查看“︁正圖形”︁的源代码

{{More footnotes|time=2019-09-17T17:49:28+00:00}}
{{Not|正則圖}}
{{Geometric Shape Example
|shape class=正圖形
|title=一些正幾何形狀的例子
|Regular pentagon.svg|size=140px|caption=[[正五邊形]]是一個[[多邊形]]，是一個正圖形，由5個邊組成的二維正多胞形，其施萊夫利符號為{5}
|POV-Ray-Dodecahedron.svg|size2=140px|caption2=[[正十二面體]]是一個[[多面體]]，是一個正圖形，由12個[[正五邊形]]面組成的三維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3}
|Schlegel wireframe 120-cell.png|size3=140px|caption3=[[正一百二十胞體]]是一個四維[[多胞體]]，是一個正圖形，由120個[[正十二面體]]胞組成的四維正多胞形，其施萊夫利符號為{5,3,3}。（这里展示的是{{link-en|施莱格尔图像|Schlegel diagram}}）
|Cubic honeycomb.png|size4=140px|caption4=[[正方體堆砌]]是一個三维[[空間堆砌]]，可被看作是四维的无穷胞体，施萊夫利符號為{4,3,4}
|Octeract Petrie polygon.svg|size5=280px|caption5=[[八维超正方体]]的256个顶点和1024条棱可以用正交投影来展示。（[[皮特里多边形]]）
}}
在[[幾何學]]中，'''正圖形'''或'''正[[幾何圖形|幾何形狀]]'''（{{lang-en|Regular Geometric Shape}}）是一類具有高度對稱性的幾何結構。其中，若該幾何結構是由線段、平面或超平面的邊界構成則又可稱為'''正多胞形'''（{{lang-en|Regular polytope}}）。

和正圖形相對的概念為'''不規則圖形'''（Irregular Geometric Shape）或'''不規則[[幾何圖形|幾何形狀]]'''、'''非正[[幾何圖形|幾何形狀]]'''，其對稱性比正圖形低或無對稱性。在不規則圖形中，依照對稱性的高低又可以分為[[擬正多面體|擬正]]圖形（Quasiregular）、{{link-en|半正圖形|Semiregular_polytope}}（Semiregular）、{{link-en|似正鑲嵌圖|Demiregular tiling|似正}}圖形（Demiregular）、{{link-en|均勻圖形|Uniform_polytope}}（Uniform）等幾何結構。

== 正多胞形 ==
正多胞形是一種對稱性对于[[標記 (幾何)|標記]]可递的幾何結構，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素（如：點、線、面）都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為[[正方形]]，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫''j''維面（對所有的 0&nbsp;≤&nbsp;''j''&nbsp;≤&nbsp;n，其中n是該幾何體所在的維度） — 胞、面等等 — 也都对于多胞形的对称性可递，也是≤&nbsp;''n''维的正圖形。 

正图形是[[正多边形]]（例如：[[正方形]]或者[[正五边形]]<ref>{{cite web|url=http://www.mommycrusader.com/wp-content/uploads/2015/04/Square-1.pdf|title=Regular Geometric Shapes|publisher=mommycrusader.com|accessdate=2019-04-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20190413104146/http://www.mommycrusader.com/wp-content/uploads/2015/04/Square-1.pdf|archive-date=2019-04-13|dead-url=yes}}</ref>
）和[[正多面体]]（例如[[立方体]]）的向任意维度的推广类比。正图形极强的对称性使它们拥有极强的审美价值，吸引着数学家和数学爱好者。

一般地，''n''维正图形被定义为有正[[维面]][(''n''&nbsp;−&nbsp;1)-表面]和正[[顶点图]]。这两个条件已经能充分地保证所有面、所有顶点都是相似的。但要注意的是，这一定义并不适用于{{link-en|抽象多胞形|abstract polytope}}。

一个正图形能用形式为{a,&nbsp;b,&nbsp;c,&nbsp;....,&nbsp;y,&nbsp;z}的[[施莱夫利符号]]代表，其正的面为{a,&nbsp;b,&nbsp;c,&nbsp;...,&nbsp;y}，顶点图为{b,&nbsp;c,&nbsp;...,&nbsp;y,&nbsp;z}。

==分類和描述==
正图形最基础的分类是按其维度。

它们能够按照[[对称性]]进一步分类。例如，[[正方体]]和[[正八面体]]有着相同的对称性，同样，[[正十二面体]]和[[正二十面体]]也是。事实上，对称群大多依照正图形命名，例如正四面体对称群和正二十面体对称群。

3种特殊类型的正图形存在于所有维度：
*[[单纯形]]（正单形）
*[[超方形]]（正测形）
*[[正轴形]]（交叉形）

在二维，这里有无穷多个正多边形。在三维和四维这里有许多上述三种之外的[[正多面体]]和[[四维凸正多胞体|正多胞体]]。在五维及以上维，只存在这三种类型的正图形。另见[[正图形列表]]。

正图形的概念有时被扩展，使其包括了另外一些相关的几何对象。其中一些有正的例子，下面“历史发现”一章将会详细说明。

===施萊夫利符號===
{{main|施萊夫利符號}}
施萊夫利符號是一個簡潔有力的多面體表示法，是19世紀由[[路德維希·施萊夫利]]所發明的，一个改进了的版本随后成为了标准。这种记号可通过维度依次增加一获得最好的解释。

*一个有''n''条边的[[凸多边形|凸]][[正多边形]]可以标记为{''n''}。所以一个等边三角形是{3}，一个正方形是{4}……一个绕其中心旋转''m''圈的正[[星形多边形]]被标记为分式{''n''/''m''}，这里''n''和''m''是[[互质]]的，例如[[正五角星]]是{5/2}。

*一个有着面{''n''}，并且一个顶点处有''p''个面相交的[[正多面体]]标记为{''n'', ''p''}。九个[[正多面体]]是：{3, 3}、{3, 4}、{4, 3}、{3, 5}、{5, 3}、{3, 5/2}、{5/2, 3}、{5, 5/2}和{5/2, 5}。{''p''}就是这个正多面体的''[[顶点图]]''。

*一个有着胞{''n'', ''p''}，并且每一条棱处有''q''个胞相交的[[正多胞体]]标记为{''n'', ''p'', ''q''}。其顶点图为{''p'', ''q''}。

*一个五维正多胞体是{''n'', ''p'', ''q'', ''r''}，等等。

===正图形的对偶性===

正图形的[[对偶多面体|对偶形]]也是正图形。对偶图形的施莱夫利符号就是将原来的符号倒过来写：{3,3}为自身对偶，{3,4}与{4,3}对偶，{4,3,3}与{3,3,4}对偶，以此类推。

正图形的[[顶点图]]的对偶即是其对偶图形的维面。例如{3,3,4}的顶点图是{3,4}，其对偶即是{4,3} — {4,3,3}的一个胞。

任何维的[[超方形]]和[[正轴形]]都是互相对偶的。

如果其施莱夫利符号是[[回文]]，即正反读都一样，那么这个正图形就是自身对偶的。自身对偶正图形包括：
* [[點]]
* [[線段]]，{}。
* 所有的[[正多边形]]，{a}。
* 所有的''n''-正[[单纯形]]，{3,3,3,...,3,3,3}。
* 四维正多胞形[[正二十四胞体]]，{3,4,3}。
* 所有''n''维超方形[[密铺|堆砌]]，{4,3,3,...,3,3,4}。这些在多胞形学中被看作[[#正无穷胞体 — 无穷多胞形|无穷多胞形]]。

===正单纯形===
{|class="wikitable" align="right" style="border-width:30%;"
|+ 1-正单纯形 到 4-正单纯形 的图像
|align=center|[[Image:1-simplex t0.svg|80px]]
|align=center|[[Image:2-simplex t0.svg|80px]]
|align=center|[[Image:3-simplex t0.svg|80px]]
|align=center|[[Image:4-simplex t0.svg|80px]]
|-
| [[线段]]
| [[正三角形]]
| [[正四面体]]
| [[正五胞体]]
|-
| &nbsp;
| [[Image:Regular triangle.svg|80px]]
| [[Image:Tetrahedron.svg|80px]]
| [[Image:Schlegel wireframe 5-cell.png|80px]]
|}
{{main|单纯形}}
我们从点''A''开始。标下与''A''相距''r''的点''B''，并连接它们，形成[[线段]]。在垂直与它的第二维度标下与''A''、''B''都相距''r''的第三点''C''，并连接''AC''、''BC''，形成[[正三角形]]。在垂直与它的第三维度标下与三点都相距''r''的第四点''D''，连接四点，便形成正四面体。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这些就是'''正单纯形'''。以维度来排序，它们是：

:0. [[点]]
:1. [[线段]]
:2. [[正三角形]]（正三边形）
:3. [[正四面体]]
:4. [[正五胞体]] ''或'' 4-单纯形
:5. [[五维正六胞体]] ''或'' 5-单纯形
:... ''n''-单纯形有''n''+1个顶点。

===超方形===
{|class="wikitable" align="right" style="border-width:30%;"
|+ 2-超方形 到 4-超方形 的图像
|align=center|[[Image:Cross graph 2.svg|80px]]
|align=center|[[Image:Cube graph ortho vcenter.png|80px]]
|align=center|[[Image:Hypercubestar.svg|80px]]
|-
| [[正方形]]
| [[立方体]]
| [[超正方体]]
|-
| [[Image:Kvadrato.svg|80px]]
| [[Image:Hexahedron.svg|80px]]
| [[Image:Schlegel wireframe 8-cell.png|80px]]
|}
{{main|超方形}}
从一个点''A''开始。连一条线到距离为''r''的''B''，形成一条线段。延伸第二条长为''r''的线，垂直于''AB''，将''B''连接到''C''，同样链接''A''到''D''，形成一个[[正方形]]''ABCD''。从每个顶点同样延伸出长为''r''的线，同时垂直于''AB''和''BC''，标记点''E''、''F''、''G''、''H''形成[[立方体]]''ABCD-EFGH''。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

它们就是'''超方形'''或称'''正测形'''。以维度来排序，它们是：

:0. [[点]]
:1. [[线段]]
:2. [[正方形]]（正四边形）
:3. [[立方体]]（正六面体）
:4. [[四维超正方体]]（正八胞体）''或''4-超方体
:5. [[五维超正方体]]（五維正十胞体）''或''5-超方体
:...一个''n''-超方体有''2<sup>n</sup>''个顶点。

===正轴形===
{| class="wikitable" align="right" style="border-width:30%;"
|+ 2-正轴形 到 4-正轴形 的图像
|align=center|[[Image:2-orthoplex.svg|80px]]
|align=center|[[Image:3-orthoplex.svg|80px]]
|align=center|[[Image:4-orthoplex.svg|80px]]
|-
| [[正方形]]
| [[正八面体]]
| [[正十六胞体]]
|-
| [[Image:Kvadrato.svg|80px]]
| [[Image:Octahedron.svg|80px]]
| [[Image:Schlegel wireframe 16-cell.png|80px]]
|}
{{main|正轴形}}
从一个点''O''开始。从''O''向两个相反的方向延出两条线到距''O''点距离为''r''的''A''和''B''，互相之间距离为2''r''，形成一条线段。同样再画线段''COD''，长度为2''r''，以''O''为中点而垂直于''AB''。连接4个顶点形成[[正方形]]''ACBD''。再画线段''EOF''，同样长度为2''r''，中点为''O''，同时垂直于''AB''和''CD''（即上下方向）。将其顶点与正方形顶点一一相连得到[[正八面体]]。用同样的方法，我们可以得到更高维的类似正图形。

这样得到的图形称为'''正轴形'''或'''交叉形'''。以维度来排序，它们是：

:0. [[点]]
:1. [[线段]]
:2. [[正方形]]（正四边形）
:3. [[正八面体]]
:4. [[正十六胞体]]''或''4-正轴形
:5. [[正三十二超胞体]]（五维正三十二胞体）''或''5-正轴形
:...''n''-正轴形有''2n''个顶点。

===正无穷胞体 — 无穷多胞形===

== 參見 ==
* [[正圖形列表]]
* [[詹森多面體]]
* [[Bartel Leendert van der Waerden]]

== 參考文獻 ==
<references />
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* (Van der Waerden, 1954) Van der Waerden, B. L.; ''Science Awakening'', (P Noordhoff Ltd, 1954), English Translation by Arnold Dresden.
* [[Duncan MacLaren Young Sommerville|D. M. Y. Sommerville]], ''An Introduction to the Geometry of '''n''' Dimensions.'' New York, E. P. Dutton, 1930. 196 pp. (Dover Publications edition, 1958) Chapter X: The Regular Polytopes
* {{GlossaryForHyperspace | anchor=Regular | title=Regular polytope }}
*[http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] {{Wayback|url=http://www.software3d.com/Stella.php |date=20100709173803 }} Tool for exploring 3D polyhedra, 4D polytopes, and printing nets
* [https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html Ernst Haeckel's ''Kunstformen der Natur'' online (German)]
* [http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/ProjPoly/projPoly.html Interesting fold-out nets of the cube, octahedron, dodecahedron and icosahedron] {{Wayback|url=http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Normal/ProjPoly/projPoly.html |date=20080815203620 }}

{{正圖形}}
{{幾何形狀}}
[[Category:多胞形]]
[[Category:對稱]]