查看“︁正三角形”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}
{{infobox regular polygon
|edges=3
|image= Regular polygon 3 annotated.svg
|C-D diagram=[[File:CDW_ring.svg]][[File:CDW_3.svg]][[File:CDW_dot.svg]]
}}
'''正三角形'''，又稱等邊三角形（{{lang-en|equilateral triangle}}）是指一種三個邊均等長的[[三角形]]，是銳角三角形的一種，其三個角大小相等、均為60度<ref>{{cite web en | title = Equilateral Triangle | work = mathworld | url = http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html | accessdate = 2009-07-21 | archive-date = 2021-02-07 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210207003133/https://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html | dead-url = no }}</ref>。

== 性質 ==
假設正三角形的邊長為<math>a\,\!</math>，則可推得以下的性質：
* 周長<math>p=3a\,\!</math>
* 高<math>h=\frac{\sqrt{3}}{2}a</math>
* 面積<math>A=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2</math> 
* [[外接圓]]的半徑<math>R=\frac{\sqrt{3}}{3}a</math>
* [[內切圓]]的半徑<math>r=\frac{\sqrt{3}}{6}a</math>      
 
以上公式可由[[勾股弦定理]]推導而得。

正三角形的垂足和其底邊的中點共點，因此正三角形的高也是其底邊的[[中垂線]]及[[中線]]，高也會將頂點所的在的角平分。因此正三角形的高也是其中線、中垂線及[[角平分線]]，而正三角形的[[內心]]、[[外心]]、[[几何中心|重心]]及[[垂心]]均共點，在其中線上，距頂點<math>\frac{\sqrt{3}}{3}a</math>的位置。

正三角形是對稱度最高的三角形，有三個鏡射對稱，及繞重心360/3度的整數倍的旋轉對稱，其[[對稱群]]為[[二面體群]]''D''<sub>3</sub>。

[[File:Viervlak-frame.jpg|thumb|正四面體由四個正三角形所組成。]]

在許多幾何結構中都看得到正三角形，例如三個大小相等、兩兩相切的圓，其三個圓的圓心可組成一正三角形。[[柏拉圖立體|正多面體]]中，[[正四面體]]、[[正八面體]]及[[正二十面體]]都是由正三角形所組成的。其中正四面體的四個面均為正三角形，可視為正三角形在三維空間的類比。

正三角形可用在[[正多邊形鑲嵌#正鑲嵌圖|正鑲嵌圖]]（即用同一個正多邊形填滿一個平面）中，另外二種可用在正鑲嵌圖的正多邊形為[[正方形]]及[[正六邊形]]。

[[莫雷角三分線定理]]是說明[[任意三角形]]相鄰內角靠近共同邊的角三等分線的三個交點，可以組成一個正三角形。

正三角形的[[内切圆]][[半径]]是[[外接圆]]半径的一半。

正三角形內部一點到三頂點的距離分別為<math>a,b,c</math>，且正三角形邊長為<math>x</math>，則<math>a,b,c,x</math>的關係式為<math>(a^2+b^2+c^2+x^2)^2=3(a^4+b^4+c^4+x^4)</math>。

== 判斷 ==
#三邊相等的三角形是等邊三角形。
#三個內角都相等的三角形是等邊三角形。
#有一個內角是60度的等腰三角形是等邊三角形。
#兩個內角為60度的三角形是等邊三角形。

== 作圖法 ==
[[File:Equilateral Triangle Inscribed in a Circle.gif|200px|left|thumb|作圖法]]
[[File:Equilateral triangle construction.svg|200px|thumb|用直尺及圓規畫出正三角形]]

可以利用[[尺規作圖]]的方式畫出正三角形，其作法相當簡單：
先用尺畫出一條任意長度的線段，再分別以線段二端點為圓心、線段為半徑畫圓，二圓會交於二點，任選一點，和原來線段的兩個端點畫線，則這二條線和原來線段即構成一正三角形。
{{Clear}}

== 文化和社會上的含意 ==
正三角形常在許多結構、符號及標示中出現：

* [[塞爾維亞]]的莱潘斯基维尔（Lepenski Vir）[[遺跡]]中，以正三角形為其結構的一部份。
* [[菲律賓總統]]的徽章中有正三角形。
* [[保齡球]]的十個球瓶排列成正三角形的形狀。
* 絕大部分的[[階級]]都以正三角形為架構，以突顯其主次關係。

== 接近正三角形的海倫三角形 ==

[[海倫三角形]]是各邊、面積及[[內切圓]]半徑均為有理數的三角形。因正三角形當邊長為有理數時，其面積為無理數，因此不存在滿足海倫三角形條件的正三角形。不過有一些海倫三角形其三邊邊長為<math>n-1</math>, <math>n</math>, <math>n+1</math>，算是很接近正三角形的海倫三角形，以下是這一類三角形邊長的列表： 

{| class="wikitable" style="table-layout: fixed; width: 300px;"
! colspan="3" | 邊長 || rowspan="2" | 面積 || rowspan="2" | 內切圓半徑 
|-
! <math>n-1</math>|| ''<math>n</math>'' || <math>n+1</math>
|- align="right"
| 3 || 4 || 5 || 6 || 1
|- align="right"
| 13 || 14 || 15 || 84 || 4
|- align="right"
| 51 || 52 || 53 || 1170 || 15
|- align="right"
| 193 || 194 || 195 || 16296 || 56
|- align="right"
| 723 || 724 || 725 || 226974 || 209
|}

表中的''<math>n</math>''有一個特性：將某一個''<math>n</math>''乘以4，再減去較小三角形的''<math>n</math>''，就是下一個三角形的邊長''<math>n</math>''（<math>52=4 \times 14-4</math>, <math>194=4 \times 52-14</math>，以此類推），可以用以下的例子表示：
:<math>q_n = 4q_{n-1} - q_{n-2}.\,\!</math>
此數列（數列[[OEIS:A003500]]）也可以用[[佩爾方程]]<math>x^2 - 3y^2 = 1</math>的解求得，也和<math>\sqrt{3}</math>的連分數有關。<ref>Takeaki Murasaki (2004), [http://zmath.impa.br/cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?first=1&maxdocs=3&bi_op=contains&type=pdf&an=02147316&format=complete ''On the Heronian Triple（n+1, n, n−1）''] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090608062045/http://zmath.impa.br/cgi-bin/zmen/ZMATH/en/quick.html?first=1&maxdocs=3&bi_op=contains&type=pdf&an=02147316&format=complete |date=2009-06-08 }}, Sci. Rep. Fac. Educ., Gunma Univ. 52, 9-15.</ref>

== 參考資料 ==
<references/>

== 參見 ==
* [[三角學]]
* [[維維亞尼定理]]
* [[莫雷角三分線定理]]
{{多邊形}}
{{正多胞形}}

[[Category:多邊形]]
[[Category:三角形]]