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{{Expert needed|subject=数学|time=2024-10-17T10:44:41+00:00}}
[[File:Trikotnik.png|thumb|300px|平面三角形]]
{{三角学}}
'''正切定理'''是[[三角学]]中的一个[[定理]]。<ref>See [[Eli Maor]], ''Trigonometric Delights'', [[Princeton University Press]], 2002.</ref>根据该定理，在[[平面 (数学)|平面]][[三角形]]中，正切定理说明任意两条边的和除以第一条边减第二条边的差所得的商等于这两条边的对角的和的一半的[[正切]]除以第一条边对角减第二条边对角的差的一半的正切所得的商。即：

:<math>
\frac{a-b}{a+b}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha -\beta }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\alpha +\beta }{2}}
</math>

:<math>
\frac{b-c}{b+c}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\beta -\gamma }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\beta +\gamma }{2}}
</math>

:<math>
\frac{c-a}{c+a}=\frac{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma -\alpha }{2}}{\mathrm{tan}\, \frac{\gamma +\alpha }{2}}
</math>

[[法兰西斯·韦达]]（François Viète）曾在他对三角法研究的第一本著作《应用于三角形的数学法则》中提出正切定理。不过在沒有计算机的辅助求解三角形時，这定理可比[[余弦定理]]更容易利用[[对数]]來运算[[投影]]等问题。

==证明==
由<math>\frac{a+b}{a-b}</math>开始，由[[正弦定理]]得出

:<math>\begin{align}

\frac{a+b}{a-b} &= \frac{a\frac{\sin \alpha}{a} + b\frac{\sin \beta}{b}}{a\frac{\sin \alpha}{a} - b\frac{\sin \beta}{b}} \\

&= \frac{\sin\alpha + \sin\beta}{\sin\alpha - \sin\beta} \\

&= \frac{2\sin[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]\cos[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{2\cos[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]\sin[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}\end{align}</math>
::<small>''（和差化积，参阅[[三角恒等式]]）''</small>

:<math>\begin{align}\frac{a+b}{a-b} &= \frac{\sin[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]\cos[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}{\cos[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]\sin[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]} \\

&= \frac{\tan[\frac{1}{2}(\alpha+\beta)]}{\tan[\frac{1}{2}(\alpha-\beta)]}\end{align}</math>

==参见==
* [[正切]]
* [[畢氏定理]]
* [[三角学]]
* [[三角函数]]
* [[三角恒等式]]
* [[正弦定理]]
* [[余弦定理]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{三角函數}}

[[Category:三角学]]
[[Category:几何定理]]
[[Category:三角形几何]]