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{{NoteTA
|G1=博弈论
}}
在[[博弈论]]中，'''正则形式'''（Normal-form game）是描述博弈的一种方式。与[[扩展形式的博弈|延展形式]]不同，正则形式不用图形来描述博弈，而是用[[矩阵]]来陈述博弈。与延展形式的表述方式相比，这种方式在识别出[[严格优势策略]]和[[纳什均衡]]上更有用，但会丢失某些信息。博弈的正则形式的表述方式包括如下部分：每个参与者所有显然的和可能的[[策略(博弈论)|策略]]，以及和与其相对应的收益。

在[[完美信息|非完美信息]]的[[完全信息|完全]]静态博弈中，正则形式的表述方式详细地说明了参与者策略空间和收益函数。策略空间是某个参与者的所有可能策略的集合。策略是参与者在博弈的每个阶段——不管在博弈中这个阶段实际上是否会出现——将要采取的行动的完整计划。每个参与者的收益函数，是从参与者策略空间的向量积到该参与者收益集合（一般是实数集，数字表示基数效用或序数效用——在正则形式的表述方式中常常是基数效用）的映射。也就是说，参与者的收益函数把策略组合（所有参与者策略的清单）作为它的输入量，然后输出参与者的收益。

== 一个实例 ==

{| align=right border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom |''一个正则形式的博弈''
|-
|
! scope="col" style="color: #900;width: 90px;"|''乙选择左''
! scope="col" style="color: #900;width: 90px;"|''乙选择右''
|-
! scope="col" style="color: #009;width: 90px;"|''甲选择顶''
|align=center| <span style="color: #009">4</span>, <span style="color: #900">3</span>
|align=center| <span style="color: #009">-1</span>, <span style="color: #900">-1</span>
|-
! scope="col" style="color: #009;width: 100px;"|''甲选择底''
|align=center| <span style="color: #009">0</span>, <span style="color: #900">0</span>
|align=center| <span style="color: #009">3</span>, <span style="color: #900">4</span>
|}

有种博弈是参与者同时（或至少在做出行动前不观察其他参与者的动作）做出行动，并按照上述已做出行动的组合获得收益。右边的矩阵是这种博弈得正则形式的表述方式。例如，如果甲做出行动“顶”，而乙做出行动“左”，则甲得到收收益4，乙得到收益3。在每个回合，第一个数字代表排参与者（此处为甲）的收益，第二个数字代表列参与者（此处为乙）的收益。

=== 其他表述方式 ===
[[对称博弈]]（其收益不是依赖于参与者选择的动作）常常被表述为只有一种收益，即竖排参与者的收益。例如，左右两边的收益矩阵表述的是同一个博弈。

{| align="center"
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ class="nowrap" align=bottom|''两个参与者都有的''
|
! ''雄鹿''
! ''野兔''
|-
! ''雄鹿''
| 3, 3
| 0, 2
|-
! ''野兔''
| 2, 0
| 2, 2
|}
|
{| border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom|''只有竖排的''
|
! ''雄鹿''
! ''野兔''
|-
! ''雄鹿''
| 3
| 0
|-
! ''野兔''
| 2
| 2
|}
|}

== 正则形式的使用 ==

=== 占优策略 ===
{| border="1" align=right cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom|''囚徒困境''
|
! ''合作''
! ''背叛''
|-
! ''合作''
| 2, 2
| 0, 3
|-
! ''背叛''
| 3, 0
| 1, 1
|}

收益矩阵有助于剔除[[劣势策略]]，而且经常被用于说明这个概念。例如，在囚徒困境中（右图），参与者会发现因为其他人的''背叛''，''合作''成了严格劣势策略。参与者会比较每列的第一个数字，在这个例子中，3>2且1>0。这表明无论横排参与者怎样选择，竖排参与者选择''背叛''都比较好些。类似地，参与者会比较每列的第二个数字，同样也是3>2且1>0。这说明无论竖排参与者怎么做，横排参与者选择''背叛''都比较好些。这就证明了此博弈唯一的纳什均衡是（''背叛''，''背叛''）。
{{clear2|right}}

=== 正则形式的连续博弈 ===
{| align=right border="1" cellpadding="4" cellspacing="0" style="margin: 1em 1em 1em 1em; background: #f9f9f9; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; font-size: 95%;"
|+ align=bottom |''一个连续博弈''
|-
|
! ''左，左''
! ''左，右''
! ''右，左''
! ''右，右''
|-
! ''顶''
|align=center|4, 3
|align=center|4, 3
|align=center|-1, -1
|align=center|-1, -1
|-
! ''底''
|align=center|0, 0
|align=center|3, 4
|align=center|0, 0
|align=center|3, 4
|}

这些矩阵只表述同时（或者更一般地，信息是不[[完美信息|完美]]的）做出行动的博弈。上述矩阵不能表述甲先做出行动，被乙观察到，然后乙再做出行动的博弈。因为在这个例子中，无法确定乙每次的策略。为了表述这种连续博弈，我们要列出乙在博弈进行期间所有的行动——尽管根据实际情况，某种行动决不会出现。和前面一样，在这个博弈中乙有两种选择，''左''和''右''。与前面不一样的是，视甲的行动不同而定，乙有四种策略。这些策略是：
# ''如果甲选择顶，选择左；否则，选择左''
# ''如果甲选择顶，选择左；否则，选择右''
# ''如果甲选择顶，选择右；否则，选择左''
# ''如果甲选择顶，选择右；否则，选择右''

右图是这个博弈的正则形式的表述方式。

== 一般形式 ==
为了用把博弈表述成正则形式，需要提供下列数据：
* 表示参与者的有限集P，标记为{1,2,…,''m''}
* 每个参与者''k''在''P''里拥有有限个[[纯策略]]

<math> S_k = \{1, 2, \ldots, n_k\}. </math>

一个纯策略组合是参与者策略的联合，这是一个''m''[[元组]]

<math> \vec{\sigma} = (\sigma_1, \sigma_2, \ldots,\sigma_m) </math>

则有

<math> \sigma_1 \in S_1, \sigma_2 \in S_2, \ldots, \sigma_m \in S_m </math>

我们用Σ来表示策略组合的集合

收益函数形如

<math> F: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}. </math> 

其预期解释是博弈结束时给予单个参与者的奖品。相应地，为了完整地说明一个博弈，收益函数必须在参与者集 ''P''= {1, 2, ..., ''m''}中对每个参与者详细说明。

'''定义'''：一个'''正则形式的博弈'''的结构形如

<math> (P, \mathbf{S}, \mathbf{F}) </math> 

这里 ''P'' = {1,2, ...,''m''}是参与者集合，

<math>\mathbf{S}=  (S_1, S_2, \ldots, S_m) </math> 

是纯策略集合的一个m元组，每个纯策略对应于一个参与者，而

<math> \mathbf{F} = (F_1, F_2, \ldots, F_m) </math>

是收益函数的''m''元组。

没有理由在前面的讨论中，把参与者数量有限或每个参与者的策略有限的博弈排除在外。因为要用到[[泛函分析]]的技巧，关于有限博弈的研究非常艰深。

== 参考文献 ==
* D. Fudenberg and J. Tirole, ''Game Theory'', MIT Press, 1991.
* R. D. Luce and H. Raiffa, ''Games and Decisions'', Dover Publications, 1989.
* J. Weibull, ''Evolutionary Game Theory'', MIT Press, 1996
* J. von Neumann and O. Morgenstern, ''Theory of games and Economic Behavior'', John Wiley Science Editions, 1964. This book was initially published by Princeton University Press in 1944.

== 外部链接 ==
* http://www.whalens.org/Sofia/choice/matrix.htm {{Wayback|url=http://www.whalens.org/Sofia/choice/matrix.htm |date=20190913005826 }}

{{博弈论}}

[[Category:博弈论]]