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{{Unreferenced|time=2023-01-18T09:29:07+00:00}}{{noteTA
|G1=物理學
}}
[[物理學]]中，'''正則量子化'''是多種對[[古典理論]]進行[[量子化]]的[[數學]]方法中的一種；在對[[古典場論]]進行量子化時，又稱'''二次量子化'''。「[[正則]]」這個詞其實源自古典理論，指的是理論中一種特定的結構（稱作[[辛結構]]（Symplectic structure）），這樣的結構在量子理論中也被保留。這在[[保羅·狄拉克]]嘗試建構[[量子場論]]時由他首先強調。

普通的量子力学方法只能处理[[粒子数守恒]]的系统。但在相对论量子力学中，粒子可以产生和湮没，普通量子力学的数学表述方法不再适用。二次量子化通过引入[[产生算符]]和[[湮没算符]]处理粒子的产生和湮没，是建立[[相对论量子力学]]和[[量子场论]]的必要数学手段。相比普通量子力学表述方式，二次量子化方法能够自然而简洁的处理[[全同粒子]]的[[对称性]]和[[反对称性]]，所以即使在粒子数守恒的非相对论[[多体问题]]中，也被广泛应用。

== 為何稱作「正則」？ ==

「正則」（canonical）具有「標準」的意思，此一稱呼是因為此方法與源於[[古典力學]]的[[古典場論]]方法有強烈的關聯。在古典場論中，場'''φ(x, t)'''為[[動力學]][[變數]]，在每個時空點'''x, t'''都有值。若將之視為[[正則坐標]]，則[[正則動量]]為φ的空間導數。在[[古典動力學]]中，這些量所組成的[[泊松括號]]應該為一。在[[量子力學]]中，正則坐標與正則動量都變成了[[算符]]，而泊松括號變成了[[對易子]]或反对易子。運用到這樣關係的量子化即為正則量子化。

== 量子化的數學形式 ==
===多粒子态===
在二次量子化的表述中，多粒子态简单的以标记每个量子态上有多少个粒子来表示：
:<math> |n_1,  n_2,  n_3,  \cdots \rangle </math>
即“量子态1上有n<sub>1</sub>个粒子，量子态2上有n<sub>2</sub>个粒子，量子态3上有n<sub>3</sub>个粒子，……”

===玻色子的二次量子化===
{{See also|玻色子}}

==== 湮没算符 ====
:<math> a_2 | N_1, N_2, N_3, \cdots \rangle = \sqrt{N_2} \mid N_1, (N_2 - 1), N_3, \cdots \rangle </math>

==== 产生算符 ====
:<math> a_2^\dagger | N_1, N_2, N_3, \cdots \rangle = \sqrt{N_2 + 1} \mid N_1, (N_2 + 1), N_3, \cdots \rangle </math>

==== 对易关系 ====
{{See also|对易关系}}
:<math>
\left[a_i , a_j \right] = 0 \quad,\quad
\left[a_i^\dagger , a_j^\dagger \right] = 0 \quad,\quad
\left[a_i , a_j^\dagger \right] = \delta_{ij}
</math>

===费米子的二次量子化===
{{See also|费米子}}

==== 湮没算符 ====
:<math> c_j | N_1, N_2, \cdots, N_j = 0, \cdots \rangle = 0 </math>
:<math> c_j | N_1, N_2, \cdots, N_j = 1, \cdots \rangle = (-1)^{(N_1 + \cdots + N_{j-1})} | N_1, N_2, \cdots, N_j = 0, \cdots \rangle </math>

==== 产生算符 ====
:<math> c_j^\dagger | N_1, N_2, \cdots, N_j = 0, \cdots \rangle = (-1)^{(N_1 + \cdots + N_{j-1})} | N_1, N_2, \cdots, N_j = 1, \cdots \rangle </math>
:<math> c_j^\dagger | N_1, N_2, \cdots, N_j = 1, \cdots \rangle = 0 </math>

==== 反对易关系 ====
{{Main|反对易关系}}
:<math>
\left\{c_i , c_j \right\} = 0 \quad,\quad
\left\{c_i^\dagger , c_j^\dagger \right\} = 0 \quad,\quad
\left\{c_i , c_j^\dagger \right\} = \delta_{ij}
</math>

==场算符==
{{Main|场算符}}{{空章节}}

== 相關條目 ==
* [[量子场论]]

[[Category:量子力学|Z]]