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{{unreferenced|time=2022-12-12}}
在[[數學]]裡，尤其是在[[群論]]、[[環 (代數)|環]]與[[模]]理論、[[同調代數]]及[[微分幾何]]等數學領域中，'''正合序列'''（或釋作'''正合列'''或'''恰當序列'''）是指一個由對象及其間的[[態射]]所組成的[[序列]]，該序列中的每一個態射的[[像 (數學)|像]]都恰好是其下一個態射的[[核 (代數)|核]]。正合序列可以為有限序列或無限序列。

正合序列於[[同調代數]]中居於核心地位，其中特別重要的一類是'''短正合序列'''。

==定義==
在[[群論]]裡，一個由[[群]]及[[群同態]]所組成的序列
:<math>G_0\;\xrightarrow{f_1}\; G_1 \;\xrightarrow{f_2}\; G_2 \;\xrightarrow{f_3}\; \cdots \;\xrightarrow{f_n}\; G_n</math>
稱之為'''正合序列'''，若且唯若該序列中的每一個同態的[[像 (數學)|像]]均等於其下一個同態的[[核 (代數)|核]]：

: <math>\operatorname{im}(f_k) = \ker(f_{k+1})</math>

上述的正合序列可以為有限序列，亦或是無限序列。

在其他的[[代數結構]]裡也可以得出類似的定義，如將群與群同態替換成[[向量空間]]與[[線性映射]]，或是[[模]]與[[模同態]]，也都可以得出類似的正合序列定義。更一般性地來說，任何一個具有[[核 (範疇論)|核]]與[[上核]]的[[範疇 (數學)|範疇]]裡都能形成正合序列的概念。

=== 簡單例子 ===
下面會舉出一些相對簡單的例子來幫助理解上述定義。這些例子均以[[平凡群|-{zh:平凡;zh-hans:平凡;zh-hk:當然;zh-tw:平凡}-群]]作為開頭或結束，一般會將此一平凡群標記為0（表示加法運算，一般用於序列內的群為阿貝爾群時），或標記為1（表示乘法運算）。

* 序列0 → ''A'' → ''B'' 為正合序列，若且唯若從''A'' 至''B'' 的映射，其核為{0}，亦即若且唯若該映射為[[單射]]。
* 在對偶時，序列''B'' → ''C'' → 0 為正合序列，若且唯若從''B'' 至''C'' 的映射，其像為整個''C''，亦即若且唯若該映射為[[滿射]]。
* 因此，序列0 → ''X'' → ''Y'' → 0 為正合序列，若且唯若從''X'' 至''Y'' 的映射同時為單射及滿射（即為[[雙射]]），並因此在大多數狀況下，該映射為從''X'' 至''Y'' 的[[同構]]。

=== 短正合序列 ===
'''短正合序列'''為具有下列形式的正合序列
:<math>0 \to A \;\xrightarrow{f}\; B \;\xrightarrow{g}\; C \to 0</math>

如上所述，對任何一個短正合序列，''f'' 一定為[[單射]]，且''g'' 一定為[[滿射]]，且''f'' 的像會等於''g'' 的核。因此，可導出一[[同構]]
:<math>C \cong B/\operatorname{im}(f)</math>

若以下任一等價（依據[[分裂引理]]）條件成立，則稱短正合序列<math>0\longrightarrow A'  \stackrel{f}{\longrightarrow} A \stackrel{g}{\longrightarrow} A'' \longrightarrow0</math> '''分裂'''：
* <math>g</math>有'''截面'''（即存在<math>s: A'' \rightarrow A</math>使得<math>g \circ s = \mathrm{id}_{A''}</math>）
* <math>f</math>有'''縮回'''（即存在<math>r: A \rightarrow A'</math>使得<math>r \circ f = \mathrm{id}_{A'}</math>）
* 該短正合序列同構（在[[鏈複形]]的意義下）於
: <math>0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow0</math>
:其中的箭頭是[[直和]]的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證<math>A</math>可以表為<math>A'</math>與<math>A''</math>的[[半直積]]；例如我們可考慮群同態
: <math> 1 \longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \longrightarrow S_3 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \longrightarrow 0 </math>
其中<math>S_3</math>是3次[[对称群 (n次对称群)|對稱群]]。<math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rightarrow S_3</math>由<math>n\; \mathrm{mod}\; 3 \longmapsto (123)^n </math>給出，它的像是交代群<math>A_3</math>，商為<math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>；但<math>S_3</math>無法分解成<math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}  \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} </math>。

===將正合序列拆解為短正合序列===
正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列
:<math>\cdots \longrightarrow A_{n-1} \longrightarrow A_n \longrightarrow A_{n+1} \longrightarrow \cdots </math>
設
:<math>Z_n:=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1}) = \mathrm{Im}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{Coker}(A_{n-2}\to A_{n-1})</math>
其中<math>2 \leq n \leq 4</math>，這就給出了一個短正合序列
: <math>0\longrightarrow Z_n\longrightarrow A_n\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow 0</math>

一般而言，設<math>A_\bullet</math>為[[鏈複形]]，我們同樣定義<math>Z_n :=\mathrm{Ker}(A_n\to A_{n+1})</math>；此時鏈複形的正合性等價於所有短鏈<math>0 \rightarrow Z_n\rightarrow A_n\rightarrow Z_{n+1}\rightarrow 0</math>的正合性。

===推廣===
給定一個短正合序列
: <math>0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0</math>
有時也稱<math>A</math>為<math>A''</math>經由<math>A'</math>的'''擴張'''。

詳閱條目[[Ext函子]]與[[群上同調]]。

==長正合序列==
{{further|同調}}
若有[[鏈複形]]的短正合序列：
: <math> 0 \longrightarrow C'_\bullet \longrightarrow C_\bullet \longrightarrow C''_\bullet \longrightarrow 0</math>

反覆運用[[蛇引理]]，可以導出正合序列
: <math> \cdots \longrightarrow H_{n+1}(C''_\bullet)\longrightarrow H_n(C'_\bullet)\longrightarrow H_n(C_\bullet)\longrightarrow H_n(C''_\bullet) \longrightarrow H_{n-1}(C'_\bullet) \longrightarrow \cdots </math>

對上鏈複形的上同調亦同，此時連接同態的方向是<math>H^n(C''^\bullet) \to H^{n+1}(C'^\bullet)</math>。這類序列稱作'''長正合序列'''，它是[[同調代數]]最重要的技術之一。在[[代數拓撲]]中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。[[導函子]]也可以導出相應的長正合序列。

==參見==
* [[正合函子]]
* [[鏈複形]]

[[Category:抽象代數|Z]]
[[Category:加法范畴]]
[[Category:交換代數|Z]]
[[Category:同調代數|Z]]
[[Category:序列]]