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{{NoteTA|G1=Math}}
[[File:Cube with spherical cube.gif|thumb|立方體是一個球面上的'''正則地區圖'''，因為立方體的結構（紅色虛線）可以對應到球面上形成球面鑲嵌（黑線），並將球面分割成6個正方形，且所形成的結構具有與[[正多面體]]等價的對稱性]]
[[File:Hexagonal Hosohedron.svg|thumb|[[多面形|六面形]]是一個球面上的'''正則地區圖'''，因為六面形可以透過將球面用2個頂點和6條邊分割為6個球面[[二角形]]。]]
在[[數學]]中，'''正則地區圖'''（regular map）是指封閉曲面上的對稱鑲嵌圖。更精確地說，正則地區圖是將某個二維[[流形]]分解為具對稱性之拓樸盤面的分解結果，且該分解使得所有[[標記 (幾何)|標記]]（含有點、邊與面的三元組）都能在對稱性上任意地變換為其他[[標記 (幾何)|標記]]。舉例來說，[[立方體]]對應的[[圖論|圖]]結構是一個正則地區圖，因為立方體對應的{{link-en|球面鑲嵌|Spherical tiling}}可以透過將[[球面]]分解為由6個[[正方形]]組成的拓樸盤面，且構成該6個正方形的頂點、邊和面（前三者的組合為立方體的[[標記 (幾何)|標記]]）可以在立方體的對稱性上任意地變換為其他標記，換句話說，這些頂點、邊和面在特定軸上旋轉90度可以重和一次。

某種意義上來說，正則地區圖也可以視為[[柏拉圖立體]]的概念在[[拓樸學]]上的一種推廣。地區圖理論及其分類與[[黎曼曲面]]理論、[[雙曲幾何]]理論和[[伽羅瓦理論]]有關。

== 概述 ==
正則地區圖的定義和研究通常會透過拓樸、群論和圖論的三種方式進行。
=== 從拓樸討論 ===
在[[拓樸學]]中，地區圖（map）是封閉且[[緊空間|緊湊]]之2-流形的[[CW复形|2-胞複形]]分解。其虧格可以用[[欧拉示性数]]導出<math> \chi (M) = |V| - |E| +|F| </math>。若地區圖具備可定向性，則其值等於<math> 2 -2g </math>，否則為<math> 2 -g </math>。<ref>{{citation
 | last1 = Conder | first1 = Marston
 | last2 = Dobcsányi | first2 = Peter
 | doi = 10.1006/jctb.2000.2008
 | issue = 2
 | journal = Journal of Combinatorial Theory, Series B
 | pages = 224–242
 | title = Determination of all regular maps of small genus
 | volume = 81
 | year = 2001}}</ref><ref name="Nedela 2007"/>除了環面之外，每個可定向虧格都有有限個（非零）正則地區圖。<ref name="SIGGRAPH 2009">{{citation
 |last        = van Wijk
 |first       = Jarke J.
 |format=[[PDF]]
 |doi         = 10.1145/1531326.1531355
 |journal     = Proc. [[SIGGRAPH]] (ACM Transactions on Graphics)
 |page        = 12
 |title       = Symmetric tiling of closed surfaces: visualization of regular maps
 |issue       = 3
 |url         = http://www.win.tue.nl/~vanwijk/regularmaps_siggraph09.pdf
 |volume      = 28
 |year        = 2009
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20110609013201/http://www.win.tue.nl/~vanwijk/regularmaps_siggraph09.pdf
 |archivedate = 2011-06-09
 |df          = 
}}</ref>

=== 從群論討論 ===
在群論中，正則地區圖的[[排列]]是一個由[[標記 (幾何)|標記]]構成的集合<math>\Omega</math>上的可遷格序置換群（transitive permutation group），由3個定點的自由對合''r''<sub>0</sub>, ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>，並滿足(r<sub>0</sub>r<sub>2</sub>)<sup>2</sup>= I。在這個定義下，面為''F''&nbsp;=&nbsp;''<''r<sub>0</sub>,&nbsp;''r''<sub>1</sub>>的[[群作用#軌道與穩定化子|軌道]]、邊為''E''&nbsp;=&nbsp;<''r''<sub>0</sub>,&nbsp;''r''<sub>2</sub>>的軌道、頂點為''V''&nbsp;=&nbsp;<''r''<sub>1</sub>,&nbsp;''r''<sub>2</sub>>的軌道。更抽象地，任何正則地區圖的自同構群都是 <2,m,n>-三角群的非退化同構圖。<ref name="Nedela 2007">{{citation
 | last = Nedela
 | first = Roman
 | title = Maps, Hypermaps, and Related Topics
 | url = http://www.savbb.sk/~nedela/CMbook.pdf
 | year = 2007
 | accessdate = 2020-08-14
 | archive-date = 2016-03-04
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20160304093723/http://www.savbb.sk/~nedela/CMbook.pdf
 | dead-url = no
 }}.</ref>
=== 從圖論討論 ===
在圖論中，地區圖是一種[[立方圖]]，其可以表示為以三種顏色染色的[[图着色问题|著色圖]]（下文以紅、黃、藍三種顏色表示之），是一種連通圖，且每個頂點都與所有顏色的邊相接，非黃色的邊出現週期為4。另外，這種圖也是一種定義於頂點集合或[[標記 (幾何)|標記]]集合<math>\Omega</math>上的標記圖（flag graph）或{{link-en|圖編碼圖|Graph-encoded map}}（GEM），且非地區圖的骨架 G = (V,E)。一般來說，|<math>\Omega</math>| = 4|E|。<ref name="article CONDER20151">{{Cite journal
|title = Regular maps with simple underlying graphs
|journal = Journal of Combinatorial Theory, Series B
|volume = 110
|pages = 1 - 18
|year = 2015
|issn = 0095-8956
|doi = 10.1016/j.jctb.2014.07.001
|url = http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895614000896
|author = Marston D.E. Conder and Jicheng Ma
|access-date = 2020-08-14
|archive-date = 2020-08-24
|archive-url = https://web.archive.org/web/20200824122714/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0095895614000896
|dead-url = no
}}</ref>

== 例子 ==
*[[大十二面體]]是一個由五邊形面組成且位於虧格為4的可定向曲面上的正則地區圖。<ref name="SIGGRAPH 2009"/>
*[[立方體半形]]是射影平面，形式為{4,3}的正則地區圖。<ref>{{Cite web | url = http://www.weddslist.com/rmdb/map.php?a=N1.1p | title = The hemicube | publisher = weddslist.com | accessdate = 2020-08-14 | archive-date = 2019-05-02 | archive-url = https://web.archive.org/web/20190502092501/http://www.weddslist.com/rmdb/map.php?a=N1.1p | dead-url = yes }}</ref>
*[[十二面體半形]]是將[[佩特森圖]]以五邊形嵌入[[實射影平面]]所產生的正則地區圖。<ref name="inproceedings{gailiunas2018polyhedral">{{Cite journal
  |title=Polyhedral Models of the Projective Plane
  |author=Gailiunas, Paul and others
  |journal=Bridges 2018 Conference Proceedings
  |pages=543-546
  |year=2018
  |publisher=Tessellations Publishing}}</ref>
*p面形（有p個面的[[多面形]]）是一個形式為{2,p}的正則地區圖。<ref name="mathworld Hosohedron">{{cite mathworld|urlname=Hosohedron |title= Hosohedron}}</ref>
以下是位於[[欧拉示性数]]為正之曲面上的正則地區圖完整列表<ref name="Coxeter 1980">{{citation
 | last1 = Coxeter | first1 = H. S. M. | author1-link = Harold Scott MacDonald Coxeter
 | last2 = Moser | first2 = W. O. J.
 | edition = 4th
 | isbn = 978-0-387-09212-6
 | publisher = Springer Verlag
 | series = Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
 | title = Generators and Relations for Discrete Groups
 | volume = 14
 | year = 1980}}</ref>
{| class="wikitable sortable"
|-
![[欧拉示性数|&chi;]]|| [[虧格|g]]|| [[施萊夫利符號]]||頂點||邊||面||群||階數|| colspan=2|圖||備註
|- align=center
|2 || 0 || {p,2}||p||p||2 || [[循環群|C<sub>2</sub>]] × [[二面體群|Dih]]<sub>''p''</sub>||4''p'' || [[循環群|C<sub>''p''</sub>]]||[[File:Undirected 6 cycle.svg|40px]] || [[多邊形二面體]]
|- align=center
|2 || 0 || {2,p}||2||p||p|| C<sub>2</sub> × Dih<sub>''p''</sub> ||4''p'' || ''p''-fold [[完全圖|K<sub>2</sub>]]|| || [[多面形]]
|- align=center
|2 || 0 || {3,3}||4||6||4 || [[Symmetric group|S]]<sub>4</sub> ||24 || [[完全圖|K<sub>4</sub>]]||[[File:3-simplex graph.svg|40px]] || [[正四面體]]
|- align=center
|2 || 0 || {4,3}||8||12||6 || C<sub>2</sub> × S<sub>4</sub> ||48 || [[完全圖|K<sub>4</sub>]] {{link-en|圖的張量積|Tensor product of graphs|×}} [[完全圖|K<sub>2</sub>]]||[[File:3-cube column graph.svg|40px]] || [[立方體]]
|- align=center
|2 || 0 || {3,4}||6||12||8 || C<sub>2</sub> × S<sub>4</sub> ||48 || {{link-en|圖蘭圖|Turán graph|K<sub>2,2,2</sub>}}||[[File:Complex tripartite graph octahedron.svg|40px]] || [[正八面體]]
|- align=center
|2 || 0 || {5,3}||20||30||12 || C<sub>2</sub> × [[交错群|A]]<sub>5</sub>||120 || ||[[File:Dodecahedron H3 projection.svg|40px]] || [[正十二面體]]
|- align=center
|2 || 0 || {3,5}||12||30||20 || C<sub>2</sub> × A<sub>5</sub> ||120 || [[完全圖|K<sub>6</sub>]] × K<sub>2</sub>||[[File:Icosahedron A2 projection.svg|40px]] || [[正二十面體]]
|- align=center
|1 || n1 || {2p,2}/2||p||p||1 || Dih<sub>2''p''</sub> ||4''p'' || [[循环图|C<sub>''p''</sub>]]|| [[File:Undirected 6 cycle.svg|40px]] || [[多邊形二面體半形]]<ref name="csequin">{{cite web|last1=Séquin|first1=Carlo|title=Symmetrical immersions of low-genus non-orientable regular maps|url=http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/PAPERS/2013_Symm-Fest_NonOrRegMaps.pdf|website=Berkeley University|accessdate=2020-08-14|archive-date=2015-09-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20150923222755/http://www.cs.berkeley.edu/~sequin/PAPERS/2013_Symm-Fest_NonOrRegMaps.pdf|dead-url=no}}</ref>
|- align=center
|1 || n1 || {2,2p}/2||2||p||p || Dih<sub>2''p''</sub> ||4''p'' || ''p''-fold [[完全圖|K<sub>2</sub>]]|| || 多面形半形<ref name="csequin" />
|- align=center
|1 || n1 || {4,3}/2||4||6||3 || S<sub>4</sub> ||24 || [[完全圖|K<sub>4</sub>]]||[[File:3-simplex graph.svg|40px]] || [[立方體半形]]
|- align=center
|1 || n1 || {3,4}/2||3||6||4 || S<sub>4</sub> ||24 || 2-fold [[完全圖|K<sub>3</sub>]]|||| [[八面體半形]]
|- align=center
|1 || n1 || {5,3}/2||10||15||6 || A<sub>5</sub> ||60 || [[佩特森圖]]||[[File:Petersen1 tiny.svg|40px]] || [[十二面體半形]]
|- align=center
|1 || n1 || {3,5}/2||6||15||10 || A<sub>5</sub> ||60 || [[完全圖|K<sub>6</sub>]]||[[File:5-simplex graph.svg|40px]] || [[二十面體半形]]
|}
下圖展示了3種在虧格為3之環面上的正則地區圖，並標上對應的施萊夫利符號。
<gallery>
File:R3.4d 6-4 hos.jpg|{6,4}
File:R3.6 4-8 hos.jpg|{4,8}
File:R3.6d 8-4 hos.jpg|{8,4}
</gallery>

== 四維環形多面體 ==
正則地區圖也可以以{{link-en|環形多面體|Toroidal_polyhedron}}的形式存在。這種幾何結構是包裹在{{link-en|圓柱體柱|Duocylinder|圓柱體的四維柱}}表面上之歐氏平面鑲崁圖之有限部分。例如由正方形鑲嵌（施萊夫利符號：{4,4}）的局部包裹在圓柱體的四維柱表面上所構成的正則地區圖可以計為{4,4}<sub>''b'',''c''</sub>{{#tag:ref|[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特|Coxeter]] 1980<ref name="Coxeter 1980"/>, 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.}}。同理，若與正三角形鑲嵌（[[施萊夫利符號]]：{3,6}）或其對偶正六邊形鑲嵌（[[施萊夫利符號]]：{6,3}）的正則地區圖則可以計為{3,6}<sub>''b'',''c''</sub>與{6,3}<sub>''b'',''c''</sub>，其中b與c皆為整數{{#tag:ref|[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特|Coxeter]] 1980<ref name="Coxeter 1980"/>, 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.}}。
{| class="wikitable"
|+ 正則地區圖對應的環形多面體的[[展開圖]]
|- align=center
|[[File:Regular map 4-4 1-0.png|80px]]<br>{4,4}<sub>1,0</sub><br>(v:1, e:2, f:1)
|[[File:Regular map 4-4 1-1.png|80px]]<br>{4,4}<sub>1,1</sub><br>(v:2, e:4, f:2)
|[[File:Regular map 4-4 2-0.png|80px]]<br>{4,4}<sub>2,0</sub><br>(v:4, e:8, f:4)
|[[File:Regular map 4-4 2-1.png|80px]]<br>{4,4}<sub>2,1</sub><br>(v:5, e:10, f:5)
|[[File:Regular map 4-4 2-2.png|80px]]<br>{4,4}<sub>2,2</sub><br>(v:8, e:16, f:8)
|- align=center
|[[File:Regular map 3-6 1-0.png|80px]]<br>{3,6}<sub>1,0</sub><br>(v:1, e:3, f:2)
|[[File:Regular map 3-6 1-1.png|80px]]<br>{3,6}<sub>1,1</sub><br>(v:3, e:9, f:6)
|[[File:Regular map 3-6 2-0.png|80px]]<br>{3,6}<sub>2,0</sub><br>(v:4, e:12, f:8)
|[[File:Regular map 3-6 2-1.png|80px]]<br>{3,6}<sub>2,1</sub><br>(v:7, e:21, f:14)
|[[File:Regular map 3-6 2-2.png|80px]]<br>{3,6}<sub>2,2</sub><br>(v:12, e:36, f:24)
|- align=center
|[[File:Regular map 6-3 1-0.png|80px]]<br>{6,3}<sub>1,0</sub><br>(v:2, e:3, f:1)
|[[File:Regular map 6-3 1-1.png|80px]]<br>{6,3}<sub>1,1</sub><br>(v:6, e:9, f:3)
|[[File:Regular map 6-3 2-0.png|80px]]<br>{6,3}<sub>2,0</sub><br>(v:8, e:12, f:4)
|[[File:Regular map 6-3 2-1.png|80px]]<br>{6,3}<sub>2,1</sub><br>(v:14, e:21, f:7)
|[[File:Regular map 6-3 2-2.png|80px]]<br>{6,3}<sub>2,2</sub><br>(v:24, e:36, f:12)
|}
形式為{4,4}<sub>''m'',0</sub>的正則地區圖可以對應到形式為{4,4 | ''m''}的[[扭歪正多面體]]，其代表每個面都是正方形，且每個頂點都是4個正方形的公共頂點，並形成m邊形孔洞的幾何結構。其可以由四維m角柱體柱的面建構。<ref name="article schulte1986coxeter">{{Cite journal
  |title=On Coxeter's regular skew polyhedra
  |author=Schulte, Egon and Wills, Jörg M
  |journal=Discrete mathematics
  |volume=60
  |pages=253-262
  |year=1986
  |publisher=Elsevier}}</ref>

下圖為{4,4}<sub>8,0</sub>從平面棋盤就構為環面的一個例子。這個例子可以不透過四維幾何結構完成建構。
:[[File:Torus_from_rectangle.gif]]

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}

[[Category:拓扑图论]]