查看“︁正六百胞体”︁的源代码

{{no footnotes|time=2018-08-13T05:46:12+00:00}}
{{NoteTA|G1=Math}}
{{Infobox polychoron
| name = 正六百胞體
| imagename = Schlegel_wireframe_600-cell_vertex-centered.png
| caption = 
| polytope = 正六百胞体<BR>（600胞体）
| Type = [[四维凸正多胞体|正多胞体]]
| group_type = [[类二十面体形]]
| Cell = 600 ([[正四面体|3.3.3]]) [[File:Tetrahedron.png|20px]]
| Face = 1200 {3} [[File:2-simplex_t0.svg|20px]]
| Edge = 720
| Vertice = 120
| Vertice_type = [[Image:600-cell verf.svg|80px]]<BR>([[正二十面体|3.3.3.3.3]])
| Coxeter_diagram = {{CDD|node_1|3|node|3|node|5|node}}
| Symmetry_group = H<sub>4</sub>, [3,3,5]
| Properties = [[凸多胞形]], [[点可递]], [[边可递]], [[面可递]]
| Index_references = 
| Coxeter_group =
}}
[[File:cell600-4dpolytope.png|thumb|二维线架[[正投射]]]]
[[几何学]]中，'''正六百胞体'''（{{Lang|en|hexacosichoron}}）是[[四维凸正多胞体]]，[[施莱夫利符号]]是{3,3,5}，有時候会视为[[正二十面体]]的四维类比。

正六百胞体的边界有600个[[正四面体]]胞、1200个[[正三角形]]面、720条边和120个顶点。每一顶点有20个正四面体相接。

== 几何性质 ==
正六百胞体的[[对偶多胞体]]是[[正一百二十胞体]]。
正六百胞体的[[頂點圖]]是[[正二十面体]]。<br />
边长为a的正六百胞体超体积为<math>\frac{50+25\sqrt{5}}{4}a^4</math>，表体积为50√2a<sup>3</sup>。

以原点为中心，边长为 1/φ 的正六百胞体（其中φ = (1+√5)/2是[[黃金比例]]），頂点坐标如下：16个顶点形式如下

:(±½,±½,±½,±½)，

8个顶点从下列坐标不同排列得出

:(0,0,0,±1)，

剩下96个顶点是下列坐标的[[偶置换]]

:½(±1,±φ,±1/φ,0)。

如果一个正六百胞体的棱长为1，则其外接超球半径为<math>\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{5}+1}{2} \approx1.618\end{smallmatrix}</math>即[[黄金分割比]]；其外中交超球(经过正六百胞体每条棱的中点)半径为<math>\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{2\sqrt{5}+5}}{2} \approx1.538\end{smallmatrix}</math>；其内中交超球（经过正六百胞体每个面的中心）半径为<math>\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{15}+3\sqrt{3}}{6} \approx1.512\end{smallmatrix}</math>；其内切超球半径为<math>\begin{smallmatrix}\frac{\sqrt{10}+2\sqrt{2}}{4} \approx1.498\end{smallmatrix}</math> 。

注意到首16个顶点构成[[超正方体]]，次8个构成[[正十六胞体]]。这24个顶点一起构成[[正二十四胞体]]，事实上，如果移除这24个顶点，就会得到另一个有意思的半正多胞体{{link-en|扭棱正二十四胞体|Snub 24-cell}}（Snub Icositetrachoron）。

=== 对称群构造 ===
如果把坐标看作[[四元数]]，正六百胞体的120个顶点以四元数乘法组成[[群]]。这个群通常称为[[双二十面体群]]，因為它是[[二十面体群]]''I''的双重覆蓋。这个双十二面体群也可被看作是正六百胞体的旋转（无反射）对称群，因为单位四元数的乘法等同于点的旋转，也因此双十二面体群是H<sub>4</sub>群的一个子群。双二十面体群[[同构]]於[[特殊线性群]]SL(2,5)。

正六百胞体的[[对称群]]是''H''<sub>4</sub>的[[外尔群]]，这个群的阶是14400。

== 可视化 ==
正六百胞体的胞众多，并且这些正四面体胞基本上没有什么规律可循，为正六百胞体的可视化带来了许多困难，但作为[[正一百二十胞体]]的[[对偶多面体|对偶]]，许多正一百二十胞体的性质也表现在正六百胞体上。
:[[File:600-cell.gif]]
=== 大圆结构 ===
正一百二十胞体的10个会首尾相连，构成“大圆”，这些胞与正六百胞体的顶点对偶，它们也会互相连接形成一个[[正十边形]]，这正十边形的每一条边周围都有5个正四面体共这条边，这种结构看上去就像有棱有角的飞盘。正十边形相邻的两条棱周围的两簇正四面体中间会有空隙，我们可以在填入10个正四面体使其构成正二十面体，这样你就会得到一个涉及150个胞、10条棱、100个裸露的正三角形面的环形结构，我们还可以在向这些面上填上正四面体，会得到一个涉及250个胞的有50个突出的顶点和100条凹陷的棱的大圆，它与另一条与之正交的250胞环在顶点处咬合，剩余的棱的空隙是剩余的100个胞。现在，如果我们去掉这两条大圆最初的10个顶点，我们就会得到四维唯一的{{link-en|非Wythoff|non-Wythoffian}}{{link-en|凸半正多胞体|convex uniform polychoron}}——{{tsl|en|Grand Antiprism|重反棱柱}}，原来的大圆处留下了各10个正五[[反棱柱]]，并剩下了300个正四面体胞。

== 参考 ==
* [http://eusebeia.dyndns.org/4d/600-cell 600-cell] {{Wayback|url=http://eusebeia.dyndns.org/4d/600-cell |date=20200216203953 }} 逐层剖析了正六百胞体的表分层结构
* [http://davidf.faricy.net/polyhedra/Polytopes Regular Convex Four-Dimensional Polytopes]{{dead link|date=2018年3月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}提供了正六百胞体的几何数据

{{四维正多胞体}}
{{正圖形}}
{{正多胞形}}
[[Category:多胞体]]