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{{NoteTA|G1=Math}}
'''歐拉長方體'''指邊長和-{面}-[[對角線]]都是[[整數]]的[[長方體]]。

這即是求解[[丟番圖方程]]：
: <math>a^2 + b^2 = d^2</math>
: <math>b^2 + c^2 = e^2</math>
: <math>c^2 + a^2 = f^2</math>

最小的歐拉長方體的邊長為240, 117, 44，面對角線為267, 125, 244，是Paul Halcke在1719年發現的。

==例子==
:邊長 63000 以內的 (a,b,c) 滿足 a<b<c, gcd(a,b,c)=1

:第一組：(44,117,240) -- (125,267,244)
:第二組：(85, 132, 720) — (157, 725, 732);
:第三組：(140, 480, 693) — (500, 707, 843);
:第四組：(160, 231, 792) — (281, 808, 825);
:第五組：(187, 1020, 1584) — (1037, 1595, 1884);
:第六組：(195, 748, 6336) — (773, 6339, 6380);
:第七組：(240, 252, 275) — (348, 365, 373);
:第八組：(429, 880, 2340) — (979, 2379, 2500);
:第九組：(495, 4888, 8160) — (4913, 8175, 9512);
:第十組：(528, 5796, 6325) — (5820, 6347, 8579) ;
:第十一組: (780, 2475, 2992) — (2595, 3092, 3883) ;
:第十二組：(828, 2035, 3120)-- (2197, 3228, 3725)
:第十三組：(1008, 1100, 1155)-- (1492, 1595, 1533)
:第十四組：(10296, 11753, 16800)--(15625, 19704, 20503)
:第十五組：(15939, 18460, 48720)--(24389, 51261, 52100)
:第十六組：(27755, 42372, 62160)--(50653, 68075, 75228)
:第十七組：(42471, 54280, 59040)--(68921, 72729, 80200)

:其中第十四組：(10296,11753,16800) —(15625,19704,20503)
:之體對角線長為22942.9864...最接近正整數

==完美長方體==
{{Main|完美長方體}}
完美長方體，又稱「完美盒」，是體對角線也是整數的歐拉長方體。求完美長方體的邊長，即在上面三條丟番圖方程再加上一條：<math>a^2 + b^2 + c^2 = g^2</math>。截至2015年5月，還沒有找到任何完美盒。經由電腦搜尋顯示，若存在完美長方體，其中一個邊長需大於3·10<sup>12</sup><ref>Durango Bill. [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The “Integer Brick” Problem] {{Wayback|url=http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html |date=20070830031033 }}</ref><ref>{{cite mathworld|urlname=PerfectCuboid|title=Perfect Cuboid}}</ref>，且最小邊長需大於10<sup>10</sup><ref>Randall Rathbun, [https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;c78f3c94.1011 Perfect Cuboid search to 1e10 completed - none found]. NMBRTHRY maillist, November 28, 2010.</ref>。現時只找到一些接近完美盒，例如其中一邊是[[無理數]]，其他邊和對角線均為整數的例子。

但在2009年發現了數十個完美平行六面體的例子。<ref>{{Cite journal|first1=Jorge F.|last1=Sawyer|first2=Clifford A.|last2=Reiter|year=2011|title=Perfect parallelepipeds exist|journal=[[Mathematics of Computation]]|volume=80|pages=1037–1040|arxiv=0907.0220|doi=10.1090/s0025-5718-2010-02400-7}}.</ref>

==另見==
*[[黃金矩形]]

==外部連結==
* ''Weisstein, Eric W.'' [http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html "Euler Brick."] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/EulerBrick.html |date=20201109034257 }} From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
* ''Durango Bill'' [http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html The “Integer Brick” Problem] {{Wayback|url=http://www.durangobill.com/IntegerBrick.html |date=20070830031033 }} (The Euler Brick Problem)
* ''Fred Curtis'' [http://f2.org/maths/peb.html '''Primitive''' Euler Bricks] {{Wayback|url=http://f2.org/maths/peb.html |date=20200224223326 }}

[[Category:丟番圖方程]]
[[Category:勾股定理]]