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在[[数学]]中，'''正交函数'''（{{lang|en|orthogonal functions}}）所属的[[函数空间]]是有[[双线性形式]]的[[向量空间]]。当函数空间的[[定义域]]是一个[[区间]]，双线性形式可能是积分式：
:<math> \langle f,g\rangle = \int \overline{f(x)}g(x)\,dx  </math>

函数<math>f</math>与<math>g</math>在这个积分值是0时[[双线性形式#镜像对称性和正交性|正交]]，即<math>\langle f, \ g \rangle = 0</math> 只要 <math>f \neq g</math>。 
如有限维空间中的向量[[基 (线性代数)|基]]一样，正交函数可以形成函数空间的无限基。从概念上讲，上述积分等效于矢量点积； 如果两个向量的点积为零，则它们是相互独立的（正交的）。

设<math> \{ f_0, f_1, \ldots\}</math> 是非零[[L2范数|''L''<sup>2</sup>-范数]]<math> \Vert f_n \Vert _2 = \sqrt{\langle f_n, f_n \rangle} = \left(\int f_n ^2 \ dx \right) ^\frac{1}{2} </math>正交函数列。则数列<math>\left\{ f_n / \Vert f_n \Vert _2 \right\}</math>是''L''<sup>2</sup>-范数的函数，形成了一个[[正交数列]]。一个有定义的''L''<sup>2</sup>-范数，积分必须有界，这限制了函数需要是[[平方可积函数]]。

==三角函数==
{{Main article|傅里叶级数|调和分析}}
几组正交函数在逼近函数时被用作标准基。例如，正弦函数{{nowrap|sin ''nx''}}和{{nowrap|sin ''mx''}}在积分区间<math>x \in (-\pi, \pi)</math>上是正交的，这里<math>m \neq n</math>且''n''和''m''是正整数。而 
:<math>2 \sin (mx) \sin (nx) = \cos \left((m - n)x\right) - \cos\left((m+n) x\right)</math>，
两个正弦函数的乘积的积分值就抵消了。<ref>[[Antoni Zygmund]] (1935) ''[[Trigonometric Series|Trigonometrical Series]]'', page 6, Mathematical Seminar, University of Warsaw</ref> 加上余弦函数，这些正交函数可以用于组成一个[[三角多项式]]，通过[[傅里叶级数]]在一个区间上逼近给定的函数。

==多项式==
{{main article|正交多项式}}
对于[[单项式]]序列<math> \{1, x, x^2, \dots\} </math>（区间<math>[-1,1]</math>）进行[[格拉姆-施密特正交化]]可以得到[[勒让德多项式]]。另一类正交多项式是[[伴随勒让德多项式]]。

正交多项式的研究与[[权重]]<math>w(x)</math>有关：
:<math> \langle f,g\rangle = \int w(x) f(x) g(x)\,dx </math>。
对于<math>(0,\infty)</math>区间上的[[拉盖尔多项式]]，权重函数是<math>w(x) = e^{-x}</math>。

物理学家或概率论研究者在<math>(-\infty,\infty)</math>区间上使用[[埃尔米特多项式]]，权重是<math>w(x) = e^{-x^2}</math>或 <math>w(x) = e^{- \frac {x^2}{2}} </math>。

[[切比雪夫多项式]]定义在<math>[-1,1]</math>上，使用权重<math>w(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}</math>或<math>w(x) = \sqrt{1 - x^2}</math>。

[[泽尔尼克多项式]]定义在[[单位圆]]上，有径向正交性和角度正交性。

==二值函数==
[[沃尔什函数]]和[[哈尔小波变换]]是在离散区间上的正交函数的例子。

==有理函数==
[[File:ChebychevRational1.png|thumb|切比雪夫有理函数图像，n=0,1,2,3和4，x在0.01和100之间。]]
勒让德多项式和切比雪夫多项式在{{nowrap|[−1, 1]}}上提供正交函数族，但偶尔需要{{nowrap|[0, ∞)}}上的正交函数族。这种情况下可以先使用{{link-en|Cayley变换|Cayley transform}}，让参数在{{nowrap|[−1, 1]}}内。这个过程可以得到 [[有理函数|有理]]正交函数族，称为{{link-en|勒让德有理函数|Legendre rational functions}}和{{link-en|切比雪夫有理函数|Chebyshev rational functions}}。

==在微分方程中==
有边界条件的线性[[微分方程]]的解常常可以写成带权重的正交函数的和，（即[[本征函数]]），进而有{{link-en|广义傅里叶级数|generalized Fourier series}}。

==参见==
* [[希尔伯特空间]]
* [[特征值和特征向量]]
* [[瓦尼尔函数]]
* {{link-en|Lauricella定理|Lauricella's theorem}}
* [[K-L_轉換]]

==参考资料==
{{reflist}}
* George B. Arfken & Hans J. Weber (2005) ''Mathematical Methods for Physicists'', 6th edition, chapter 10: Sturm-Liouville Theory — Orthogonal Functions, [[Academic Press]].
* {{cite journal|author=Price, Justin J.|authorlink=Justin Jesse Price|title=Topics in orthogonal functions|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=82|year=1975|pages=594–609|url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/topics-in-orthogonal-functions|doi=10.2307/2319690|access-date=2020-08-17|archive-date=2021-01-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20210115155409/https://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/topics-in-orthogonal-functions|dead-url=no}}
* [[Giovanni Sansone]]  (translated by Ainsley H. Diamond) (1959) ''Orthogonal Functions'', [[Interscience Publishers]].

== 外部链接 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html 正交函数] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalFunctions.html |date=20180828231002 }}的MathWorld链接

[[Category:泛函分析]]
[[Category:各类函数]]