查看“︁正十六胞体”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:维恩图; zh-tw:文氏圖; zh-hk:溫氏圖;
}}
{{Infobox polychoron
| name = 正十六胞体
| imagename = Schlegel wireframe 16-cell.png
| caption = 
| polytope = 正十六胞体<BR>（16胞体）
| Type = [[四维凸正多胞体|正多胞体]]
| group_type = [[正轴形]]、[[超半方形]]
| Cell =16 ([[正四面体|3.3.3]]) [[Image:3-simplex_t0.svg|20px]]
| Face = 32 {3} [[Image:2-simplex_t0.svg|20px]]
| Edge = 24
| Vertice = 8
| Vertice_type = [[Image:16-cell verf.svg|80px]]<BR>([[正八面体|3.3.3.3]])
| Coxeter_diagram = {{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}<BR>
{{CDD|node_h|4|node|3|node|3|node}}
| Symmetry_group = C<sub>4</sub>, [3,3,4]
| Properties = [[凸多胞形|凸]]、[[等角圖形|等角]]、[[等邊圖形|等邊]]、[[等面圖形|等面]]
| Index_references = 
| Coxeter_group =
}}
'''正十六胞体'''（Hexadecachoron）是数学家[[路德维希·施莱夫利|施莱夫利]]最先发现的六个[[四维凸正多胞体]]之一。它是四维的[[正轴形]]，是二维[[正方形]]、三维[[正八面体]]的类比。同时，它还是四维的[[超半方形|半超方形]]，即半超正方体。

== 几何 ==
正十六胞体由十六个[[正四面体]]胞组成。其24条棱组成6个在不同坐标平面的正方形，它们互相[[正交]]；也能组成4个在不同三维超平面上的正八面体，也互相正交。
作为四维正轴形，正十六胞体的八个顶点坐标是<BR>(±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1)。<BR>它的二胞角是120°，可知其能独自完成四维超空间堆砌，称为[[正十六胞體堆砌|正十六胞体堆砌]]，施莱夫利符号{3,3,4,3}。它由16个[[正四面体]]胞、32个正三角形面、24条棱、8个顶点组成，棱图是[[正方形]]，[[顶点图]]是正八面体。对于边长为a的正十六胞体，其超体积为<math>\frac{a^4}{6}</math>，表体积是<math>\frac{4\sqrt{2}a^3}{3}</math>。

对于边长为a的正十六胞体，其外接超球半径为<math>\frac{\sqrt{2}}{2} \approx0.7071067812</math>,外中交超球（经过正十六胞体各边中点的四维超球）半径为<math>\frac{1}{2}</math>,内中交超球（经过正十六胞体各面中心的四维超球）半径为<math>\frac{\sqrt{6}}{6} \approx0.4082482905</math>,内切超球半径为<math>\frac{\sqrt{2}}{4} \approx0.3535533906</math>。

=== 对称群构造 ===
作为四维正轴形，它具有C<sub>4</sub>对称群，但它同时也是四维的[[半超方形]]（可看作以一定规律选取[[超方形]]一半的顶点构成新的半正多胞形，见[[交错]]），对应施莱夫利符号h{4,3,3}，考斯特标记{{CDD|node_h|4|node|3|node|3|node}}或{{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}}，具有更低的对称性。也可把它看作正四面体[[反棱柱]]，即由两个以对偶形式存在的互相[[平行]]的正四面体和链接它们顶点和面的正四面体组成，施莱夫利符号h<sub>0,1</sub>{2,4,3}其对称性更低。也因为其对偶[[超立方体]]是四角四角[[四維柱體柱|柱體柱]]，它也是四角四角{{link-en|四維錐體錐|duopyramid|錐體錐}}，而由于它又是超立方体的[[交错]]，它也是四角四角{{link-en|四維反柱體反柱|duoantiprism|反柱體反柱}}，施莱夫利符号{4}+{4}。更多对称群见下表：
{| class=wikitable
!对应名称
!{{link-en|考克斯特符号|Coxeter diagram}}
![[施莱夫利符号]]
!{{tsl|en|Coxeter notation|对称性}}
!群[[阶（群论）|阶]]
![[顶点图]]
|- align=center
!正十六胞体
|{{CDD|node_1|3|node|3|node|4|node}}
|{3,3,4}
|[3,3,4]||384
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|- align=center
!半超正方体
|{{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}} = {{CDD|node_h|4|node|3|node|3|node}}
|h{4,3,3}<BR>{3,3<sup>1,1</sup>}
|[3<sup>1,1,1</sup>] = [1<sup>+</sup>,4,3,3]||192
|{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
|- align=center
!四角四角{{link-en|四維錐體錐|duopyramid|錐體錐}}
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|4|node}}
|{4}+{4}
|<nowiki>[[</nowiki>4,2,4]]||128
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|4|node}}
|- align=center
![[交錯 (幾何)|交错]]四角四角[[四維柱體柱|柱體柱]]
|{{CDD|nodes_hh|4a4b|nodes}}
|2s{4,2,4}
|[[4,2<sup>+</sup>,4]]||64
|
|- align=center
!正四面体反棱柱
|{{CDD|node|3|node|4|node_h|2|node_h}}
|s{2,4,3}
|[3,4,2<sup>+</sup>]||48
|
|- align=center
!交错四角柱體柱
|{{CDD|node|4|node_h|2|node_h|4|node}}
|
|[4,2<sup>+</sup>,4]||32
|
|- align=center
!交错正方形棱柱棱柱
|{{CDD|node|4|node_h|2|node_h|2|node_h}}
|sr{2,2,4}
|[4,(2,2)<sup>+</sup>]||16
|
|- align=center
!扭棱四维{{link-en|超矩形|orthotope}}
|{{CDD|node_h|2c|node_h|2c|node_h|2c|node_h}}
|s{2<sup>1,1,1</sup>}
|[2<sup>3</sup>]<sup>+</sup>||8
|{{CDD|node_h|2c|node_h|2c|node_h}}
|- align=center
!rowspan=6|4-{{link-en|长菱体|rhombic fusil}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|3|node}}
|{3,3,4}
|[3,3,4]||384
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|4|node}}
|{4}+{4}
|<nowiki>[[</nowiki>4,2,4]]||128
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node|2|node_f1}}
|{3,4}+{}
|[4,3,2]||96
|{{CDD|node_f1|4|node|3|node}}<BR>{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1|2|node_f1}}
|{4}+{}+{}
|[4,2,2]||32
|{{CDD|node_f1|4|node|2|node_f1}}<BR>{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|- align=center
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|{}+{}+{}+{}
|[2,2,2]||16
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|}

== 可视化 ==
{| class="wikitable"
|-
! [[球极投影]] !! 展开图（这里显示了正十六胞体作为<BR>不同家族的两种展开图，左边的是<BR>正轴形，右边是半立方形，两种<BR>不同颜色的胞“意义”不同） !! 单旋转着的[[透视投影]]
|-
| [[File:stereographic_polytope_16cell_colour.png|240px]] || [[File:16-cell_nets.png|240px]] || [[File:16-cell.gif|240px]]
|}
{| class=wikitable
|+ [[正交投影]]
|- align=center
!{{link-en|考克斯特平面|Coxeter plane}}
!B<sub>4</sub>
!B<sub>3</sub> / D<sub>4</sub> / A<sub>2</sub>
!B<sub>2</sub> / D<sub>3</sub>
|- align=center
!图像
|[[File:4-cube t3.svg|150px]]
|[[File:4-demicube t0 D4.svg|150px]]
|[[File:4-cube t3_B2.svg|150px]]
|- align=center
![[二面体群|二面体对称群]]
|[8]
|[6]
|[4]
|- align=center
!考克斯特平面
!F<sub>4</sub>
!A<sub>3</sub>
|- align=center
!图像
|[[File:4-cube t3_F4.svg|150px]]
|[[File:4-cube t3_A3.svg|150px]]
|- align=center
!二面体对称群
|[12/3]
|[4]
|}
{| class=wikitable width=360
|+ 正交投影图像
|- align=center valign=top
|[[File:4-demicube graph.png|180px]]<BR>在4阶[[皮特里多边形]]对称性中的截半超正方体，也作为[[交错]]超正方体
|[[File:Hypercubestar.svg|180px]]<BR>[[四维超正方体]]
|}

== 密铺 ==
[[File:Demitesseractic tetra hc.png|缩略图|右|正十六胞体堆砌]]
正十六胞体可以獨立[[密铺]]四维欧氏空间，这个密铺被叫做[[正十六胞体堆砌]]，有施莱夫利符号{3,3,4,3}，它的对偶四维砌——[[正二十四胞体堆砌]]，{3,4,3,3}，是[[正二十四胞体]]的四维欧氏空间密铺。再加上[[超正方体堆砌]]，{4,3,3,4}，这就是四维[[欧几里得空间]]'''R'''<sup>4</sup>中唯一的3个凸正密铺。每个正十六胞体都与16个相邻的正十六胞体四维胞共用一个四面体胞，与24个相邻的四维胞共用一条棱，与72个相邻的四维胞共用一个顶点。每个顶点处都有24个正十六胞体相交，因此，正十六胞体堆砌的顶点图是正十二胞体。

== 投影 ==
[[File:Orthogonal projection envelopes 16-cell.png|缩略图|左|正十六胞体投影的凸包，不同的胞被涂上了不同的颜色，后半面的胞未画出。]]
正十六胞体到三维的正对胞的[[平行]][[投影]]有着[[立方体]]形的凸包，最近的和最远的（从四维视角来看）正四面体胞被投影成了立方体的内接四面体，正好对应于将正四面体内接于立方体的两种不同方式。在每个这样的内接正四面体周围是4个（非正的）四面体，即是与最近的和最远的正四面体胞相邻的正四面体胞的投影，填充了内接正四面体与立方体之间的空隙。剩余的6个胞被投影成了立方体的6个正方形面。在这一投影中，正十六胞体所有的棱都位于投影的凸包上。

正十六胞体到三维的正对胞的[[透视投影]]有着[[三角化四面体|三角化正四面体]]凸包，其内部结构与平行投影相似。

正十六胞体到三维的正对顶点的[[平行]][[投影]]有着[[正八面体]]形的凸包，正八面体能够被其“坐标平面”划分为8个四面体部分，这里每一个四面体都是远近一对正四面体胞的投影，距离四维视角最远和最近的顶点都被投影成了正八面体的中心。

最后，正十六胞体到三维的正对棱的平行投影有着压扁的八面体的凸包；正对面的平行投影有一个[[六角双棱锥]]凸包。
{{clear}}

== 四球维恩图 ==
正十六胞体通常的[[球极投影]][[File:Stereographic polytope 16cell.png|60px]]和4个相交的球（4个集合的[[维恩图]]），在[[拓扑]]上是三维空间中的同一物体：

{|class="wikitable" style="text-align:center; width: 100%;" 
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 1000 0000 0000 0000.png|150px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0110 1000 1000 0000.png|150px]]<br>
[[File:Venn 0100 0000 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0010 0000 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 1000 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 1000 0000.png|37px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0001 0110 0110 1000.png|150px]]<br>
[[File:Venn 0001 0000 0000 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0100 0000 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0010 0000 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0000 0100 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0000 0010 0000.png|24px]][[File:Venn 0000 0000 0000 1000.png|24px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0000 0001 0001 0110.png|150px]]<br>
[[File:Venn 0000 0001 0000 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 0001 0000.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 0000 0100.png|37px]][[File:Venn 0000 0000 0000 0010.png|37px]]
| style="vertical-align:top;"|[[File:Venn 0000 0000 0000 0001.png|150px]]
|}

== 参考 ==
* {{tsl|en|Thorold Gosset||T. Gosset}}: ''On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions'', Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
* [[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特|H.S.M. Coxeter]]: 
** Coxeter, ''{{tsl|en|Regular Polytopes (book)||Regular Polytopes}}'', (第三版, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
** H.S.M. Coxeter, ''Regular Polytopes'', 第三版, Dover New York, 1973, p.296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n≥5)
** '''Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter''',F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与修改, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html] {{Wayback|url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html |date=20160711140441 }}
*** (22页) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi Regular Polytopes I'', [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
*** (23页) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes II'', [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
*** (24页) H.S.M. Coxeter, ''Regular and Semi-Regular Polytopes III'', [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ''The Symmetries of Things'' 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (26章.409页: Hemicubes: 1<sub>n1</sub>)
* {{tsl|en|Norman Johnson (mathematician)||Norman Johnson}} ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
** N.W. Johnson: ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. (1966)
* [https://web.archive.org/web/20040702163006/http://davidf.faricy.net/polyhedra/Polytopes.html Regular Convex Four-Dimensional Polytopes] 提供了正十六胞体的部分几何数据。


{{四维正多胞体}}
{{正圖形}}
{{正多胞形}}
[[Category:多胞體]]