查看“︁正則局部環”︁的源代码

{{noteTA
|1=里斯
}}
在[[交換代數]]中，'''正則局部環'''是使得其極大理想的最小生成元個數等於其[[Krull維度]]的[[局部環|局部]][[諾特環]]。

==定義==
設 <math>(A,\mathfrak{m})</math> 為局部諾特環。設 <math>a_1, \ldots, a_n</math> 為 <math>\mathfrak{m}</math> 的一組最小生成元，一般而言有 <math>n \geq \dim A</math>。當 <math>n = \dim A</math> 時，稱 <math>A</math> 為'''正則局部環'''。

根據[[中山正引理]]，局部諾特環 <math>(A,\mathfrak{m})</math> 為正則局部環若且唯若 <math>\dim_{A/\mathfrak{m}} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = \dim A</math>。

==源流==
正則局部環由 Wolfgand Krull 首先定義，而在[[扎里斯基]]的工作中展現其重要性。扎里斯基證明了[[代數簇]]在一點上平滑的充要條件是該點的局部環為正則局部環，此前平滑性係由[[雅可比矩陣]]定義，此定義涉及代數簇在仿射或射影空間中嵌入方式，而扎里斯基證明了這是代數簇的內在性質。事實上，定義中的 <math>\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2</math> 可以解釋為該點的餘切空間，因此正則性可以粗略地理解為該點的餘切空間具有「好的」維度。

隨著[[同調代數]]技術的發展，人們在1950年代以後對正則局部環有更深的了解。Auslander 與 Buchsbaum 證明了正則局部環必為[[唯一分解環]]，[[讓-皮埃爾·塞爾]]則以[[同調維度]]刻劃了局部[[諾特環]]的正則性。

==性質==
正則局部環的局部化仍為正則局部環，此點可由塞爾定理與[[同調維度]]對局部化的性質導出。藉著同調維度，我們也可以推廣正則性的定義：一個同調維度有限的交換環 <math>A</math> 稱為'''正則環'''，此條件等價於 <math>A</math> 對每個[[素理想]]的局部化皆為正則局部環。

若 <math>A</math> 為正則環，則 <math>A[X], A[[X]]</math> 皆為正則環。

==例子==
* 零維的正則局部環是[[体 (数学)|域]]。
* 任何[[離散賦值環]]都是正則局部環，例子包括了[[p進數]]的整數環 <math>\Z_p</math>。
* 域上的形式[[冪級數]]環是正則局部環，其維度等於變元個數。
* 正則局部環不一定包含一個域，例如 <math>\Z_p</math> 是一維正則局部環，但是它不包含任何域。
* 如果 <math>A</math>是局部环，那么形式幂级数<math>A[[x]]</math>是正則局部環。

[[Category:交換代數|Z]]
[[Category:環論|Z]]