>
f_2 = -f+{5\over2}m+{1\over2}f^2-{26\over7}fm+{15\over4}m^2 
</math>
* <math>
f_4 = -{1\over2}f^2+{5\over2}fm 
</math>

这一公式也可写为：

:<math>
\gamma = \gamma_e(1+f^*\sin^2\varphi-{1\over4}f_4\sin^4 2\varphi) 
</math>

其中的 <math>f^* = f_2+f_4</math> 为上述提到的重力扁率。

==== 闭合形式 ====
正常重力公式还可以闭合形式表达：<ref name=":4">{{Cite web|title=Department of Defense World Geodetic System 1984 ― Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems|url=https://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf|accessdate=2020-04-14|author=|date=|format=pdf|publisher=|language=en|archive-date=2021-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20210301161832/https://earth-info.nga.mil/GandG/publications/tr8350.2/wgs84fin.pdf|dead-url=yes}}</ref>[[半径|{{Rp|4-1}}]]

:<math>
\gamma = \gamma_e{1+k\sin^2\varphi \over \sqrt{1-e^2sin^2\varphi}} 
</math>

其中的系数 <math>k</math> 为：

:<math>
k = {b\gamma_p-a\gamma_e \over a\gamma_e} 
</math>

==== 数值形式 ====
采用不同的椭球参数和不同的表达形式，正常重力公式可以有不同的数值计算形式，常用的几条公式包括：
{| class="wikitable"
|+
!说明
!时间
!公式
!精度
!参考文献
|-
|由[[国际大地测量协会]]推荐使用
|1930年
|<math>
\gamma =  9.780\,490\,(1 + 0.005\,2884\sin^2\varphi - 0.000\,0059 \sin^4 2\varphi)\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2} 
</math>
|
|<ref>{{Cite book|chapter=|url=https://books.google.com.hk/books?id=1Mz-BAAAQBAJ&dq=Stockholm+Cassinis+1930&hl=zh-CN&source=gbs_navlinks_s|publisher=Elsevier|date=2015-06-03|isbn=978-1-4832-9079-9|language=en|first=P.|last=Vanícek|first2=E. J.|last2=Krakiwsky|title=Geodesy: The Concepts|year=|location=|pages=}}</ref>[[半径|{{Rp|78}}]]
|-
|由[[国际大地测量与地球物理联合会]]推荐使用
使用于[[GRS80]]坐标系
|1979年
|<math>
\gamma =  9.780\,327\,(1 + 0.005\,3024\sin^2\varphi - 0.000\,0058 \sin^4 2\varphi)\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2} 
</math>
|<math>0.1\,\text{mgal}</math>
|<ref name=":3" />
|-
|使用于[[WGS84]]坐标系
|1984年
|<math>\gamma = 9.780\,325\,3359\left[\frac{1+0.001\,931\,852\,646\,396\sin^2\varphi}
{\sqrt{1-0.006\,694\,379\,990\,141\sin^2\varphi}}\right]\,\text{m}\cdot\text{s}^{-2}</math>
|
|<ref name=":4" />[[半径|{{Rp|4-1}}]]
|}

=== 向上延拓公式 ===
在椭球面外部不远处，其正常重力 <math>\gamma_h</math> 可以在其沿法线到椭球面上[[投影]]处展开为[[正常高]] <math>
h 
</math> 的级数：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|78}}]]

:<math>
\gamma_h = \gamma + {\partial\gamma \over \partial h}h + {1\over2}{\partial^2\gamma \over \partial h^2}h^2 + \cdots 
</math>

由[[广义布隆斯方程]]，椭球面的外部空间的重力[[梯度]]与椭球面（水准面）的平均[[曲率半径]] <math>
J 
</math> 的关系为：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|78}}]]

:<math>
{\partial\gamma \over \partial h} = -2\gamma J-2\omega^2 = -{2\gamma \over a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right) 
</math>

又二次[[导数]] <math>
\partial^2\gamma/\partial h^2 
</math>是微小量，可以将其近似近似于在[[球面]]外部微分（即以半长轴 <math>a</math> 代替 <math>r</math>），得到：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|78}}]]

:<math>
{\partial^2\gamma \over \partial h^2} = {6GM \over a^4} = {6\gamma \over a^2} 
</math>

得到正常重力的向上延拓公式为：<ref name=":2" />[[半径|{{Rp|79}}]]

:<math>
\gamma_h = \gamma\left[1-{2 \over a}\left(1+f+m-2f\sin^2\varphi\right)h+{3 \over a^2}h^2 \right] 
</math>

上式的数值形式近似为：'''<ref name="whu2" />{{Rp|27}}'''

:<math>
\gamma_h = \gamma-0.3086h+0.72\times10^{-7}h^2 
</math>

== 相关条目 ==

* [[重力异常]]
* [[布隆斯公式]]

* [[似大地水准面]]

== 注释 ==
{{NoteFoot}}

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{物理大地测量学}}

[[Category:重力分析法]]
[[Category:大地测量学]]
[[Category:地球物理学]]