查看“︁正八面體”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{正多面體資料|正多面體資料表|O}}
'''正八面體'''是一種[[八面體]]，由八個[[等邊三角形]]，分別為上、下各四個[[三角形]]與一個[[正方形]]組成的[[正方錐體]]，上下黏合在一起而構成，是五種[[柏拉圖立體|正多面體]]的第三種，有6個頂點和12條邊。'''正八面體'''也是[[正三角反棱柱]]。正八面体是三维的[[正轴形]]，施莱夫利符号{3,4}，{{en-link|考克斯特—迪肯符号|Coxeter-Dynkin diagram}}{{CDD|node_1|3|node|4|node}}。

正八面體每四条棱可以成为一个[[正方形]]，共有三个独立的正方形。
{| class="wikitable" width=200
|- align=center
|[[File:Octahedron.png|200px]]<br/><small>[[八面體]]</small>
|}
__TOC__

== 性質 ==
* 頂點數目：6
* 邊數目：12
* 面數目：8
* 當棱長為<math>a</math>時：
** [[表面積]]：<math>S=2\sqrt{3}a^{2}</math>
** [[體積]]：<math>V=\frac{1}{3}\sqrt{2}a^{3}</math>
** [[外接球]]半径：<math>r_u=\frac{\sqrt{2}}{2}a</math>（外接球即过正八面体各顶点的球）
** [[内切球]]半径：<math>r_i=\frac{\sqrt{6}}{6}a</math>（内切球即与正八面体各面相切的球）
** [[中分球]]半径：<math>r_m=\frac{1}{2}a</math>（中分球即过正八面体各边中点的球）
[[File:Octahedron flat.svg|缩略图|右|正八面体共有11种不同的[[展开图]]]]

=== 坐标系 ===
以棱长为<math>\sqrt{2}</math>的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x, y, z轴建立三维直角坐标系（正八面体的3条对角线两两[[正交]]，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为<math>(\pm 1,0,0)</math>, <math>(0,\pm 1,0)</math>, <math>(0,0,\pm 1)</math><br />
正八面体表面方程为：<math>\left \vert x \right \vert+\left \vert y \right \vert+\left \vert z \right \vert=1</math>
<br />
更一般的，如果正八面体的对角线平行于坐标轴，中心为<math>(x_0 , y_0 , z_0)</math>，外接圆半径为<math>r</math>（棱长为<math>\sqrt{2}r</math>），则正八面体表面方程为：
<math>\left \vert x-x_0 \right \vert +\left \vert y-y_0 \right \vert +\left \vert z-z_0 \right \vert = r</math><br />
如果中心在原点的正八面体被拉长，成为菱形体，则更一般的八面体方程为<br />
<math>\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1</math><br />
其内接于椭球体<br />
<math>\frac{x^2}{x_m^2}+\frac{y^2}{y_m^2}+\frac{z^2}{z_m^2} = 1</math><br />
表面积<math>S</math>和体积<math>V</math>为：<br />
<math>S=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}</math><br />
<math>V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m</math><br />
它的[[惯性张量]]<math>I</math>是：
:<math>
I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2)
\end{bmatrix}
</math><br />
当<math>x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}</math>时，菱形体为上述正八面体。

=== 正交投影 ===
正八面体可以以多种不同的方向被[[正交投影]]到二维平面，以下表格展示了几种特殊的投影：
{|class=wikitable width=480
|+ 正交投影
|-
!正对于
!棱
!面的<br />平行方向
!顶点
!面
|-
!图像
|[[File:Cube t2 e.png|100px]]
|[[File:Cube t2 fb.png|100px]]
|[[File:3-cube t2 B2.svg|100px]]
|[[File:3-cube t2.svg|100px]]
|- align=center
!投影<br />对称性
|[2]
|[2]
|[4]<br />B<sub>2</sub>
|[6]<br />A<sub>2</sub>
|}

=== 对称性和表面涂色 ===
正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的[[对称群]]是O<sub>h</sub>（正八面体群），是三维的{{en-link|超正八面体群|Hyperoctahedral group}}。在此对称性下，正八面体的所有面都带有相同对“颜色”，对称性最高，群[[阶（群论）|阶]]48。该群的[[子群]]体现了正八面体更低的对称性：T<sub>d</sub>（群阶24），截半正四面体的对称群；D<sub>3d</sub>（群阶12），三角[[反棱柱]]的对称群；D<sub>4h</sub>（群阶16），四角[[双棱锥]]（正四棱柱的对偶）的对称群；D<sub>2h</sub>（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。
{| class=wikitable
!名称
!正八面体
![[截半]][[正四面体]]<br />(四面四面体)
![[正三角反棱柱]]
!正[[雙四角锥]]
!长菱体
|- align=center
!{{en-link|考克斯特符号|Coxeter-Dynkin diagram}}
|{{CDD|node_1|3|node|4|node}}
|{{CDD|node|3|node_1|3|node}}
|{{CDD|node_h|2x|node_h|6|node}}<br />{{CDD|node_h|2x|node_h|3|node_h}}
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|4|node}}
|{{CDD|node_f1|2|node_f1|2|node_f1}}
|- align=center
![[施莱夫利符号]]
|{3,4}
|t<sub>1</sub>{3,3}
|h<sub>0,1</sub>{2,6}<br />s{2,3}
|f<sub>0,1</sub>{2,4}<br />{ } + {4}
|f<sub>0,1,2</sub>{2,2}<br />{ } + { } + { }
|- align=center
!{{en-link|Wythoff符号|Wythoff symbol}}
| 4 &#124; 3 2
| 2 &#124; 4 3
| 2 &#124; 6 2 <br /> &#124; 2 3 2
|
|
|- align=center
!{{en-link|對稱群列表|List of spherical symmetry groups|对称群}}
|O<sub>h</sub>, [4,3], (*432)
|T<sub>d</sub>, [3,3], (*332)
|D<sub>3d</sub>, [2<sup>+</sup>,6], (2*3)<br />D<sub>3</sub>, [2,3]<sup>+</sup>, (322)
|D<sub>4h</sub>, [2,4], (*422)
|D<sub>2h</sub>, [2,2], (*222)
|- align=center
!对称群阶
|48
|24
|12<br />6
|16
|8
|- align=center
!图像<br />(半正表面涂色)
|[[File:Uniform polyhedron-43-t2.png|100px]]<br />(1111)
|[[File:Uniform polyhedron-33-t1.png|100px]]<br />(1212)
|[[File:Trigonal antiprism.png|100px]]<br />(1112)
|[[File:Square bipyramid.png|100px]]
|
|}


== 與其他形狀的關係 ==
=== 对偶性 === 
正八面體的[[對偶多面體]]是[[立方體]]。
: [[File:Cube_in_Octahedron.png|150px]][[File:Octahedron_in_Cube.png|150px]]
{{clear}}
當正八面體在立方體之內：

<math>\begin{align}  \text{正 八 面 體 體 積 }:\text{立 方 體 體 積 } & = \left ( \frac{1}{3}\times \text{高 }\times \text{底 面 積 } \right )\times 2 : \text{邊 }^3 \\ & = \left ( \frac{1}{3} \right ) \left ( \frac{n}{2} \right ) \left ( \frac{n^2}{2} \right ) 2 : n^3 \\ & = 1:6 \\ \end{align}</math>

=== 其它几何关联 ===
[[File:Compound of two tetrahedra.png|缩略图|左|正八面体即是[[星形八面体]]两正四面体的交集]]
两个互为对偶的正四面体可以组成一个复合正多面体，这两个[[正四面体]]的[[交集]]即是正八面体。这个复合多面体，也叫做[[星形八面体]]，是正八面体的第一个也是唯一一个星形展（英Stellation，暂译，目前还没有好的译名）。另一方面，从正四面体各棱中点处截去4个包含原顶点在内的线性大小只有原正四面体一半的正四面体，你也能得到正八面体，也就是说，正八面体是“截半正四面体”。在这里，正四面体与正八面体之间的关系就像[[立方体]]、正八面体与[[截半立方体]]；[[正十二面体]]、[[正二十面体]]与[[截半正十二面体]]一样。 <br />
除此以外，我们知道正二十面体还是“扭棱正四面体”，因此，正八面体与其也应该有关系。事实上，我们能够利用[[黄金分割]]从正八面体的棱上得到正二十面体的顶点。具体操作是：用[[有向线段]]代替这个正八面体的各棱，使每个面的3条有向线段恰好首尾相接，构成一圈。接着顺着每个有向线段的方向将其以黄金比例分割，分割点即是正二十面体的顶点。如果给定一正二十面体，则有5个不同的正八面体都可用上述操作得到给定正二十面体，这5个正八面体又可构成一复合正多面体，即[[五複合正八面體]]。<br />
[[File:Tetrahedral-octahedral honeycomb.png|缩略图|右|正八面体—正四面体堆砌的一部分]]
正八面体可以和正四面体一起完成三维空间的密铺，这密铺被叫做正八面体—正四面体堆砌(Octahedral-Tetrahedral Honeycomb)（同时它也是[[交错]][[立方体堆砌]](Alternated Cubic Honeycomb)，亦即半立方体堆砌(Demicubic Honeycomb)），是28个三维半正[[密铺|堆砌]]之一，是除立方体堆砌以外唯一一个完全由正多面体完成的三维堆砌。正八面体也参与了截半立方体堆砌。<br />
正八面体是柏拉图立体中唯一一个在顶点处有偶数个面相交的，也是唯一一个所有对称镜面不穿过任何一面的。<br />
以[[约翰逊多面体]]的角度来看，正八面体是双四棱锥，将其上下两个顶点截取，即得到双四棱台。<br />
正八面体是四[[连通]]的，意味着要想打断正八面体6个顶点之间的连接，至少要撤掉4个顶点。它是4个四连通单纯形面全覆盖多面体之一，意味着它所有顶点的{{en-link|极大独立集|maximal independent sets}}都有相同大小。其余3个多面体是约翰逊多面体[[双五角锥|双五棱锥]]、[[扭稜鍥形體]]和一个非半正的有12个顶点和20个正三角形面的多面体。

=== 相关多面体 ===
==== 作为正八面体 ====
正八面体是正八面体家族的一员，与其对偶立方体隶属同一家族：
{{正八面体家族}}
正八面体还在拓扑上与其它三角形镶嵌{3,n}相关联：
{{正三角形镶嵌}}

==== 作为截半正四面体 ====
正如以上所述，正八面体是截半正四面体，在这里正八面体相邻的面被涂上2种不同的颜色，在这种情况下，正八面体有正四面体对称性A<sub>3</sub>。
{{正四面体家族}}
注意到前五个正四面体的截顶体，它们可以被看作是[[四维超正方体]]长[[对角线]]垂直于平面时平面在不同高度截超正方体而得到的不同截面，如果设对角线长h=1时，这5种不同的截面分别出现于截面高度为(0,1/4]、3/8、1/2、5/8、[3/4,1)时，其中的正八面体截面是超正方体所有截面中体积最大的。

==== 作为三角反棱柱 ====
正八面体作为三角反棱柱，与[[二面体|六角二面体]]和三角二面体之间存在关系，同时，它也是[[反棱柱]]无穷序列的一员：
{{半正反棱柱列表}}

==== 作为四角双棱锥 ====
正八面体是四角双棱锥，是无穷序列半正对偶[[双棱锥]]的一员：
{{半正对偶双锥体列表}}

==== 四面半六面体 ====
正八面体与星形半正多面体—[[四面半六面体]]有着同样的棱和顶点结构，并且有4个交错排列的三角形面是相同的，而后者还有3个正交与中心正方形面，它是[[实射影平面|实射影]]多面体（即它不可以被描述成球面镶嵌，而是[[实射影平面]]镶嵌）。
{| class="wikitable" width="400" style="vertical-align:top;text-align:center"
| [[Image:octahedron.png|100px]]<br />正八面体
| [[Image:tetrahemihexahedron.png|100px]]<br />[[四面半六面体]]
|}

== 数学以外的正八面体 ==
=== 四面体桁架 ===
[[巴克敏斯特·富勒]]在20世纪50年代发明了一种由正四面体和正八面体构成的[[球节架]]，其结构就是正八面体—正四面体堆砌，是公认的最强的抗[[悬臂]]压力的架结构。
[[File:SpaceFrame02.png|缩略图|右|四面体桁架，其中半个正八面体被加亮了]]

== 參見 ==
* [[八面體數]]

== 外部連結 ==
* {{Mathworld2|urlname2=PlatonicSolid|title2=柏拉圖立體|External link=yes}}
{{多面體}}
{{反棱柱}}
{{柱體與錐體}}
{{帕拉圖立體}}
{{正多胞形}}
{{廣義的正多面體}}
{{正多邊形鑲嵌}}

{{Authority control}}

[[Category:多面体]]
[[Category:柏拉圖立體]]
[[分類:桁架]]
[[Category:正多面體]]