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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{unsolved|数学|是否有無窮個正則素數，且其分布密度為<math>e^{-1/2}</math>？}}
'''正則素數'''是一種[[質數]]，由[[恩斯特·庫默爾]]在1847年為了處理[[費馬最後定理]]而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是：
: '''定義'''. [[素數]] <math>p</math> 是正則素數，[[若且唯若]] <math>p</math> 不整除[[分圓域]] <math>\mathbb{Q}(\zeta_p)</math> 的[[類數]]。此定義簡單卻不易計算。

另一種定義方式是：素數 <math>p</math> 是正則素數，若且唯若 <math>p</math> 不整除[[伯努利數]] <math>B_k \quad (2 \leq k \leq p-3, 2|k)</math> 的分子。

頭幾個正則素數為：
: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... {{OEIS|id=A007703}}

庫默爾證明了：當 <math>p</math> 是正則素數時，<math>x^p + y^p = z^p</math> 不存在非零整數解。最小的10個非正則素數是 [[37]]、[[59]]、[[67]]、[[101]]、[[103]]、[[131]]、[[149]]、[[157]]、[[233]]、[[257]]{{OEIS|id=A000928}}。
已知存在無窮多個非正則素數，而迄今仍未知是否存在無窮多個正則素數。

==文獻==
* Richard K. Guy, ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section D2.

{{質數}}
[[Category:素數|Z]]
[[Category:数学中未解决的问题]]
[[Category:分圆域]]