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{{noteTA|G1=物理學|1=zh-cn:计算机图形学;zh-tw:電腦圖學;}}
在[[運動學]]裏，'''歐拉旋轉定理'''（{{lang-en|Euler's rotation theorem}}）表明，在[[三維空間]]裏，假設一個[[剛體]]在做一個位移的時候，剛體內部至少有一點固定不動，則此位移等價於一個繞著包含那固定點的固定軸的[[旋轉]]。這定理是以[[瑞士]]數學家[[萊昂哈德·歐拉]]命名。於1775年，歐拉使用簡單的幾何論述證明了這定理。

用[[數學]]術語，在三維空間內，任何共[[原點]]的兩個[[座標系]]之間的關係，是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉。這也意味著，兩個[[旋轉矩陣]]的乘積還是旋轉矩陣。一個不是[[單位矩陣]]的[[旋轉矩陣]]必有一個[[實數|實值]]的[[本徵值]]，而這本徵值是 1 。 對應於這本徵值的[[本徵向量]]就是旋轉所環繞的固定軸<ref name="Herb1980">{{cite book |last=Goldstein|first=Herbert|title=Classical Mechanics|year=1980| location=United States of America | publisher=Addison Wesley| edition= 3rd| isbn=0201657023 | language=en| pages=pp. 155-161}}</ref>。

==應用==
===旋轉生成元===
{{main|旋轉矩陣|旋轉群}}

假設單位向量 <math>(x,\ y,\ z)\,\!</math> 是旋轉的瞬時固定軸，繞著這固定軸，旋轉微小角值 <math>\Delta\theta\,\!</math> ，則取至 <math>\Delta\theta\,\!</math> 的一次方，旋轉矩陣可以表達為：
:<math>\Delta R =
  \begin{bmatrix}
  1&0&0\\
  0&1&0\\
  0&0&1
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
  0 & z&-y\\
  -z& 0& x\\
  y &-x& 0
  \end{bmatrix}\,\Delta \theta
= \mathbf{I}+\mathbf{A}\,\Delta \theta\,\!</math> 。

繞著固定軸做一個 <math>\theta\,\!</math> 角值的旋轉，可以被視為許多繞著同樣固定軸的接連不斷的微小旋轉，每一個小旋轉的角值為 <math>\Delta\theta=\theta / N\,\!</math> 。讓 <math>N\,\!</math> 趨向無窮大，則繞著固定軸 <math>\theta\,\!</math> 角值的旋轉，可以表達為
:<math>R =\lim_{N \to \infty}\ \left(\mathbf{1} +\frac{\mathbf{A}\theta}{N}\right)^N=e^{\mathbf{A}\theta}\,\!</math> 。

歐拉旋轉定理基要地闡明，所有的旋轉都能以這形式來表達。乘積 <math>\mathbf{A}\theta\,\!</math> 是這個旋轉的[[生成元]]。用生成元來分析，而不用整個旋轉矩陣，通常是較簡易的方法。用生成元來分析的學術領域，稱為旋轉群的[[李代數]]。

===四元數===
根據歐拉旋轉定理，任何兩個坐標系的相對定向，可以由一組四個數字來設定；其中三個數字是[[方向餘弦]]，用來設定特徵向量（固定軸）；第四個數字是繞著固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為[[四元數]]。

如上所描述的四元數，並不介入[[複數 (數學)|複數]]。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉，則必須使用由[[威廉·哈密顿]]提出的[[對易關係|非交換]]四元數代數以複數來計算。

在航空學應用方面，通過四元數方法來計算旋轉，已經替代了方向餘弦方法，這是因為它能減少所需的工作，和它能減小[[捨入誤差]]。在[[電腦圖學]]裏，四元數與四元數之間，簡易執行[[插值]]的能力是很有價值的。

==參閱==
*[[歐拉角]]
*[[歐拉運動定律]]
*[[旋轉運動表述(數學)|旋轉運動表述]]

==參考文獻==
{{reflist}}

{{莱昂哈德·欧拉}}

{{DEFAULTSORT:O}}
[[Category:欧几里得对称]]
[[Category:几何定理]]
[[Category:三维旋转]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]