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在[[範疇論]]中，'''正合函子'''（或譯作'''恰當函子'''）是保存有限[[極限 (範疇論)|極限]]的[[函子]]。在[[阿貝爾範疇]]中，這就相當於保存[[正合序列]]的函子。

==阿貝爾範疇間的正合函子==
設 <math>\mathcal{C}, \mathcal{C}'</math> 為[[阿貝爾範疇]]，<math>F: \mathcal{C} \to \mathcal{C}'</math> 為加法函子。若對每個正合序列
: <math>\cdots \longrightarrow X_i \longrightarrow X_{i-1} \longrightarrow \cdots</math>

取 <math>F</math> 後得到的序列
: <math>\cdots \longrightarrow F(X_i) \longrightarrow F(X_{i-1}) \longrightarrow \cdots</math>

仍為正合序列，則稱 <math>F</math> 為'''正合函子'''。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列 <math>0 \to X' \to X \to X'' \to 0</math>，其像截去尾端零對象後 <math>0 \to F(X') \to F(X) \to F(X'')</math> 為正合序列，則稱 <math>F</math> 是'''左正合函子'''；類似地，若 <math>F(X') \to F(X) \to F(X'') \to 0</math> 為正合序列，則稱 <math>F</math> 是'''右正合函子'''。正合性等價於左正合性＋右正合性。

==一般範疇中的正合函子==
考慮一個函子 <math>F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}'</math>。
* 若<math>\mathcal{C}</math>裡存在任意的有限[[極限 (範疇論)|射影極限]]，且<math>F</math>與有限射影極限交換（即：<math>F(\varprojlim_i X_i) \stackrel{\sim}{\to} \varprojlim_i F(X_i)</math>），則稱<math>F</math>為'''左正合'''。
* 若<math>\mathcal{C}</math>裡存在任意的有限[[極限 (範疇論)|歸納極限]]，且<math>F</math>與有限歸納極限交換（即：<math>\varinjlim_i F(X_i) \stackrel{\sim}{\to} F(\varinjlim_i X_i) </math>），則稱<math>F</math>為'''右正合'''。
* 若上述條件同時被滿足，則稱<math>F</math>為'''正合'''。

在[[阿貝爾範疇]]中，由於任意有限射影（或歸納）極限可以由核（或上核）與有限積（或上積）生成，此時的定義遂回歸到[[正合序列]]的定義。

==例子==
* 根據極限的泛性質，<math>\mathrm{Hom}(-,-)</math>函子無論對哪個變數都是左正合的，這是左正合函子的基本例子。
* 設<math>(F,G)</math>是一對伴隨函子。若<math>\mathcal{C}</math>存在任意有限歸納極限，則<math>F</math>右正合；若存在任意有限射影極限，<math>G</math>左正合。此法可建立許多函子的正合性。
* 設 <math>X</math> 為[[拓撲空間]]，[[阿貝爾群]][[層 (數學)|數學]]範疇上的整體截面函子 <math>X \mapsto F(X)</math> 是左正合函子。
* 設 <math>R</math> 為[[环 (代数)|環]]，<math>T</math> 為右 <math>R</math>-模，則左 <math>R</math>-模範疇上的[[張量積]]函子 <math>T \otimes_R -</math> 是右正合函子。
* 設 <math>\mathcal{A},\; \mathcal{B}</math> 為兩個阿貝爾範疇，考慮[[函子範疇]] <math>\mathcal{B}^\mathcal{A}</math>，固定一對象 <math>A \in \mathcal{A}</math>，對 <math>A</math> 的「求值」是正合函子。

==文獻==
* Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, ''Categories and Sheaves'', Springer. ISBN 3540279490

[[Category:同調代數|Z]]
[[Category:函子]]
[[Category:加法范畴]]