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[[File:Pentagon.svg|right|thumb|正五边形]]
'''正多边形'''，是所有角都相等，所有边都相等的[[简单多边形]]，简单多边形是指在任何位置都不与自身相交的多边形。

所有具有同样边数的正多边形都是[[相似|相似多边形]]。
==示例==
* [[正三角形]] 
* [[正方形]] (正四邊形)
* 正[[五边形]]
* 正[[六边形]] 
* 正[[七边形]]
* 正[[八边形]] 
* 正[[十边形]] 
* 正[[十二边形]]

==特性==

正<math>n</math>边形每个[[内角]]为 <math>\left (1-\frac{2}{n} \right) \times 180^\circ</math> 或者表示为 <math>\frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}</math> [[角度]]。也可以用[[弧度]]表示为<math>\frac{(n-2)\pi}{n}</math>或者<math>\frac{n-2}{2n}</math>。

正多边形的所有[[頂點 (幾何)|顶点]]都在同一个[[外接圆]]上，每个正多边形都有一个外接圆。

正多边形可尺规做图[[当且仅当]]正多边形的边数<math>n</math>的[[奇数|奇]][[质数]]因子是[[费马数]]。参见[[可尺规作图的多边形]]。

<math>n>2</math>的正多边形的[[对角线]]数目是 <math>\frac{n (n-3)}{2}</math>，如 0、2、5、9、... 等，这些对角线将多边形分成 1、4、11、24、... 块。

==面积==
[[File:Apothem_of_hexagon.svg|thumb|正[[六边形]]的垂直[[边心距]]]]
正<math>n</math>边形的面积为
:<math>Deg : A=\frac{nt^2\sin(\frac{360}{n})}{4[1-\cos(\frac{360}{n})]}</math>
:<math>Rad : A=\frac{nt^2\sin(\frac{2\pi}{n})}{4[1-\cos(\frac{2\pi}{n})]}</math>
其中<math>t</math>是边长。正多边形的面积还等于多边形的周长与边心距离乘积的一半。边心距离是多边形中心到边的垂直距离。

如果<math>t=1</math>则正多边形的面积为， 
:<math>Deg : A=\frac{n\sin(\frac{360}{n})}{4[1-\cos(\frac{360}{n})]}</math>
:<math>Rad : A=\frac{n\sin(\frac{2\pi}{n})}{4[1-\cos(\frac{2\pi}{n})]}</math>
从而可以得到
{| 
|- align="right"
|[[三角形|3]]||&nbsp;&nbsp;<math>\frac{\sqrt{3}}{4}</math>||0.433
|- align="right"
|[[正方形|4]]||&nbsp;&nbsp;1||1.000
|- align="right"
|[[五边形|5]]||&nbsp;&nbsp;<math>\frac {1}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}}</math>||1.720
|- align="right"
|[[六边形|6]]||&nbsp;&nbsp;<math>\frac{3 \sqrt{3}}{2}</math>||2.598
|- align="right"
|[[七边形|7]]||&nbsp;&nbsp;||3.634
|- align="right"
|[[八边形|8]]||&nbsp;&nbsp;<math>2 + 2 \sqrt{2}</math>||4.828
|- align="right"
|[[九边形|9]]||&nbsp;&nbsp;||6.182
|- align="right"
|[[十边形|10]]||&nbsp;&nbsp;<math>\frac{5}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}}</math>||7.694
|- align="right"
|[[十一边形|11]]||&nbsp;&nbsp;||9.366
|- align="right"
|[[十二边形|12]]||&nbsp;&nbsp;<math>6+3\sqrt{3}</math>||11.196
|- align="right"
|[[十三边形|13]]||&nbsp;&nbsp;||13.186
|- align="right"
|[[十四边形|14]]||&nbsp;&nbsp;||15.335
|- align="right"
|[[十五边形|15]]||&nbsp;&nbsp;||17.642
|- align="right"
|[[十六边形|16]]||&nbsp;&nbsp;||20.109
|- align="right"
|[[十七边形|17]]||&nbsp;&nbsp;||22.735
|- align="right"
|[[十八边形|18]]||&nbsp;&nbsp;||25.521
|- align="right"
|[[十九边形|19]]||&nbsp;&nbsp;||28.465
|- align="right"
|[[二十边形|20]]||&nbsp;&nbsp;||31.569
|- align="right"
|[[一百边形|100]]||&nbsp;&nbsp;||795.513
|- align="right"
|[[一千边形|1000]]||&nbsp;&nbsp;||79577.210
|- align="right"
|[[一万边形|10000]]||&nbsp;&nbsp;||7957746.893
|}

<math>n<8</math>的正多边形的面积比同[[周长]]的[[圆]]的面积小大约 0.26，随着<math>n</math>的增加，这个差值趋近于<math>\frac{\pi}{12}</math>。

==对称性==
<math>n</math>边多边形的[[对称群]]为<math>2n</math>阶的 [[dihedral group]] <math>D_n : D_2,D_3,D_4,\cdots</math>它包括<math>C_n</math>中的<math>n</math>阶[[旋转对称]]以及经过中心的<math>n</math>条轴线的[[镜像对称]]。如果<math>n</math>是[[偶数]]，则这些轴线中有一半经过相对的顶点，另外一半经过相对边的中点。如果<math>n</math>是[[奇数]]，则所有的轴线都是经过一个顶点以及其相对边的中心。

==非凸正多边形==
正多边形的广义分类包括[[星形正多边形]]，例如[[五角星]]与[[五边形]]的顶点相同，但是顶点要交替相连。

示例：
* [[五角星]] - <math>\left \{ \frac{5}{2} \right \}</math>
* [[七角星]] - <math>\left \{ \frac{7}{2},\frac{7}{3} \right \}</math>
* [[八角星]] - <math>\left \{ \frac{8}{3} \right \}</math>
* [[九角星]] - <math>\left \{ \frac{9}{2},\frac{9}{4} \right \}</math>
* [[十角星]] - <math>\left \{ \frac{10}{3} \right \}</math>
* [[十一角星]] - <math>\left \{ \frac{11}{2},\frac{11}{3},\frac{11}{4},\frac{11}{5} \right \}</math>
* [[十二角星]] - <math>\left \{ \frac{12}{5} \right \}</math>

==多面体==
[[正多面体]]是以正多边形作为面的[[多面体]]，因此对于每两个顶点来说都有一个[[等距]]的映射将其中一点映射到另一点。 This is a very practical graphic that can give people a sense of comfort and stability when used in mind maps and decorations.

==参见==
*[[正多面體]]
*[[正多胞體]]
*[[正圖形列表]]
*[[正多邊形鑲嵌]]
*[[等邊多邊形]]
*[[等角多邊形]]
*[[圓內接多邊形]]
*[[圓外切多邊形]]
*[[外接圓]]
*[[內切圓]]
*[[外接球]]
*[[內切球]]

==外部链接==

*[http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html Mathworld: Regular Polygon] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/RegularPolygon.html |date=20210307033638 }}
*[http://www.mathopenref.com/polygonregular.html Regular Polygon description] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/polygonregular.html |date=20110820222246 }} With interactive animation
*[http://www.mathopenref.com/polygonincircle.html Incircle of a Regular Polygon] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/polygonincircle.html |date=20110822174934 }} With interactive animation
*[http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html Area of a Regular Polygon] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/polygonregulararea.html |date=20110820234356 }} Three different formulae, with interactive animation

{{多邊形}}
[[Category:多邊形]]
[[Category:平面幾何]]
[[Category:多邊形類型]]

[[de:Polygon#Regelmäßige Polygone]]