查看“︁歐拉函數 (複變函數)”︁的源代码

{{expert|time=2010-11-15T05:01:59+00:00|subject=数学}}
[[File:Q-Eulero.jpeg|thumb|right|複數平面上歐拉函數φ的絕對值，黑色部份的值為0，紅黑色部份的值為4]]
在[[數學]]上，'''歐拉函數'''的定義如下
:<math>\phi(q)=\prod_{k=1}^\infty (1-q^k)</math>
此函數得名由[[萊昂哈德·歐拉]]。歐拉函數是典型的[[q級數]]及[[模形式]]函數，也是描述[[组合数学]]及[[複分析]]之間關係的典型範例。

==性質==
歐拉函數的的倒數<math>1/\phi(q)</math>展開成[[形式幂級數]]，其對應的係數<math>p(k)</math>恰好是k的[[整數分拆|分割函數]]，亦即
:<math>\frac{1}{\phi(q)}=\sum_{k=0}^\infty p(k) q^k</math>
其中<math>p(k)</math>為k的[[整數分拆|分割函數]]。

[[五邊形數定理]]是一個有關歐拉函數的恆等式，其定理如下：
:<math>\phi(q)=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{(3n^2-n)/2}. </math>

其中<math>(3n^2-n)/2</math>為[[廣義五邊形數]]。

依拉馬努金恆等式（Ramanujan identity），歐拉函數和[[戴德金η函數]]有以下的關係：
:<math>\phi(q)= q^{-\frac{1}{24}} \eta(\tau)</math> 

其中<math>q=e^{2\pi i\tau}</math>是{{link-en|nome|nome (mathematics)}}的平方。

上述二個函數都有{{link-en|模群|modular group}}下的對稱性。

==參照==
* [[歐拉函數]]（也稱為歐拉商數）

==參考資料==
* {{Citation
| last=Apostol
| first=Tom M.
| author-link=Tom M. Apostol
| title=Introduction to analytic number theory
| publisher=Springer-Verlag
| location=New York-Heidelberg
| series=Undergraduate Texts in Mathematics
| isbn=978-0-387-90163-3
| id={{MathSciNet | id = 0434929}}
| year=1976}}

{{莱昂哈德·欧拉}}
[[Category:数论]]
[[Category:Q-模拟]]
[[Category:莱昂哈德·欧拉]]