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{{Expand language|1=en|time=2024-09-08T16:15:47+00:00}}
[[File:Orthodiagonal quadrilateral.svg|thumb|240px|{{PAGENAME}}（黄色）与其边构成的正方形，由[[勾股定理]]可知，两个红色[[正方形]]与两个蓝色正方形的[[面积]]和相等]]
在[[欧几里得几何]]中，'''{{PAGENAME}}'''（{{lang-en|Orthodiagonal quadrilateral}}，也称为'''正軸四邊形'''）是指[[对角线]]相互[[垂直]]的[[四边形]]。[[筝形]]、[[菱形]]、[[正方形]]、[[婆罗摩笈多四边形]]都是特殊的{{PAGENAME}}<ref>{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = [[Forum Geometricorum]]
 | pages = 119–130
 | title = Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
 | volume = 10
 | year = 2010
 | accessdate = 2024-09-08
 | archive-date = 2011-08-13
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20110813091938/http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
 | dead-url = yes
 }}.</ref>。

==基本性质==
===边===
根据[[勾股定理]]，{{PAGENAME}}的对边平方和相等。暨对于任意{{PAGENAME}}，其四边长分别为''a''、''b''、''c''、''d''，都有<ref name=Altshiller-Court>{{citation
 | last=Altshiller-Court
 | first=N.
 | author-link= Nathan Altshiller Court
 | title=College Geometry
 | publisher=Dover Publications
 | year=2007}}. Republication of second edition, 1952, Barnes & Noble, pp. 136-138.</ref><ref name=Mitchell>Mitchell, {{citation
 | last=Douglas
 | first=W.
 | title=The area of a quadrilateral
 | journal=[[The Mathematical Gazette]]
 | volume=93
 | year=2009
 | issue=July
 | pages=306–309}}.</ref>：

:<math>\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2 </math>

反之，任意满足该公式的[[四边形]]一定是{{PAGENAME}}<ref>{{citation
 | first1=Dan
 | last1=Ismailescu
 | first2=Adam
 | last2=Vojdany
 | journal=[[Forum Geometricorum]]
 | pages=195–211
 | title=Class preserving dissections of convex quadrilaterals
 | url=http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200919.pdf
 | volume=9
 | year=2009
 | accessdate=2024-09-08
 | archive-date=2019-12-31
 | archive-url=https://web.archive.org/web/20191231043921/http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200919.pdf
 | dead-url=no
 }}.</ref>，可以通过[[余弦定理]]、[[向量|平面向量]]、[[复数 (数学)|复数]]和[[反證法]]等多种方式证明<ref name=Josefsson2>{{citation
 | last = Josefsson
 | first = Martin
 | journal = [[Forum Geometricorum]]
 | pages = 13–25
 | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals
 | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 | volume = 12
 | year = 2012
 | accessdate = 2024-09-08
 | archive-date = 2020-12-05
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20201205213638/http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
 | dead-url = yes
 }}.</ref>。

===角===
根据定义，[[当且仅当]]凸[[四边形]]''ABCD''为{{PAGENAME}}时，有
:<math>\angle PAB + \angle PBA + \angle PCD + \angle PDC = \pi</math>
其中P为对角线交点。

此命题的[[逆命题]]也成立，暨对于相交于点P的线段AB、CD，若满足<math>\angle PAB + \angle PBA + \angle PCD + \angle PDC = \pi</math>，则AB与CD垂直。可通过[[对顶角]]相等来证明此命题。

===面积===
设''K''为{{PAGENAME}}的面积，''p''和''q''为{{PAGENAME}}的对角线长，则有<ref>{{citation
 | last = Harries
 | first = J.
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | pages = 310–311
 | title = Area of a quadrilateral
 | volume = 86
 | year = 2002
 | issue = July}}</ref>：

:<math>K = \frac{pq}{2}</math>

反之，所有满足<math>K = \frac{pq}{2}</math>的四边形都是{{PAGENAME}}<ref name=Josefsson2/>。此外，{{PAGENAME}}也是所有''p''和''q''为对角线长构成的四边形面积最大的，暨对于任意平面[[四边形]]，都有<math>K \le\frac{pq}{2}</math>，[[当且仅当]]对角线相互垂直时取等于号。更一般的，则为：

:<math>K = \frac{pqsin{\theta}}{2}</math>

其中<math>\theta</math>为两对角线的夹角。

==与其它四边形的关系==
* [[筝形]]，同时满足{{PAGENAME}}与[[圆外切四边形]]的凸四边形
* [[婆罗摩笈多四边形]]，同时满足{{PAGENAME}}与[[圆内接四边形]]的凸四边形
* [[直角筝形]]，同时满足{{PAGENAME}}与[[雙心四邊形]]的凸四边形
* 正交梯形，同时满足{{PAGENAME}}与一对边平行（[[梯形]]）的凸四边形
* [[菱形]]，同时满足{{PAGENAME}}与两对边平行（[[平行四边形]]）的凸四边形
* 中方四边形，同时满足{{PAGENAME}}与对角线相等（[[等对角线四边形]]）的凸四边形

==与圆外切四边形的比较==
{{PAGENAME}}与[[圆外切四边形]]有一些相似之处，如下表<ref name=Josefsson2/>：
{| class=wikitable
|-
! 圆外切四边形
! {{PAGENAME}}
|-
| align=center|<math>a+c=b+d</math>
| align=center|<math>a^2+c^2=b^2+d^2</math>
|-
| align=center|<math>R_1+R_3=R_2+R_4</math>
| align=center|<math>R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2</math>
|-
| align=center|<math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}</math>
| align=center|<math>\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_3^2}=\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_4^2}</math>
|}
其中，''a''、''b''、''c''、''d''分别为四边长，''h''<sub>1</sub>, ''h''<sub>2</sub>, ''h''<sub>3</sub>, ''h''<sub>4</sub>为四边与对角线组成的三角形的高，''R''<sub>1</sub>, ''R''<sub>2</sub>, ''R''<sub>3</sub>, ''R''<sub>4</sub>为此四个三角形的[[外接圓]]半径。

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:四邊形]]